2012年北京高考文科数学试题及答案

1、2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学（文科）第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，则=（ ） 【测量目标】集合的含义与表示、集合的基本运算. 【考查方式】给出两个集合，求交集.【参考答案】C 【试题解析】，利用二次不等式的解法可得或，画出数轴易得.2.在复平面内，复数对应的点坐标为 （ ） )【测量目标】复数的运算法则及复数的几何意义.【考查方式】给出复数，求对应的点坐标.【参考答案】A【试题解析】，实部是1，虚部是3，对应复平面上的点为，故选A.3.设不等式组表示的平面区

2、域为,在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （ ） 【测量目标】判断不等式组表示的平面区域、几何概型.【考查方式】给出不等式组，求不等式组所表示的区域中点到直线距离的概率.【参考答案】D【试题解析】题目中表示的区域表示正方形区域，而动点可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此，故选D4. 执行如图所示的程序框图，输出的值为 （ ）2 4 C8 16【测量目标】循环结构的程序图框.【考查方式】给出程序图，求最后的输出值.【参考答案】C【试题解析】 循环结束，输出的为8，故选C.5.函数的零点个数为 （ ） 0 1 2 3 【测量目标】导函数的定义与应用.【

3、考查方式】已知复合函数，求零点个数.【参考答案】B【试题解析】函数的零点，即令，根据此题可得，在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选答案B6. 已知为等比数列.下面结论中正确的是 （ ） 若则 ,则 若，则【测量目标】等比数列的公式与性质.【考查方式】给出等比数列，判断选项中那些符合等比数列的性质.【参考答案】B【试题解析】当时，可知，所以选项错误；当时，选项错误；当时，与选项矛盾。因此根据均值定理可知选项正确.7. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 （ ） 【测量目标】由三视图求几何体的表面积. 【考查方式】给出三棱锥的三视图，求其表

4、面积.【参考答案】B【试题解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和,利用垂直关系和三角形面积公式，可得：，因此该几何体表面积，故选.8. 某棵果树前年得总产量与之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前年的年平均产量最高，的值为 （ ）5 7 9 11 【测量目标】线性分布的特点与理解.【考查方式】给出线性分布图，求总量最高时所对应的横坐标.【参考答案】C【试题解析】由图可知6，7，8，9这几年增长最快，选超过平均值，所以应该加入，因此选. 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.直线被圆截得的弦长为

5、.【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】给出直线与圆的方程，求直线被圆所截的弦长.【参考答案】【试题解析】将题目所给的直线与圆的图形画出，半弦长为，圆心到直线的距离，以及圆半径构成了一个直角三角形，因此.10.已知为等差数列，为其前项和.若，则 ； .【测量目标】等差数列的公式与定义及前项和.【参考答案】【试题解析】因为，所以，所以11. 在中，若，则的大小为 .【测量目标】正弦定理、余弦定理的运算.【考查方式】给出两边长及其中一边所对应的角，求另一边的边长.【参考答案】【试题解析】,而，而12.已知函数，若，则 .【测量目标】复合函数的求解及对数函数的运算性质.【考查方式】给出复合函数

6、，代入求值.【参考答案】2【试题解析】，.13.已知正方形的边长为1，点是边上的动点，则的值为 .【测量目标】平面几何的理解与向量的运算法则.【考查方式】给出正方形的边长及个点位置，求两向量的乘积.【参考答案】1【试题解析】根据平面向量的点乘公式，可知，因此；，而就是向量在边上的射影，要想让最大，即让射影最大，此时点与点重合，射影为，所以长度为1.14.已知，.若，或，则的取值范围是 .【测量目标】函数的定义域、值域及函数的求解.【考查方式】给出带有未知数的两个函数，求函数小于零时的取值范围.【参考答案】（-4,0）【试题解析】首先看没有参数，从入手，显然时，时，而对，或成立即可，故只要时，（

7、*）恒成立即可.当时，不符合（*），所以舍去；当时，由得，并不对成立，舍去；当时，由，注意故，所以，即，又，故，所以，又，故，综上，的取值范围是. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题13分）已知函数.（1）求的定义域及最小正周期；（2）求的单调递减区间. 【测量目标】正弦定理、余弦定理及三角函数与三角恒等变换.【考查方式】给出函数，求函数的定义域最小及周期及单调减区间.【试题解析】解：（1）由得，故的定义域为.因为=所以的最小正周期.（2）函数的单调递减区间为.由得所以的单调递减区间为.16. （本小题14分） 如图1，在中，分别是上的

8、中点, 点为线段上的一点.将沿折起到的位置，使，如图2. （1）求证：平面; （2）求证：;（3）线段上是否存在点,使平面？说明理由【测量目标】空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理及空间想象能力与推理论证能力【考查方式】给出四棱锥中线线关系、线面关系及面面关系，求线面垂直、线面平行及面面垂直. 【试题解析】 解：（1）因为分别为的中点，所以.（步骤1）又因为平面,所以平面.（步骤2）（2）由已知得且,所以.所以,所以平面.而平面,（步骤3） 所以.又因为,所以平面.所以，（步骤4）（3）线段上存在点,使平面.理由如下：如图，分别取的中点,则.又因为,所以.所以平面即为平面.（步骤5）由（2

9、）知平面,所以.（步骤6）又因为是等腰三角形底边 的中点，所以,所以平面,从而平面.故线段上存在点 ,使得平面.（步骤7） 17.（本小题13分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余 垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物

10、”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为其中当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时的值.（注：方差，其中为的平均数）【测量目标】概率的意义、频率与概率的区别及分布的特点与意义及方差的计算.【考查方式】给出垃圾数据表，分别求各项概率及方差【试题解析】1）厨余垃圾投放正确的概率约为（2）设生活垃圾投放错误为事件,则事件表示生活垃圾投放正确。事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即,约为,所以约为.（3）当，时，取得最大值.因为，所以18.（本小题13分）已知函数，.（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共

11、切线，求的值；（2）当时，求函数在区间上的最大值为，求的取值范围.【测量目标】导数概念的实际的背景，能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数【考查方式】考查导数在函数中的应用.【试题解析】(1)：，.因为曲线与在它们的交点处具有公共切线，即且解得.（2）记，当时，令，解得：；与在上的情况如下：1（1,2）2+00+28-43由此可知：当时，函数在区间上的最大值为；当时，函数在区间上的最大值小于. 因此，的取值范围是19.（本小题14分）已知椭圆:的一个顶点为，离心率为.直线与椭圆交于不同的两点.（）求椭圆的方程；（）当得面积为时，求的值.【测量目标】椭圆的标准方程

12、的定义，直线与圆的位置关系【考查方式】给出椭圆的顶点与离心率，求椭圆的标准方程及直线与椭圆相交直线斜率的值的解.【试题解析】解：（1）由题意得解得.所以椭圆的方程为.（2）由得.设点的坐标分别为，则，.所以由因为点到直线的距离，所以的面积为. 由，解得.20.（本小题13分）设是如下形式的2行3列的数表，满足：性质：，且.记为的第行各数之和，为的第列各数之和；记为，中的最小值.（1）对如下数表,求的值；（2）设数表形如其中.求的最大值；【测量目标】等差数列的定义与公式.【考查方式】给出数表与数据，求等差数列中的最大值.【试题解析】因为=1.2，所以，.因为，所以，.所以.当时，取得最大值.任给

13、满足性质的数表（如图所示）任意改变的行次序或列次序，或把中的每个数换成它的相反数，所得数表仍满足性质，并且，因此，不妨设，由的定义知，对所以满足性质的行列的数表,求的最大值.，从而因此，由（2）知，存在满足性质的数表，使，故的最大值为1.一.集合与函数1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况3.你会用补集的思想解决有关问题吗?4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件?5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别.6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先

14、的原则.7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称.8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域.9.原函数在区间-a,a上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调.例如：.10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示.12.求函数的值域必须先求函数的定义域。13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?比较函数值的大小;解抽象函数不等式;求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用

15、你掌握了吗?14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗?(真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形?二.不等式18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”.19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么?20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴

16、法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么?21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”.22.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示.23.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”即ab0，a0.三.数列24.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗?25.在“已知，求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗?(时，应有)需要验证，有些题目通项是分段函数。26.你知道存在的条件吗?(你理解数列、有穷数列

17、、无穷数列的概念吗?你知道无穷数列的前项和与所有项的和的不同吗?什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在?27.数列单调性问题能否等同于对应函数的单调性问题?(数列是特殊函数，但其定义域中的值不是连续的。)28.应用数学归纳法一要注意步骤齐全，二要注意从到过程中，先假设时成立，再结合一些数学方法用来证明时也成立。四. HYPERLINK /search.aspx t /content/19/1226/14/_blank 三角函数29.正角、负角、零角、象限角的概念你清楚吗?，若角的终边在坐标轴上，那它归哪个象限呢?你知道锐角与第一象限的角;终边相同的角和相等的角的区别吗?30.三角函数的定义及

18、单位圆内的三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)的定义你知道吗?31.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗?你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗?32.你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角.异角化同角，异名化同名，高次化低次)33.反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是34.你还记得某些特殊角的三角函数值吗?35.掌握正弦函数、余弦函数及正切函数的图象和性质.你会写三角函数的单调区间吗?会写简单的三角不等式的解集吗?(要注意数形结合与书写规范,可别忘了)，你是否清楚函数的图象可以由函数经过怎样的变换得到吗?36.函数的图象的平移，方

19、程的平移以及点的平移公式易混：(1)函数的图象的平移为“左+右-，上+下-”;如函数的图象左移2个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为，即.(2)方程表示的图形的平移为“左+右-，上-下+”;如直线左移2个个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为，即.(3)点的平移公式：点按向量平移到点，则.37.在三角函数中求一个角时，注意考虑两方面了吗?(先求出某一个三角函数值，再判定角的范围)38.形如的周期都是，但的周期为。39.正弦定理时易忘比值还等于2R.五.平面向量40.数0有区别，的模为数0，它不是没有方向，而是方向不定。可以看成与任意向量平行，但与任意向量都不垂直。41.数量积与两个实数乘

20、积的区别：在实数中：若，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若，且，不能推出.已知实数，且，则a=c,但在向量的数量积中没有.在实数中有，但是在向量的数量积中，这是因为左边是与共线的向量，而右边是与共线的向量.42.是向量与平行的充分而不必要条件，是向量和向量夹角为钝角的必要而不充分条件。六.解析几何43.在用点斜式、斜截式求直线的方程时，你是否注意到不存在的情况?44.用到角公式时，易将直线l1、l2的斜率k1、k2的顺序弄颠倒。45.直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是。46.定比分点的坐标公式是什么?(起点，中点，分点以及值可要搞清)，在利用定比分点解题时，你注意到了吗?

21、47.对不重合的两条直线(建议在解题时，讨论后利用斜率和截距)48.直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以理解为，但不要忘记当时，直线在两坐标轴上的截距都是0，亦为截距相等。49.解决线性规划问题的基本步骤是什么?请你注意解题格式和完整的文字表达.(设出变量，写出目标函数写出线性约束条件画出可行域作出目标函数对应的系列平行线，找到并求出最优解应用题一定要有答。)50.三种圆锥曲线的定义、图形、标准方程、几何性质，椭圆与双曲线中的两个特征三角形你掌握了吗?51.圆、和椭圆的参数方程是怎样的?常用参数方程的方法解决哪一些问题?52.利用圆锥曲线第二定义解题时，你是否注意到定义中的定比前后项的顺序

22、?如何利用第二定义推出圆锥曲线的焦半径公式?如何应用焦半径公式?53.通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.(想一想在双曲线中的结论?)54.在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零?椭圆，双曲线二次项系数为零时直线与其只有一个交点，判别式的限制.(求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行).55.解析几何问题的求解中，平面几何知识利用了吗?题目中是否已经有坐标系了，是否需要建立直角坐标系?七.立体几何56.你掌握了空间图形在平面上的直观画法吗?(斜二测画法)。57.线面平行和面面平行的定义、判定和性质定理你掌握了吗?线线平行、线面平行、面面平行这

23、三者之间的联系和转化在解决立几问题中的应用是怎样的?每种平行之间转换的条件是什么?58.三垂线定理及其逆定理你记住了吗?你知道三垂线定理的关键是什么吗?(一面、四线、三垂直、立柱即面的垂线是关键)一面四直线，立柱是关键，垂直三处见59.线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈;面面平行的判定定理易把条件错误地记为”一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行”而导致证明过程跨步太大.60.求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，如果所求的角为90，那么就不要忘了还有一种求角的方法即用证明它们垂直的方法.61.异面直线所成角利用“平移

24、法”求解时，一定要注意平移后所得角等于所求角(或其补角)，特别是题目告诉异面直线所成角，应用时一定要从题意出发，是用锐角还是其补角，还是两种情况都有可能。62.你知道公式：和中每一字母的意思吗?能够熟练地应用它们解题吗?63.两条异面直线所成的角的范围：090直线与平面所成的角的范围：0o90二面角的平面角的取值范围：018064.你知道异面直线上两点间的距离公式如何运用吗?65.平面图形的翻折，立体图形的展开等一类问题，要注意翻折，展开前后有关几何元素的“不变量”与“不变性”。66.立几问题的求解分为“作”，“证”，“算”三个环节，你是否只注重了“作”，“算”，而忽视了“证”这一重要环节?6