复变函数第三章复变函数的积分

1、复变函数课件第三章复变函数的积分第1页，共95页，2022年，5月20日，22点54分，星期二 暨南大学复变函数教学课件Department of Mathematics第一节 复积分的概念及其简单性质 1、复变函数积分的的定义 2、积分的计算问题3、基本性质第2页，共95页，2022年，5月20日，22点54分，星期二第三章复变函数的积分同微积分一样，在复变函数中，积分法也是研究复变函数性质十分重要的方法在解决实际问题中也是有力的工具本章先介绍复变函数积分的概念，性质和计算方法然后介绍关于解析函数积分的柯西古萨基本定理及其推广，有了这些基础，我们建立柯西积分公式，最后证明解析函数的导数仍是解

2、析函数，从而导出高阶导数公式第3页，共95页，2022年，5月20日，22点54分，星期二1、复变函数积分的定义 设在复平面C上有一条连接 及Z两点的简单曲线C。设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上的连续函数。其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部。把曲线C用分点分成n个更小的弧，在这里分点是在曲线C上按从 到Z的次序排列的。如果 是 到 的弧上任意一点，那么考虑和式第4页，共95页，2022年，5月20日，22点54分，星期二复变函数的积分第5页，共95页，2022年，5月20日，22点54分，星期二复变函数的积分分实部与虚部，有或者在这里 分别表示的实部与虚部。第

3、6页，共95页，2022年，5月20日，22点54分，星期二复变函数的积分按照关于实变函数的线积分的结果，当曲线C上的分点个数无穷增加，而且时，上面的四个式子分别有极限：这时，我们说原和式有极限第7页，共95页，2022年，5月20日，22点54分，星期二复变函数的积分这个极限称为函数f(z)沿曲线C的积分，记为因此，我们有第8页，共95页，2022年，5月20日，22点54分，星期二复变函数的积分如果C是简单光滑曲线：，并且 ，那么上式右边的积分可以写成黎曼积分的形式，例如其中第一个可以写成因此，我们有第9页，共95页，2022年，5月20日，22点54分，星期二复变函数的积分我们可以看到，

4、把dz形式地换成微分，就直接得到上式，因此有当是分段光滑简单曲线时，我们仍然可以得到这些结论。第10页，共95页，2022年，5月20日，22点54分，星期二2 复变函数积分的性质：复变函数积分的基本性质：设f(z)及g(z)在简单曲线C上连续，则有（1）（2）（3）其中曲线C是由光滑的曲线 连接而成；（4）积分是在相反的方向上取的。第11页，共95页，2022年，5月20日，22点54分，星期二复变函数积分的性质：如果C是一条简单闭曲线，那么可取C上任意一点作为取积分的起点，而且积分当沿C取积分的方向改变时，所得积分相应变号。（5）如果在C上，|f(z)|0, 存在d (e) 0, 当 |z

5、-z0|d 时, | f (z)-f (z0)| e. 设以 z0为中心, R 为半径的圆周K : |z-z0|=R全部在C的内部, 且R d.DCKzz0R根据闭路变形原理, 该积分的值与R无关, 所以只有在对所有的R 积分为值为零才有可能。第73页，共95页，2022年，5月20日，22点54分，星期二推论1 如果C是圆周z=z0+Reiq, 则柯西积分公式成为- 一个解析函数在圆心处的值等于 它在圆周上的平均值.推论2 设 f (z)在二连域 D内解析，在边界上连续，则第74页，共95页，2022年，5月20日，22点54分，星期二例1 解： 第75页，共95页，2022年，5月20日，

6、22点54分，星期二第76页，共95页，2022年，5月20日，22点54分，星期二 3.6 解析函数的高阶导数 一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这一点和实变函数完全不同. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数在这区间上是否连续也不一定, 更不要说它有高阶导数存在了. 关于解析函数的高阶导数我们有下面定理:第77页，共95页，2022年，5月20日，22点54分，星期二定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数, 它的n阶导数为: 其中C为在函数 f (z)的解析区域D内围绕 z0的任何一条正向简单曲线, 而且它的内部全含于D.

7、证 设z0为D内任意一点, 先证n=1的情形, 即 因此就是要证第78页，共95页，2022年，5月20日，22点54分，星期二按柯西积分公式有因此第79页，共95页，2022年，5月20日，22点54分，星期二现要证当Dz0时I0, 而 f (z)在C上连续, 则有界, 设界为M, 则在C上有| f (z) | M. d为 z0 到C上各点的最短距离, 则取 |Dz| 适当地小使其满足 |Dz| 1.解 1) 函数 在C内的z=1处不解析, 但cospz在C内却是处处解析的. 第82页，共95页，2022年，5月20日，22点54分，星期二3 柯西不等式与刘维尔定理：定理4.3 设函数f(z

8、)在以为边界的闭圆盘上解析，那么其中第83页，共95页，2022年，5月20日，22点54分，星期二定理4.3的证明：证明：令是圆那么，由导数公式，有其中，n=0,1,2,;0!=1。第84页，共95页，2022年，5月20日，22点54分，星期二注解：注解1、上面的不等式称为柯西不等式。注解2、如果在C上解析，那么我们称它为一个整函数，例如等。关于整函数，我们有下面重要的刘维尔定理第85页，共95页，2022年，5月20日，22点54分，星期二刘维尔定理：定理4.4： 有界整函数一定恒等常数证明：f(z)是有界整函数，即存在使得f(z)在上解析。由柯西公式，有令 ，可见从而f(z)在C上恒等

9、于常数。第86页，共95页，2022年，5月20日，22点54分，星期二4 莫勒拉定理：5、莫勒拉定理：应用解析函数有任意阶导数，可以证明柯西定理的逆定理，定理5.1 如果函数f(z)在区域D内连续，并且对于D内的任一条简单闭曲线C，我们有那么f(z)在区域D内解析。第87页，共95页，2022年，5月20日，22点54分，星期二莫勒拉定理：证明：作以为z0心的圆盘在凸区域K内，函数f(z)连续，并且对于K内任何一个三角形的周界C，则可以证明f(z)在K内有原函数F(z)，即于是F(z)在K内解析。由系4.1，f(z)在K内，在z0解析，从而有任意阶导数。又因为z0的任意性，结论成立。第88页

10、，共95页，2022年，5月20日，22点54分，星期二例：计算的值，为包含圆周的任何正向简单闭曲线第89页，共95页，2022年，5月20日，22点54分，星期二本节结束谢谢！Complex Function Theory Department of Mathematics第90页，共95页，2022年，5月20日，22点54分，星期二3.4 解析函数和调和函数的关系定义1 (称为调和方程或Laplace方程) 定理1： 证明： 且u, v有任意阶连续偏导数 同样可得 第91页，共95页，2022年，5月20日，22点54分，星期二注：逆定理显然不成立，即 对区域D内的任意两个调和函数 u, v, 不一定是解析函数 .定义2 若u与v是区域D内的调和函数且满足C-R程， 则称v为u的共轭调和函数 .定理2： 在区域D内解析 v为u的共轭调和函数 .解析函数的虚部为实部的共轭调和数例如：是解析函数，不是解析函数。第92页，共95页，2022年，5月20日，22点54分，星期二已知共轭调和函数中的一个，可利用 C-R 方程求得另一个，从而构成一