排列组合难例题

1、第十二章 排列组合二项式定理、概率统计难题荟萃例1、某电子表以6个数字显示时间，例如09:20:18表示9点20分18秒.则在0点到 10点之间，此电子表出现6个各不相同数字来表示时间的有次.【分析】分步来确定电子表中的六个数字如下：第一步：确定第一个数字，只能为0,只有1种方法；第二步：确定第三位数字，只能为0至5中的一个数（又不能与首位相同），所以只有5 种方法；第三步：确定第五位数字，也只能为0至5中的一个数（又不能与首位，第三位相同）， 所以只有4种方法；第四步：确定剩下三位数字，0至9共10个数字已用了 3个，剩下的7个数字排列在2,4, 6位共有A3种排法.7由分步计数原理得：1X

2、5X4X A3 =4200种.【评述】做一件事情分多步完成时，我们一般先做限制条件较大的一步，如本题中，首 位受限条件最大，其次为三、五位，所以我们先排首位，再排三、五位，最后排其他位.例2在给出的下图中，用水平或垂直的线段连结相邻的字母，按这些线段行走时，正 好拼出“竞赛”即“CONTEST”的路线共有多少条？C0CNOCTNOCETNOCSETNOCTSETNOCCCOCCONOCCONTNOCCONTETNOCCONTESETNOCCONTESTSETNOC【分析】“CONTEST”的路线的条数与“TSETNOC”路线的条数相同，如下右图，从 左下角的T走到边上的C共有6步，每一步都有2

3、种选择，由分步计数原理，所以下图中， “TSETNOC”路线共有26=64条.所以本题的答案为64X2-1 = 127.【评述】例9的这种计数的方法常称之为对应法计数，它的理论基础为：如果两个集合 之间可以建立一对一的对应关系，那么这两个集合的元素的个数相同.借助这个原理，如果 一个集合元素的个数不好计算时，我们将其转化为求另一个集合元素的个数不失为一种较好 的方法.OE例3：在正方形ABCD中，E, F,G,H分别为各边的中点，。为正 方形中心，在此图中的九个点中，以其中三个点为顶点作三角形，在 D 这些三角形中，互不全等的三角形共有多少个？思路分析根据三角形的类型分为三类：直角三角形有 R

4、tAHAE, RtADAE, RtADAB共3种；以边AB为底的三角形 OAB, AGAB共2种；过中点和中心的三角形有 H hgb,xdgb,kGBO共3种。由加法原理得，共有3+2+3 =8种D 不同类型的三角形。简要评述本题体现了 “转化化归数学思想”的应用，属于排列组aiixsi合中的几何问题，在具体方法上是运用了“穷举法(将所有的情形全部列出)”。例4：在多项式(1+ X)6(1-X)5的展开式中，含x3项的系数为多少？解(1+ X)6(1-x)5 = (1+ 6X + 15X2 + 20 x3 + )(1-5X + 10X2 10X3 + ) 所以含X3 项的系数为-10 + 60

5、-5x15 + 20 = -5。解 2 (1+ X)6(1-X)5 = (1-X2)5(1+ X) = (1-c5X2 + C；X4- )(1+ X)，所以含X3项的系数为C5=5。.解 3 由组合原理 C5 + 职(-1)2 + %(-1)1 + C3Co(-l)o =-5 简要评述本题重点考查对二项式定理的本质的理解和运算能力。例5：从数字0，2,3,4,5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数 字之和等于6的概率为多少？思路分析本题的基本事件是由6个不同的数字允许重复而且含0的条件下组成三位数， 根据乘法原理可知基本事件的全体共有5 X 6 X 6 = 180个。设三个

6、数字之和等于6的事件为 a，则人分为六类：数码(5,1,0)组成不同的三位数有A2C2个；数码(4,2,0)组成不同的三 位数有A；C2个；数码(4,1,1)组成不同的三位数有C3个；数码(3,3,0)组成不同的三位数有 C2个；数码(3,2,1)组成不同的三位数有A；个；数码(2,2,2)组成不同的三位数有1个，根 尸(A)=竺=1据加法原理，事件人共有A2C2+A2C2+C1+C2+A；+1 =20个。故 180 9。简要评述本题考查等可能性事件的概率和互斥事件的概率，重点在于利用排列组合知识 求各个基本事件的总数。(1 + 2x)100 = e + e (1 x) + e (1 x)2

7、+ + e (1 x)100, e e R, i =1,2,3, 例6：若012100i则e + e + e + + e012100ie | =100 I 。(1+ 2 x )100 =3 + (2)(1 x) I00思路分析将条件等式的左右两边比较，可知变形(-)(八 )人(1 一 x) = 1e + e + e + + e = (3 2 x 1)ioo = 1，则有 012100e 1 + |e |+ |ej +e + e + e +01 . .2，利用赋值法，令令(1 X) = -1，则有卜0简要评述本题考查二项展开式系数的性质，在具体方法上是运用了通法“赋值法”。+ Ie10| = 3

8、-2x (-讨00 = 5100例7：鱼塘中共有N条鱼，从中捕得t条，加上标志后立即放回塘中，经过一段时间，再从 塘中捕出n条鱼，发现其中有s条标志鱼。(1)问其中有s条标志鱼的概率是多少？ ( 2) 由此可推测塘中共有多少条鱼(即用t,n, S表示N)？Cn思路分析(1)由题意可知，基本事件总数为N。鱼塘中的鱼分为两类：有标志的鱼t条， 无标志的鱼(N t)条，从而在捕出n条鱼中，有标志的S条鱼有Ct种可能，同时无标志的 (ns)条鱼有CNt种可能，则捕出n条鱼中有s条鱼共有c：种可能。所以概率为C：Cnsn* nt=，N =CN 。(2)由分层抽样可知，tN s(条)。简要评述本题考查等可

9、能性事件的概率和统计知识，重点要注意“鱼”的不同的分类以及抽样方法中各个元素被抽取概率的相等性。例8：某宾馆有6间客房，现要安排4位旅游者，每人可以进住任意一个房间，且进住各房 间是等可能的，求下列事件各的概率：（1）事件A :指定的4个房间各有1人；（2）事件B : 恰有4个房间各有1人；（3）事件C :指定的某房间中有2人；（4）事件D :一号房间有1 人，二号房间有2人；（5）事件E :至少有2人在同一个房间。思路分析由于每人可以进住任一房间，进住哪一个房间都有6种等可能的方法，根据乘 法原理，4个人进住6个房间有64种方法，则（1）指定的4个房间中各有1人有A4种方法，A4 1C 4

10、A4 5p（A） = f = C AP（B） = f64 54。（2）恰有4个房间各有1人有C6A4种方法，6418。从4人中选2人的方法有C4种，余下的2人每人都可以去另外的5个房间中的任一间，有52P（C） = 425种方法，64216。（4）从4人中选1人去一号房间的方法有C4种，从余下3再余下的1人可去4个房间中的任一间，人中选2人去二号房间的方法有C P（ D）=当24 1 TOC o 1-5 h z 6427（5）从正面考虑情形较复杂，正难则反“至少有2人在同一个房间”的反面是“没有2人13P （E） = P （B） = 1 - P （B）=- 在同一个房间，即恰有4个房间各有1人

11、”，18。简要评述本题考查等可能性事件的概率和互斥事件的概率，注意排列组合知识的运用。（理）例9：甲、乙、丙三人独立解某一道数学题，已知该题被甲解出而乙解不出的概率为124，被乙解出而丙解不出的概率为12，被甲、丙两人都解出的概率是9。（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求该题被解出的概率以及解出该题人数。的分布列和数学期望。思路分析（1）设A, B, C分别为甲、乙、丙三人各自独立解某一数学题的事件。由已知则 有一 一、11fP (A B)=4,P( A) (1-P( B) = 4,1 P(B C)=,1P (B) (1-P(C) = -,JLp( a C)=1I9即2P（ A） P（C）

12、 = L由此方程组解得1P( A) = 3,P( B) = 1, 4p (c)=2.3所以该题被乙独1 P (B)=- TOC o 1-5 h z 立解出的概率为4。(2)记D为该题被解出，它对应着甲、乙、丙三人中至少有一人解出该题，则 HYPERLINK l bookmark34 o Current Document 3 15P (D) = 1 - P (D) = 1 - (1-P (A)(1-P( B )(1-P (C) = 1 -=-4 36。-1 1P & = 0) = P (A) P( B) P (C) = -P & = 3) = P (A) P (B) P (C)=- HYPERL

13、INK l bookmark17 o Current Document 618 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document -17P = 1) = P (A) P (B) P(C) + P( A) P (B) P (C) + P( A) P( B) P(C)=- 36,-11P (Q = 2) = P (A) P( B) P (C) + P( A) P( B) P (C) + P( A) P( B) P(C)=-36所以随机变量Q的分布列为:0123P1617361136118 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark25 o

14、 Current Document 117111=0 x + 1x + 2 x+ 3 x=期望为 HYPERLINK l bookmark28 o Current Document 6363618简要评述本题考查相互独立事件的概率和互斥事件的概率，同时考查函数方程数学思想 和运算能力。理科还考查分布列和数学期望，在解题过程中特别要注意，真正弄清每一个随 机变量“ = k ”所对应的具体随机试验的结果。（理）例10：某一汽车前进途中要经过3个红绿灯路口。已知汽车在第一个路口，遇到红1灯和遇到绿灯的概率都是2 ；从第二个路口起，若前次遇到红灯，则下一次遇到红灯的概123率是3，遇到绿灯的概率是3；

15、若前一次遇到绿灯，则下一次遇到红灯的概率是5，遇到2绿灯的概率是5。求：（1）汽车在第二个路口遇到红灯的概率是多少？（2）在三个路口中， 汽车遇到一次红灯，两次绿灯的概率是多少？汽车在经过三个路口过程中，所遇到红灯的次 数的期望是多少？思路分析根据相互独立事件同时发生的概率的乘法公式可得，p=1 x 1+1 x n z（1）（2）1 2 3 2 5 15n 1 2 2 1 3 2 1 2 3 34P x x + x x + x x 2 235253255 75要求期望，则必须先求分布列。设汽车所遇到红灯的次数为随机变量。，则有P (1182 22P(Q 0) x x 5 5 251 2 2 1 3 2 1 2 3 34P