数论问题之余数问题-余数问题练习题含答案

1、mxloxlonTxI8探6XI960寸、960寸unCNz6mmH6xI寸寸9sLXe093卜寸093X19寸CN(XI)L只粘8探血9卜00CN尼SSmxIS迢也毬刪理宦区0Qg探毬mxI趕(XI卜00CN)xITxIffw8HRSIK1S 数.分析:1013-12=1001,1001=71113,那么符合条件的所有的两位数有13,77,91有的同学可能会粗心的认为11也是.11小于12,所以不行.大家做题时要仔细认真.4.学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班分析:所求班级数是除以118

2、,67,33余数相同的数.那么可知该数应该为118-67=51和67-33=34的公约数,所求答案为17.5.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.求下列各式的余数:(1)2461135604711(2)21236分析:(1)5;(2)找规

3、律,2的n次方被6除的余数依次是(n=1,2,3,4):2,4,2,4,2,4因为要求的是2的123次方是奇数,所以被6除的余数是2.（小学数学奥林匹克初赛）有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果分析:此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这31

4、37=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的最大公约数便可求出小朋友最多有多少个了.2402=238（个）,3137=306（个）,（238,306）=34（人）.（第十三届迎春杯决赛）已知一个两位数除1477,余数是49.那么,满足那样条件的所有两位数是.分析:1477-49=1428是这两位数的倍数,又1428=223717=5128=6821=8417,因此所求的两位数51或68或84.9.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定

5、能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.10.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.分析:127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.L000CN666T5TxI卜寸093X19寸CN(XI).6XIsls66M毬0061:wsooxI6XI.1眠戴製66M毬LxI微8CN

6、XlCN.Km微OCNTxI.KM 分析:（1）5;（2）19997的余数是4,19992000与42000除以7的余数相同.然后再找规律,发现4的各次方除以7的余数的排列规律是4,2,1,4,2,1这么3个一循环,所以由20003余2可以得到42000除以7的余数是2,故199920007的余数是2.13.（小学数学奥林匹克初赛）有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果分析:此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最

7、大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这3137=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的最大公约数便可求出小朋友最多有多少个了.2402=238（个）,3137=306（个）,（238,306）=34（人）.14.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差

8、的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.分析:127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.除以99的余数是.分析:所求余数与19100,即与1900除以99所得的余数相同,因此所求余数是19.17.199419941994(1994个1994)除以15的余数是分析:法1:从简单情况入手找规

9、律,发现199415余14,1994199415余4,19941994199415余9,199419941994199415余14,发现余数3个一循环,19943=664.2,199419941994(1994个1994)除以15的余数是4;法2:我们利用最后一个例题的结论可以发现199419941994能被3整除,那么199419941994000能被15整除,19943=664.2,199419941994(1994个1994)除以15的余数是4.18.abc是自然数，分别除以11的余数是2,7,9.那么(a+b+c)(a-b)(b-c)除以11的余数是多少分析:(a+b+c)11的余数是

10、7;(ab)11的余数是11+27=6;(bc)11的余数是11+79=9.所求余数与76911的余数相同,是4.19.盒乒乓球,每次8个8个地数,10个10个地数,12个12个地数,最后总是剩下3个.这盒乒乓球至少有多少个？分析与解答:如果这盒乒乓球少3个的话,8个8个地数,10个10个地数,12个12个的数都正好无剩余,也就是这盒乒乓球减少3个后是8,10,12的公倍数,又要求至少有多少个乒乓球,可以先求出8,10,12的最小公倍数,然后再加上3.281012故8,10,12的最小公倍数是22253=120.所以这盒乒乓球有123个.20.自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三

11、个余数的和是25.这三个余数中最小的一个是.分析与解答:设这个自然数为,且去除63,90,130所得的余数分别为a,b,c,则63-a,90-b,130-c都是的倍数.于是(63-a)+(90-b)+(130-c)=283-(a+b+c)=283-25=258也是的倍数.又因为258=2343.(670CN)6+m+CN+xl+01:CN(6XloxI)6+m+CN+xl+01:XI斷sig6M毬00CN66XICNSOT689S寸码一:gw艦任戴探川眠p竝喟寸HqoCNHeEwm寸HS8H.fsCNHO+q+e川圾、寸CNHh-KKo+q+es罄眾ooHh-KK需Yq旨Kn)8Hh-KmJ皿

12、Qm任Yq6轻LXCNy+q+e眠60&6CNr98l咀“寸9mCNOOOCNsigsmxIM毬CNCNCNCNCNcxiCNm探6MZH1CN+OO1:+S6寸+S6寸+s寸ooxI*xIJooxIHg0KnHhw灵凶g661：w66XIOOTS6寸H6+:cn+t+oxI(6+:CN探Tx10探606探(6606)6+m+CN+xl+01:6 分析与解答:因为222222=2111111=21111001=211171113所以222222能被13整除.又因为2000=6333+22222=222200+222000个19982213=19所以要求的余数是9.求除以9,11,99,101,

13、999,1001,13和91的余数分别是多少;解答:23:除以9的余数是0,11:一个2007奇数位上数字和与偶数位上数字的和的差为5.2007个2007奇数位上数字和与偶数位上数字的和的差为52007.520073(mod11),所以除以11的余数是399:能被9整除,被11除余3的数最小是36,所以除以99余36200720072007能被7,13,37整除.999=27371001=7111391=71313:0(mod13)除以13余091:0(mod91)除以91余0所以除以13,91,999的余数都是0.1001:除以11余3,除以7,13余0,满足次条件的最小数是1092,109

14、2除以1001余91.所以除以1001的余数是91.lor曲亠二那営9999H10199、耳壬H0000+2007H10000+2007H9999+2007+2007(modlol)回番Hffl+2007+20072(modlol)20072007(modlol)H68回酋smJla 解答:此数除以3余2,除以5余3,除以7余2,满足条件最小数是2325、(23+105k)2)个数除以7余3,除以11余7,除以13余4,符合此条件的数最小是;如果它是一个四位数,那么最大可能解答:满足除以7余3,除以11余7的最小数为73,设此数为73+77a=13b+4,69-a=13b.a最小等于4满足条件

15、的最小数是381.设最大的四位数为381+1001X,最大的四位数为9390.(1732)26、今天周一,天之后是星期;这个数的个位数字是天之后是星期解答:只要求出7的余数就可以知道天后是星期几.52007(mod7),561(mod7)20073(mod6),52007536(mod7)s所以天之后是星期日2007的个位数字是720072的个位数字是920073的个位数字是320074的个位数字是120075的个位数字是127、一个三位数,被17除余5,被18除余12,那么它可能是一个四位数,被131除余112,被132除余98,那么它可能是解答:设此三位数为17a+5=18b+12.可得到17a=17b+b+7,所以b+7一定能被17整除,b=10,27,44.这个三位数为192,498,804.设此四位数为131x+112=132y+98,可得到131x=131y+y-14,所以y-14一定能被131整除,y=14,145（太大）这个四位数是194628、甲乙丙三个数