高中数学选择性必修一 第二章 直线与圆章末检测A高二数学尖子生同步培优题典（含答案）

1、2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典第二章 直线与圆 单元测试A 解析版学校:_姓名：_班级：_考号：_注：本检测满分150分，用时120分钟。其中8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。一、单选题（共8小题，每小题5分，满分40分）1已知圆：，则圆的圆心坐标和半径分别为（ ）A，16B，16C，4D，4【答案】D【解析】【分析】将圆的一般方程，转化为标准方程即可求得圆心和半径.【详解】因为等价于故圆心为，半径为.故选：D.【点睛】本题考查由圆的一般方程写出圆的圆心和半径，属基础题.2设某直线的斜率为k，且，则该直线的倾斜角的取值范围是( )ABCD【答案】D【解

2、析】【分析】通过直线的斜率的范围，得到倾斜角的正切值的范围，然后求出的范围.【详解】解：直线l的斜率为k，倾斜角为，若k（，），所以tan所以.故选：D.【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查计算能力.3点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是（ ）ABCD【答案】A【解析】试题分析：设圆上任一点为，中点为，根据中点坐标公式得，因为在圆上，所以，即，化为，故选A.考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程. 【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；定义法，根据题意动点符合已知曲线

3、的定义，直接求出方程；参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；逆代法，将代入.本题就是利用方法求的轨迹方程的.4在平面直角坐标系中，以，为顶点构造平行四边形，下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】依次代入四个选项的坐标，求出每种情况下四边的长度，结合对边是否平行即可选出正确答案.【详解】设第四个顶点为当点的坐标为时，四边形不是平行四边形A不正确；当点坐标为时，因为，即且，故是平行四边形，B正确；当点坐标为时，因为，即且，故是平行四边形，C正确；当点坐标为时，因为，即且，故是平行四边形，D正确；故选：A【点睛】本题考查了两点间的距离公式，考查

4、了判断两直线是否平行，属于基础题.5若直线经过第一、二、三象限，则系数满足的条件为( )A同号BCD【答案】B【解析】【分析】【详解】因为直线 经过第一、二、三象限，所以斜率 ，在 轴上的截距 ，两式相乘可得故选B.6古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262公元前190年）的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k0，k1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆在平面直角坐标系中，设A（3，0），B（3，0），动点M满足2，则动点M的轨迹方程为（）A（x5）2+y216Bx2+（y5）29C（x+5）2+y216Dx2+（y+5）2

5、9【答案】A【解析】【分析】首先设，代入两点间的距离求和，最后整理方程.【详解】解析：设，由，得，可得：（x+3）2+y24（x3）2+4y2，即x210 x+y2+90整理得，故动点的轨迹方程为.选A.【点睛】本题考查了轨迹方程的求解方法，其中属于直接法，一般轨迹方程的求解有1.直接法，2.代入法，3.定义法，4.参数法.7集合，,且,则r的取值范围是()ABCD【答案】C【解析】【分析】由题意知集合M与N中的两个圆内含或内切，由圆心距与半径差的关系可得结果.【详解】由得，圆与圆内切或内含，即.故选C.【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，考查了集合间关系的转化，属于基础题.8已知圆，圆，分别

6、为圆上的点，为轴上的动点，则的最小值为( )ABCD【答案】D【解析】【分析】求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求得的最小值，得到答案【详解】如图所示，圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标为,，半径为3，由图象可知，当三点共线时，取得最小值，且的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径之和，即，故选D 【点睛】本题主要考查了圆的对称圆的方程的求解，以及两个圆的位置关系的应用，其中解答中合理利用两个圆的位置关系是解答本题的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于基础题二、多选题（共4小题，每小题5分，满分20分；选

7、漏得3分，选错得0分）9（多选）已知直线l经过点，且点到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为（ ）ABCD【答案】AB【解析】【分析】由题可知直线l的斜率存在，所以设直线l的方程为，然后利用点到直线的距离公式列方程，可求出直线的斜率，从而可得直线方程【详解】当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即由已知得，所以或，所以直线l的方程为或故选：AB【点睛】此题考查直线方程的求法，考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题10（多选）已知圆，直线.则以下几个命题正确的有（ ）A直线l恒过定点B圆C被y轴截得的弦长为C直线l与圆C恒相交D直线l被圆C截得最短弦长

8、时，直线l的方程为【答案】ABCD【解析】【分析】求出直线过定点，A正确；求出圆与y轴的交点坐标，进而求出弦长，B正确；直线过定点在圆内，故C正确；当直线截得的弦长最短时，即可求出直线方程，故D正确.【详解】将直线l的方程整理为，由解得则无论m为何值，直线l过定点，故A正确；令，则，解得，故圆C被y轴截得的弦长为，故B正确；因为，所以点D在圆C的内部，直线l与圆C相交，故C正确；圆心，半径为5，当截得的弦长最短时，则直线l的斜率为2，此时直线l的方程为，即，故D正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系、直线过定点等基本数学知识，考查了运算求解能力和数形结合思想，属于一般题目.

9、11已知圆O：和圆C：.现给出如下结论，其中正确的是（ ）A圆O与圆C有四条公切线B过C且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或C过C且与圆O相切的直线方程为DPQ分别为圆O和圆C上的动点，则的最大值为，最小值为【答案】AD【解析】【分析】对于A，先由已知判断两圆的位置关系，从而可判断两圆的公切线的条数；对于B，截距相等可以过原点或斜率只能为，从而可得直线方程；对于C，由于点C在圆O外，所以过点C与圆O相切的直线有两条；对于D，的最大值为圆心距与两圆半径的和，最小值为圆心距与两圆半径的差，【详解】解：由题意可得，圆O：的圆心为，半径，圆C：的圆心，半径,因为两圆圆心距，所以两圆相离，有四条公切线，

10、A正确；截距相等可以过原点或斜率只能为，B不正确；过圆外一点与圆相切的直线有两条，C不正确；的最大值等于，最小值为，D正确.故选：AD【点睛】此题考查两圆的位置关系的有关性质，属于基础题12如图，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W.则下述正确的是（ ）A曲线W与x轴围成的面积等于；B曲线W上有5个整点（横纵坐标均为整数的点）；C所在圆的方程为：；D与的公切线方程为：.【答案】BCD【解析】【分析】计算面积，故错误；曲线W上有5个整点，故正确；计算圆方程得到正确；计算公切线得到正确；得到答案.【详解】如图所示：连接，过点作轴于，轴于.则

11、面积，故错误；曲线W上有5个整点，故正确；所在圆圆心为，半径为，故圆的方程为：，正确；设与的公切线方程为：，根据图像知，则，解得，即，正确；故选：.【点睛】本题考查了圆的面积，圆方程，公切线，意在考查学生的计算能力.三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知圆，圆，则两圆公切线的方程为_.【答案】【解析】【分析】首先判断两圆的位置关系，根据位置关系再求两圆公切线方程.【详解】解析圆，圆心为，半径为1；圆，圆心为，半径为5.易知两圆内切，切点为，又两圆圆心都在轴上，所以两圆公切线的方程为，即.故答案为：【点睛】本题考查两圆的位置关系，公切线方程，属于基础题型.14入射光线从P(2,1

12、)出发，经x轴反射后，通过点Q(4,3)，则入射光线所在直线的方程为_.【答案】2xy50【解析】【分析】利用反射定理可得入射光线所在直线，经过P(2,1),Q(4，3)，即可列出两点式直线方程，化简得直线方程：2xy50.【详解】利用反射定理可得，点Q(4,3)关于x轴的对称点Q(4，3)在入射光线所在直线上，故入射光线l所在的直线PQ的方程为，化简得2xy50.【点睛】本题借助反射的对称原理，考查了直线的两点式方程；在求直线方程时，要明确直线方程的几种形式及各自的特点，一般已知斜率，选择斜截式或点斜式；已知在两个坐标轴上的截距，选择截距式；已知直线上两点，选择两点式，并且要注意斜率不存在的

13、情况.15如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2m,水面宽12m,当水面下降1m后,水面宽为_m.【答案】【解析】【分析】以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,根据题意可以求出找到一个点的坐标,这样可以求出圆的方程,最后可以求出当水面下降1m后,水面宽的大小.【详解】以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,如下图所示：由题意可知：设圆的方程为：(其中为圆的半径),因为拱顶离水面2m,水面宽12m,所以设,代入圆的方程中得：,所以圆的方程为：,当水面下降1m后,设代入圆的方程中得

14、：.故答案为：【点睛】本题考查了圆的方程的实际应用,考查了数学运算能力和阅读能力.16已知m，n，a，且满足，则的最小值为_.【答案】1【解析】【分析】设点，直线，直线， 的最小值可转化为点与点两点间距离的最小值，显然最小值为两平行线之间的距离.【详解】设点，直线，直线，由题意知点在直线上，点在直线上，所以，显然，所以的最小值就是两平行线之间的距离，即.故答案为：1.【点睛】本题考查两点间的距离公式，考查两平行线之间的距离公式，考查逻辑思维能力和计算能力，考查转化思想，属于常考题.四、解答题（共6小题，满分70分；其中17小题满分10分，其余个小题满分为12分）17已知直线： .(1)求证：无

15、论为何实数，直线恒过一定点； (2)若直线过点，且与轴负半轴、轴负半轴围成三角形面积最小，求直线的方程.【答案】(1)无论为何实数，直线恒过一定点,(2) 【解析】试题分析：直线化为,联立，解出即可得出结论设直线的方程为,可得,由基本不等式可得解析：（1）证明：则所以无论为何实数，直线恒过一定点（2）由题知直线的斜率，设直线：， ， ，即： 点睛：直线恒过定点在求解过程中先整理直线解析式，根据性质联立方程组即可求出直线恒过定点坐标，欲求面积最小值，给出面积表达式，利用基本不等式求解18已知两圆x 2+y 2-2x-6y-1=0 x 2+y 2-10 x-12y+m=0（1）m取何值时两圆外切？

16、（2）m取何值时两圆内切？（3）当m=45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长【答案】（1）（2）（3）直线方程为 4x+3y-23=0，弦长为 【解析】试题分析：（1）先把两个圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和，求得m的值；（2）由两圆的圆心距等于两圆的半径之差为，求得m的值（3）当m=45时，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程求出第一个圆的圆心（1，3）到公共弦所在的直线的距离d，再利用弦长公式求得弦长试题解析：（1）由已知可得两个圆的方程分别为（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=61-m， 两圆的圆心距d

17、= =5，两圆的半径之和为 + ， 由两圆的半径之和为 + =5，可得 m=（2）由两圆的圆心距d= =5 等于两圆的半径之差为|- |， 即| - |=5，可得 - =5 （舍去），或 - =-5，解得m=（3）当m=45时，两圆的方程分别为 （x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=16， 把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为 4x+3y-23=0第一个圆的圆心（1，3）到公共弦所在的直线的距离为 d=2，可得弦长为 考点：1两圆相切的位置关系；2两圆相交的公共弦问题19已知圆.（1）求过点的圆的切线方程；（2）直线过点且被圆截得的弦长为，求的范围；（3）已知

18、圆的圆心在轴上，与圆相交所得的弦长为，且与相内切，求圆的标准方程.【答案】（1）或；（2）；（3）答案不唯一，具体见解析.【解析】【分析】（1）将圆的方程化为标准形式，求出圆心为，半径为1，讨论切线的斜率存在或不存在，设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径即可求解斜率，即求.（2）当直线时，弦长最短，求出，当直线经过圆心时，弦长最长，即求.（3）设圆，与圆相交于，两点，根据，求出两点的纵坐标，进而求出或在圆上，代入即可求解.【详解】（1）圆，即，其圆心为，半径为1.当切线的斜率不存在时，切线方程为，符合题意.当切线的斜率存在时，设切线斜率为，则切线方程为，即，由圆心到切线的距离等于半径，得

19、，解得，此时，切线方程为.综上可得，圆的切线方程为或.（2）当直线时，弦长最短，此时直线的方程为，所以，当直线经过圆心时，弦长最长，长为2，所以.（3）设圆，与圆相交于，两点，两点的纵坐标分别为，将代入圆的方程，得或，或在圆上.圆内切于，圆经过点或，若圆经过和，则其标准方程为，若圆经过和，则其标准方程为，若圆经过和，则其标准方程为，若圆经过和，则其标准方程为.【点睛】本题考查了圆的切线方程、弦长、圆的标准方程，考查了基本运算求解能力，属于基础题.20已知圆的圆心坐标为，且该圆经过点.（1）求圆的标准方程；（2）若点也在圆上，且弦长为8，求直线的方程；（3）直线交圆于，两点，若直线，的斜率之积为

20、2，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标.【答案】（1）（2）或（3）证明见解析，定点【解析】【分析】（1）圆以为圆心，为半径，直接写出圆的标准方程；（2）对直线的斜率进行讨论，再利用弦长公式和点到直线距离公式，可求得直线的斜率，再由点斜式方程求得答案；（3）设直线：，利用得到的关系，从而证得结论.【详解】（1）圆以为圆心，为半径，所以圆的标准方程为.（2）不存在时，直线的方程为：；存在时，设直线的方程为：，联立方程，所以直线的方程为：，综上所述，直线的方程为或.（3）设直线：，联立方程，所以，代入得，化简得，所以直线的方程为：，所以过定点.【点睛】本题考查圆的标准方程、弦长公式、点到直线距离、直线过定点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对斜率存在和存在的讨论.21已知P是直线上的动点，、是圆的两条切线，A、B是切点.（1）求四边形面积的最小值；（2）直线上是否存在点P，使？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）不存在；答案见解析.【解析】【分析】（1）如图，而，所以只要当最小时，四边形面积取最小值，而的最小值为点到直