数学 一元二次方程的专项 培优练习题附详细答案

1、一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.关于X的方程X2-2(k-1)x+k2=0有两个实数根X、X2.求k的取值范围；若X+x2=1-XX2，求k的值.【答案】(1)k0,代入可解出k的取值范围;(2)由韦达定理可知，X+x2=2(k1)，=k2,列出等式，可得出k的值.1试题解析：(1).4=4(k1)24k20，.一8k+40,k；(2)X+X2=2(k1),XX2=k2，.2(k1)=1k2,二(=1,k2=3.1-k,k=3.2如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB=16cm,BC=6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向

2、点D移动.若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm?若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm?若点P沿着ABTBCTCD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间厶PBQ的面积为12cm2?【答案】(1)PQ=6j?cm；(2)8s或24s；(3)经过4秒或6秒厶PBQ的面积为12cm2.【解析】试题分析：(1)作PE丄CD于E,表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2

3、列出方程求解即可；(2)设x秒后，点P和点Q的距离是10cm.在RtAPEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程(16-5x)2=64，通过解方程即可求得x的值；(3)分类讨论：当点P在AB上时；当点P在BC边上；当点P在CD边上时.试题解析：(1)过点P作PE丄CD于E.EQ=16-2x3-2x2=6(cm),PE=AD=6cm；在RtAPEQ中，根据勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2,二PQ=6J2cm；经过2s时P、Q两点之间的距离是6迈cm；(2)设x秒后，点P和点Q的距离是10cm.(16-2x-3x)2+62=102，即(16-5x)2=64，16-5x=8，x8

4、24x=，x=15，25；824经过5s或丁sP、Q两点之间的距离是10cm；(3)连接BQ.设经过ys后厶PBQ的面积为12cm2.16当0丫亍时，则PB=16-3y，11-PBBC=12，即-x(16-3y)x6=12,厶厶解得y=4；1622当-3x丁时，BP=3y-AB=3y-16,QC=2y，则11-BPCQ=-(3y-16)x2y=12，2解得yT=6，y2=-3(舍去)；2|x0；(2)m=-1,-3.【解析】分析：(1)先计算判别式得到=(m-3)2-4m(-3)=(m+3)2,利用非负数的性质得到0，然后根据判别式的意义即可得到结论；2)利用公式法可求出xi=3m，然后利用整

5、除性即可得到m的值详解：(1)证明：TmHO,方程mx2+(m-3)x-3=O(mHO)是关于x的一元二次方程,=(m-3)2-4mx(-3)=(m+3)2，T(m+3)20，即厶0，.方程总有两个实数根；-(3-m)(m+3)(2)解：Tx=2m3X1=-，x_=1，1m2Tm为正整数，且方程的两个根均为整数，.m=-1或-3点睛:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(aHO)的根的判别式=b2-4ac：当厶0,方程有两个不相等的实数根；当=0,方程有两个相等的实数根；当厶0,方程有两个不相等的实数根；当厶二。，方程有两个相等的实数根；当厶V0,方程没有实数根6为了让学生亲身感受合肥城

6、市的变化,蜀山中学九(1)班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：(1)如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；(2)如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【答案】共有35名同学参加了研学游活动【解析】试题分析：由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等量关系为：(100-在30人基础上降低的人数X2)X参加人数=3150,得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可试题解析：T100 x30=3000V3150,

7、该班参加研学游活动的学生数超过30人.设九(1)班共有x人去旅游，则人均费用为100-2(x-30)元，由题意得：x100-2(x-30)=3150,整理得X2-80 x+1575=0，解得X=35,x2=45,当x=35时,人均旅游费用为100-2(35-30)=9080,符合题意当x=45时，人均旅游费用为100-2(45-30)=700,由此可得出：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；(2)根据等腰三角形的性质及0,可得出5是方程X2-4mx+4m2-1=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论.试题解析：解：(1)T=(

8、-4m)2-4(4m2-1)=40,无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根.(2)T0，ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，5是方程x2-4mx+4m2-1=0的根.将x=5代入原方程，得：25-20m+4m2-1=0，解得：m1=2，m2=3.当m=2时，原方程为X2-8x+15=0，解得：x】=3,x2=5.T3、5、5能够组成三角形，.该三角形的周长为3+5+5=13；当m=3时，原方程为x2-12x+35=0，解得：x1=5,x2=7.T5、5、7能够组成三角形，二该三角形的周长为5+5+7=17综上所述：此三角形的周长为13或17.点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性

9、质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：(1)牢记“当厶。时，方程有两个不相等的实数根；(2)代入x=5求出m值.8.已知:如图，在RtAABC中，ZC=90。，AC=8cm，BC=6cm.直线PE从B点出发，以2cm/s的速度向点A方向运动，并始终与BC平行，与线段AC交于点E.同时，点F从C点出发，以1cm/s的速度沿CB向点B运动，设运动时间为t(0tV5).(1)当t为何值时，四边形PFCE是矩形?【解析】【分析】首先根据勾股定理计算AB的长，再根据相似比例表示PE的长度，再结合矩形的性质即可求得t的值.根据面积相等列出方程，求解即可.【详解】解：(1)在RtAABC中，

10、ZC=90。,AC=&BC=6，ABAC2+BC2=牌+62=10PAPE，AE10-2tPEAEPE/BC,.=,=-ABBCAC106834.PE=5(102t),AE=5(102t)，当PE=CF时，四边形PECF是矩形，330.5(io2t)=t解得t=242411(2)由题意=12+wt=xx6x8乙JJJ乙整理得t2-5t+5二0，解得t=注目2t=生,AABC面积是APEF的面积的5倍。2【点睛】本题主要考查矩形的动点问题，这是近几年的考试热点，必须熟练掌握.9自2018年1月10日零时起，高铁开通，某旅行社为吸引广大市民组团去仙都旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10人，

11、人均旅游费用为200元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150元（1）如果某单位组织12人参加仙都旅游，那么需支付旅行社旅游费用元；（2）现某单位组织员工去仙都旅游，共支付给该旅行社旅游费用2625元，那么该单位有多少名员工参加旅游？【答案】（1）2280；（2）15【解析】【分析】对于（1）根据人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求解；对于（2）设这次旅游可以安排x人参加，而由10 x200=2000V2625，可以得出人数大于10人，则根据x列出方程：（10+x）（2005x）=2625，求出x,然后根

12、据人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求出x的范围，最后得出x的值.【详解】（1）2280（2）因为10 x200=2000150，0 x10，经检验x1=5是方程的解且符合题意，x2=25（舍去）.10+x=10+5=15答：该单位共有15名员工参加旅游.【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，根据题意作出判断，列出一元二次方程，求解方程，舍去不符合题意的解，从而得出结果.10.若两个一次函数的图象与X轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“X牵手点一次函数y=x-1与x轴的交点坐标为；一次函数y=ax+2与一次函数y=x-1为一对

13、“x牵手函数，则a=；已知一对“x牵手函数：y=ax+1与y=x-1，其中a,b为一元二次方程X2-kx+k-4=0的两根，求它们的“x牵手点.11【答案】(1)(1,0)，a=-2；(2)“x牵手点为(2，0)或(2，0)-【解析】【分析】根据x轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a的值；根据“x牵手函数的定义得到a+b=0,根据根与系数的关系求得k=0,可得方程X2-4=0，解得X=2,x2=-2,再分两种情况：若a=2，b=-2,若a=-2，b=2，进行讨论可求它们的“x牵手点【详解】解：(1)当y=0时，即x-1=0,所以x=1,即一次函数y=x-1与x轴的交点坐标为(1,0),由于一次函数y=ax+2与一次函数y=x-1为一对“x牵手函数，所以0=a+2，解得a=-2；(2)vy=ax+1与y=bx-1为一对“