高中数学必修四任意角的概念

1、高中数学必修四课件任意角的概念课件第1页，共38页，2022年，5月20日，9点23分，星期四1.1.1 任意角的概念第2页，共38页，2022年，5月20日，9点23分，星期四1、角的概念初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形. 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。 初中学过的角的范围是：0至 360。 第3页，共38页，2022年，5月20日，9点23分，星期四2角的概念的推广“旋转”形成角 如图：一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角 旋转开始时的射线OA叫做角的始边，旋转终止的射线OB叫做角的终边，射线的端点

2、O叫做角的顶点第4页，共38页，2022年，5月20日，9点23分，星期四“正角”与“负角”、“零角” 我们规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角=210，=150，=660， 第5页，共38页，2022年，5月20日，9点23分，星期四 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角即零度角（0）此时零角的始边与终边重合。 角的记法：角或可以简记成，或简记为： .如=-1500 ， =00， =6600 等等第6页，共38页，2022年，5月20日，9点23分，星期四角的概念扩展的意义：用“旋转

3、”定义角之后，角的范围大大地扩大了 角有正负之分; 如：=210, = 150, =660. 角可以任意大; 实例：体操动作：旋转2周（3602=720） 3周（3603=1080） 还有零角, 一条射线，没有旋转.第7页，共38页，2022年，5月20日，9点23分，星期四 角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角 要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定源于实际的需要，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样第8页，共38页，2022年，5月20日，9点23分，星期四用旋转来描述角，需要注意三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转量 （2）旋转方

4、向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；（1）旋转中心：作为角的顶点.第9页，共38页，2022年，5月20日，9点23分，星期四（3）旋转量： 当旋转超过一周时，旋转量即超过360，角度的绝对值可大于360 .于是就会出现720 ， 540等角度.第10页，共38页，2022年，5月20日，9点23分，星期四3象限角 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。 角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的非负半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角。（

5、角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限此时这种角称为：轴线角） 例如：30、390、330是第一象限角， 300、 60是第四象限角， 585、1300是第三象限角， 135 、2000是第二象限角等第11页，共38页，2022年，5月20日，9点23分，星期四4终边相同的角 观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同.探究：终边相同的角都可以表示此角与k(kZ)个周角的和： 390=30+360(k=1), 330=30360 (k=1) 30=30+0360 (k=0), 1470=30+4360(k=4) 1770=305360 (k=5)第12页，共38页，2022

6、年，5月20日，9点23分，星期四 结论： 所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：| =+k360， kZ 即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。第13页，共38页，2022年，5月20日，9点23分，星期四注意以下四点： kZ， K 0，表示逆时针旋转， K 0,表示顺时针旋转. 是任意角； k360与之间是“+”号，如k36030,应看成(30)+ k360 ； 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍. 所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：| =+k360， kZ即：任何一个与角终边相同的角，都

7、可以表示成角与整数个周角的和。第14页，共38页，2022年，5月20日，9点23分，星期四例1. 在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.(1) 120；(2) 640；(3) 95012.第15页，共38页，2022年，5月20日，9点23分，星期四例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在360720间的角写出来： (1) 60；(2) 21；(3) 36314.第16页，共38页，2022年，5月20日，9点23分，星期四例3写出终边分别落在四个象限的角的集合.终边落在坐标轴上的情形xyo090180270+K 360+K 360+K 360+

8、K 360或360+ K 360第17页，共38页，2022年，5月20日，9点23分，星期四第一象限的角表示为 |k360 90 + k360,kZ；第二象限的角表示为 | 90 + k360180 +k360，kZ；第三象限的角表示为 | 180 + k360 270 + k360，kZ第四象限的角表示为 | 270 + k360 360 + k360，kZ第18页，共38页，2022年，5月20日，9点23分，星期四例4、写出终边落在y轴上的角的集合.xyo090180270+K 360+K 360+K 360+K 360第19页，共38页，2022年，5月20日，9点23分，星期四课堂

9、练习 1锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90的角是锐角吗？区间(0,90)内的角是锐角吗？答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；区间(0,90)内的角是锐角 第20页，共38页，2022年，5月20日，9点23分，星期四2 、已知角2的终边在x轴的上方，那么是( ) A 第一象限角 B 第一、二象限角 C 第一、三象限角 D 第一、四象限角3、若是第四象限角，则180是（ ） A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角第21页，共38页，2022年，5月20日，9点23分，星期四4、若90135，则的

10、范围是_，+的范围是_;5、若的终边与60角的终边相同，那么在0,360）范围内，终边与角 的终边相同的角为_;第22页，共38页，2022年，5月20日，9点23分，星期四弧度制第23页，共38页，2022年，5月20日，9点23分，星期四1、角度制的定义规定周角的 为1度的角这种用度做单位来度量角的制 度叫角度制。12、弧长公式及扇形面积公式nR180l= nR2360S= nRl第24页，共38页，2022年，5月20日，9点23分，星期四1、弧度制 我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角 叫做1弧度的角。设弧AB的长为l，若l=r，则AOB= 1 弧度lr=OBrl=rA1弧度第25页，共

11、38页，2022年，5月20日，9点23分，星期四 则AOB= 2 弧度lr = 则AOB= 2弧度lr=rOABl=2r2弧度l=2 rOA(B)r若l=2r，若l=2 r，2弧度第26页，共38页，2022年，5月20日，9点23分，星期四若圆心角AOB表示一个负角，且它所对的弧的长为3r，则AOB的弧度数的绝对值是lr=3，即AOB=lr=3弧度l=3rOABr-3弧度第27页，共38页，2022年，5月20日，9点23分，星期四由弧度的定义可知：圆心角AOB的弧度数的绝对值等于 它所对的弧的长与半径长的比。定义的合理性1弧度Rl=ROAB1弧度 rl=rOAB与半径长无关的一个比值第2

12、8页，共38页，2022年，5月20日，9点23分，星期四一般地，我们规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，任一已知角的弧度数的绝对值：=lr其中l为以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆的半径。这种用“弧度” 做单位来度量角的制度叫做弧度制。第29页，共38页，2022年，5月20日，9点23分，星期四2、弧度与角度的换算lr= 则AOB= 2弧度此角为周角 即为360360= 2 弧度180= 弧度l=2 rOA(B)r若l=2 r，第30页，共38页，2022年，5月20日，9点23分，星期四由180= 弧度 还可得1= 弧度 001745弧度1801弧度 =（）

13、 5730= 5718180第31页，共38页，2022年，5月20日，9点23分，星期四3、圆的弧长公式及扇形面积公式Olrl = r由=lr得S = l r12= r2 12第32页，共38页，2022年，5月20日，9点23分，星期四第33页，共38页，2022年，5月20日，9点23分，星期四4、用弧度来度量角，实际上角的集合 与实数集R之间建立一一对应的关系：实数集R角的集合正角零角负角正实数零负实数对应角的弧度数第34页，共38页，2022年，5月20日，9点23分，星期四练习xy0(1)xy0(2)第35页，共38页，2022年，5月20日，9点23分，星期四练习第36页，共38页，2022年，5月20日，9点23分，星期四小结：1、量角的制度:角度制与弧度制弧度制除了使角与实数有一一对应关系外，为以后学习三角函数打下基础。2、能熟练地进行角度与弧度之间的换算。3、弧长公式：扇形面积公式：（其中 为圆心角 所对的弧长，