高数 三重积分的计算

1、高数 三重积分的计算第1页，共26页，2022年，5月20日，20点45分，星期四化三重积分为单积分与二重积分的累次积分柱面坐标与球面坐标系下三重积分的计算法小结第六章 多元函数积分学及其应用第三节 三重积分的计算 (4学时)1作业: 1382,4(1)(4)(7)(10)(13),5,6(2)(3),7第2页，共26页，2022年，5月20日，20点45分，星期四在此首先复习：定积分是如何寻求计算方法的? 二重积分是如何解决计算问题的？ 三重积分又将通过什么思想寻求计算途径？2第3页，共26页，2022年，5月20日，20点45分，星期四第一部分 化三重积分为单积分与 二重积分的累次积分3体

2、积微元三重积分:在直角坐标系中，若用平行于坐标平面的平面族划分积分域则体积微元从而第4页，共26页，2022年，5月20日，20点45分，星期四4如图，直角坐标系中将三重积分化为三次积分令则即将三重积分化为先单积分后二重积分的累次积分第5页，共26页，2022年，5月20日，20点45分，星期四例1 解闭区域在xoy平面上的投影为从而5第6页，共26页，2022年，5月20日，20点45分，星期四6解例2 则得交线投影区域 第7页，共26页，2022年，5月20日，20点45分，星期四解如图：例3 7（总结：在什么条件下将三重积分化成 “先单后重”也称投影法）第8页，共26页，2022年，5月

3、20日，20点45分，星期四即将三重积分化为先二重积分后单积分的累次积分直角坐标系中也可将三重积分化为“先二重后单”积分8（通过下面两道例题体会在什么情况下将三重积分 化成“先重后单”的累次积分；也称截面法）第9页，共26页，2022年，5月20日，20点45分，星期四例4 解因此9第10页，共26页，2022年，5月20日，20点45分，星期四解：课堂讲例5 10（P126页例）第11页，共26页，2022年，5月20日，20点45分，星期四第二部分 柱面坐标与球面坐标系下 三重积分的计算法11一、利用柱面坐标计算三重积分规定：柱面坐标与直角坐标的关系为三组坐标面为：第12页，共26页，20

4、22年，5月20日，20点45分，星期四柱面坐标系下的体积微元12如图，因此体积微元为用三组坐标面把区域分成许多小闭区域，除了含边界点的一些不规则小闭区域外，这些小闭区域都是柱体，现考虑由各取得微小增量所成的柱体的体积，这个体积等于高与底面积的乘积。现在高为，底面积在不计高阶无穷小时为故第13页，共26页，2022年，5月20日，20点45分，星期四解13例6 得交线为由柱面坐标变换即从而第14页，共26页，2022年，5月20日，20点45分，星期四解1所围成的立体如图所示 .14例7 旋转面方程为所围成立体的投影区域如图. 第15页，共26页，2022年，5月20日，20点45分，星期四1

5、5考虑如下区域:则因此（教材P131页例）解2第16页，共26页，2022年，5月20日，20点45分，星期四二、利用球面坐标计算三重积分16则数组 称为点P的球面坐标.设点如图,球面坐标的三组坐标面为：第17页，共26页，2022年，5月20日，20点45分，星期四球面坐标系下的体积微元如图，17因此其体积微元为用三组坐标面将积分区域分成许多小闭区域.所成的六面体的体积.不计高阶无穷小，可把这个六面体看作长方体.第18页，共26页，2022年，5月20日，20点45分，星期四18例8 解1采取球面坐标变换:则从而第19页，共26页，2022年，5月20日，20点45分，星期四19解2采取柱面

6、坐标变换:几何体在xoy平面上的投影区域为:第20页，共26页，2022年，5月20日，20点45分，星期四解一：20例9 采用球面坐标变换:（教材P134例）解二：第21页，共26页，2022年，5月20日，20点45分，星期四补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标面的奇偶性21第22页，共26页，2022年，5月20日，20点45分，星期四积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是 的奇函数,22解例10 所以第23页，共26页，2022年，5月20日，20点45分，星期四解23例11 第24页，共26页，2022年，5月20日，20点45分，星期四24由对称性知 则采用柱面坐标变换,则有区域在xoy平面上的投影区域为所以（用球面坐标如何？）第25页，共26页，2022年，5月20日，20点45分，星期四25第三部分 小结三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积微