数学史世界8第六节及元代数学

1、第六节及元代数学一、元初数学成就1的数学工作(12351281)，元代数学家字敬甫，唐县(今属河北)人他“六岁就学，十三岁学九数，辄造其极”后从学，官至太史令十七年(1280)与天文学家作的唐代(12311316)等共同编成授时历，其中的数学工作主要是制订历法时，假定作匀加速运动，所以使用二次内插法但实际上，运行的加速度是不断变化的在授时历中，把、月亮及五星的视行度当作时间的三次函数，采用三次内插法来求函数值，收到更好效果但确定天置需要使用赤道坐标和黄道坐标，之前是直接通过天文观测来确定这两种坐标的首先注意到两种坐标的数学关系，提出如下问题：已知的“黄道积度”，求“赤道积度”和“赤道内外度”如

2、图 816，设A 为春分点，D 为夏至点，其中d 为直径，BNOOE只要测得黄道坐标，便可利用上述公式及其他有关知识推出相应的赤道坐标，从而使人们经过较少的实测，得到较多的结果2的割圆术，元代天文学家、数学家字子公，号缘督先生，鄱阳(今江西鄱阳)人，生卒年不详所著革象新书是一部天文数学著作作圆内接正方形，然后不断倍增边数，依次求得各内接正多边形边长(图 817)“置第十二次之小弦以第十二次之曲数一万六千三百八十四乘之，得三千一百四十一寸五分九厘二毫有奇，即是千寸径之周围也”近似值中最准确的一个说：“自一、二次求之以至一十二次，可谓极其精密若节节求之，虽至千万次，其数终不穷”可见他不仅认识到圆内

3、接正多边形的极限位置是圆，而且认识到极限是一个不可穷尽的过程，这种与现代极限观念相当接近还进一步揭示了方、圆关系，说：“要之方为数之始，圆为数之终圆始于方，方终于圆”这种“互通”的是很深刻的，他已认识到方可转化为圆，而转化的条件便是取极限二、生平，元代数学家字汉卿，号松庭，燕山(今附近)人，生卒年不详元中国后，数学家的周游各地二十余年，向他求学的人很多，他到广陵(今扬州)时“踵门而学者云集”全面继承前人的数学成果，他吸收了高次方程的数值解法，又吸收了北方的天元术及南方的各种日用算法、数学口诀等，在此基础上进行了创造性研究，写成以总结和普及当时各方面数学知识为的算学启蒙(三卷)和四元术的代表作四

4、元玉鉴(三卷)，先后于 1299 年和 1303 年刊印是元代最杰出的数学家，清(17741853)说他“兼包众有，充)之上”四元玉鉴的成书则标志类尽量，神而明之尤乎秦(九韶)着数学达到最科学史家萨顿(GSarton)称赞该书“数学著作中最重要的一部，也是中世纪的杰出数学著作之一”三、算学启蒙算学启蒙的内容由浅入深，次第谨严，从一位数乘法开始，一直讲到当时的数学成果天元术，形成一个完整体系，内容包括多位数乘法、分数四则运算、面积和体积计算、比例问题、垛积术、盈术、线性方程组、高次方程解法等尤其引人注目的是，卷首“总括”中给出一整套数学概念及运算法则，作为全书的理论基础其中包括正负数乘法法则及倒

5、数概念明确指出：“同名(号)相乘为正，异名相乘为负”又：“平除长为小长，长除平为小平小相乘得一步为小积”这便给出倒数的基本性质在算学启蒙中，借助辅助未知数解线性方程组，这在数学史上还是首次例如卷下“方程正负门”第五题，依术列方程组如下(改用现代符号)：这种方法对于简化运算程序是很有意义的，系数越复杂，设辅助未知数的方法就越有用另外，书中把天元术广泛用于各种面积和体积问题，导出许多高次方程，这说明天元术在的基础上有了进一步的发展还致力于算法研究，给出一些新的公式，如“开方释锁门”给出根式运算法则其中n，a，b 为自然数，n2算学启蒙为四元玉鉴提供了必要的预备知识，正如书“似浅实深”，与四元玉鉴“

6、相为表里”四、四元玉鉴所说，该四元玉鉴的主要成就是四元术，即四元高次方程组的建立和求解方法在他之前，已有载两仪群英集臻二元术，乾坤括囊三元术在此基础上，“演数有年，探三才之赜，索九章之隐，按天、地、人、物立成四元”(四元玉鉴后序)，创立了举世闻名的四元术的天、地、人、物，相当于现在的x，y，z，u，其摆法如图 8 .18，例如方程-x2+3xy-2xz+x-y-z=0(卷下“三才变通”第 1 题)及2u4-u3-u2+3u-8z2+2xz+2xy+6yz=0(卷下“四象”第 6 题)分别摆成图 8.19 和图 8.20 的形状四元玉鉴共 24 门 288 问，所有问题都与方程或方程组有关题目顺

7、序大体是先方程后方程组，先线性方程组后高次方程组创造了一套完整的消未知数方法，称为四元消法这种方法在世界上长期处于领先地位，直到 18世纪，法国数学家(E.Bezoub,17301783)提出一般的高次方程组解法，才的消法要点仅见于书首“假令四草”，其他各题均无草书超过但首还列有“今古开方会要之图”、“四元自乘演段之图”、“五和自乘演段之图”和“五较自乘演段之图”，这些图的作用也是统御全书说：“凡习四元者，以明理为务必达乘除、升降、进退之理，乃尽性穷神之学也”卷首各图便是为“明理”而作，他说：“夫算中玄妙，无过演段如积幽微，法奥妙，学者鲜能造其微前明五和，次辨五较，自知优劣也”认图其四元玉鉴表

8、明，在方程领域取得重要成就以前的方程都是有理方程，则突破有理式的限制，开始无理方程他不化为有理方程(见“左右逢源”第 21 题，“拨换截田”第 18 题，“四象”第 1 题)四元消法是方程理论的他通过方程组中不同方程的配合，依次消掉未知数，化四元式为一元式，即一元高次方程三元式和四元式的消法称为“剔而消之”，即把全式剔分为二，进行相消二元式的消法称为“互隐通分相消”下面以二元三行式为例说明其消法其中各系数是关于另一个未知数的多项式(可以是常数)欲消x2 项，先以B2 乘(1)式中 x2 项以外各项，再以A 乘(2)式中 x2 项以外各2项，相减，得C1xC00(3)以x 乘(3)，得C x1

9、C x=0(4)20将(4)与(1)或(2)联立，用同样方法消去 x2 项，得 D1x+D00 (5)(3)与(5)联立，便为二元二行式行内二行乘积与外二行乘积相减，得C1D0-C0D10称C1，D0 为外二行，C0，D1 为内二这便消去x，得到只含另一个未知数的一元方程了四元玉鉴含二元问题 36 个，三元问题 13 个，四元问题 7 个虽然用到四元术的题目不多，但它们却代表了全书，也代表了当时世界范围内方程组理论的最高水平“四象的方程”第 6 题所导出的十四次方程古算史上次数最高高阶等差级数理论是书中另一成就的隙积术开了研究高阶等差级数的先河，给出包括隙积术在内的一系列二阶等差级数求和公式在

10、这一领域作了总结性工作在中卷“茭草形段”和下卷“果垛叠藏”中，他依次研究了一阶至五阶等差级数求和问题，不仅给出相应的公式，而且发现其规律，掌握了如下的三角垛公式从而奠定了垛积术的理论基础实际上，等差级数是几阶的，便可把上式中的p 换为几给出了p1，2，5 的特例他还发现垛积术与内插法的内在联系，在“如象招数”第 5 题中利用垛积术导出四次内插公式(四次差为一非零常数，五次差为零)：其中1，2，3，4 分别为一次差、二次差、三次差、四次差由于杰正确了公式中各项系数恰好是一系列三角垛的积，他显然能够解决更高次的内插问题，从而把中国古代的内插法推向一个新水平在几何方面，也有一定的贡献自九章算术以来，

11、中国就有了平面几何与几何，但一直到北宋，几何研究离不开勾股和面积、体积始注意到圆城图式中各元素的关系，得到一些定理，但未能推广到更一般的情形在的基础上，深入研究了勾股形内及圆内各几何元素的数量关系，发现了平面几何中的射影定理和特殊情形的弦幂定理例如卷上“混积问元”第七题，如图 821，得到公式易证等号左面等于h2，所以此式与射影定理h2ef 等价再如卷中“拨换截田”第十四题，如图 822，ABCD 于E， 4CEEDAB2此式显然是弦幂定理CEEDAEEB在两弦垂直且有一弦为直径时的特殊情形给出公式五、数学的外传及算学启蒙算学启蒙及后即传到和在时期(1416 世纪)，算法都被作为选拔算官的基本

12、书籍两书的庆幸州府刻本(15 世纪)一直保存至今由于算学启蒙在失传，清得振翻刻本(1660)，于 1839 年在扬州重新，现存各版本的母本算学启蒙对写出专著，比较著名的有的影响也很大，不少学者在研究此书的基础上实宣新编算学启蒙注解三卷(1672)、建部算学启蒙谚解大全七卷(1690)等数学还曾传到13 世纪兀西征时，带走了一批中国天文学家和数学家他征服波斯后支持丁(NasiradDin，12011274)在马拉盖(Maraghen，今伊朗境内)建立了一座规模宏大的天文台，并把带去的中国学者留在天文台和丁一起工作，这数学传入国家的一个途径数学家(alksh，？1429)的算术之钥(The Key

13、 ofArithmetic，1427)中有不少内容与中国数学相同，如三角形、增乘开方法，以及和“百鸡问题”极为类似的“百禽问题”等他受到中国数学影响是可以肯定的，当然不排除其独立取得成果的可能性在元代，数码曾传入中国，但并未被接受得几何原本也传到上都(今内正蓝旗)，可惜没有译成中文，所以影响不大，便，散失了之后，元代数学便开始走下坡代数学理论水平远不及天元术、四元术成为绝学直到明末清初，由于西方数学的传入及中国学者的努力，数学才有所回升那么，数学的原因是什么呢？首先，中国传统数学是依靠算筹的，虽然这是一种很有用的计算工具，但具有不可避免的局限性，因为它只适于计算而不适于证明，只能表示具体的量而

14、不能表示抽象的量这就限制了人们的抽象思维，限制了数学一般化程度的提高宋元方程理论可以由天元术发展为四元术，但在筹算体系内却无法建立五元术或 n元术，因为四个未知数已把“太”的上下左右占满这个例子便说明了算筹的局限性更重要的是，人们无法利用算筹进行逻辑推理，也很难在筹算体系内发展数学符号但这些消极的总和，充其量是使数学停滞不前而事实上，元末数学不仅没前进，反而后退造成这种状况的原因就不在数学了，而在于社会当时的政策是不利于科学发展的，尤其是八股取士制1314 年恢复科举考试后，内容以集注的四书为主，将数学内容完全取消，这种远离自然科学，发展为“以四书五经命题、八股文取士”的制度，引导严重了读书人的们为了功名，