10客观难题(教师版)

1、围是2020年一模汇编一一客观难题一、填空题【浦东11】已知数列 同中，ai =1,nay =(n+1居+1,若对于彳i意的a 一2,2、nw N*，不等式 刍也3-a 2t恒成立，则实数t的取值范围为 . n 1【答案】：，】_.一a a 11 【解析】a=1,nan. =(n+1心+1 ,则=一十一，则利用累加法可得到n 1 n n n 1-an- =2 ,由-an- 满足：a =1自书 an亡Q , jan M n三N), 记数列Ln得前n项和为Sn,若对所有满足条件的数列 an, S10的最大值为M.最小值为 m,贝U M+m=.【答案】1078【解析】a2a=a =a?=2 ,可知a

2、n)一定是单调递增数列，则 aMan由an = an,即1an Wan由E2an ,当an4=an+1时，an = n, Sn取最小值此时c (1+10)10 二二 m=S10= =55 n 1 当an+ =2an时，an 2, S * *n取取大值此时 2 -1,得 tw(g,_1 n 1 n 1 n 12 2 1【宝山11】已知以、Ln 均是等差数列，Cn = an bn ,若Ln 前三项是7、9、9 ,则C10 = .1【徐汇11】 已知数列an的前他和为Sn,对任意nW N* , Sn =(1)nan + j + n3且 (ai p)(a2 p) 1 一1 （门为奇数）2 n 2 n2

3、 n一 1 一一 1当门为前数时，an = an + an j, -2 +1，即an=3 2 n,所以a n = 3 万n （ n为偶数）口一 一一 1331-11 ） ,一于是可知奇数项an = FT1W -1,-,偶数项an =3- I , 3 ,所以可知14214 J3 I114,4【杨浦11已知函数f (x) =11(x A0),若关于x的方程If (x)2 +mf(x) + 2m + 3 = 0 x有三个不相等的实数解，则实数m的取值范围为 、3 4【答案】m (-3,-3【解析】设f(x) =t，则当xW (0,1)时，t有两个解，当xw1=1,y)时，t有一个解，2因为t +mt

4、+2m+3=0有三个解，而一个一元二次方程最多两个解，因此这两个解一定3一个在(0,1),另一个在“=1,),当另一个为x = 1时，两根之积为0,此时m =,23f(0) 02m 3 0而两根之和不可能为一，矛盾，因此另一个在 1,+8),因此 () ，即2f (1) 0时必有4aw1= 0a-4当a 0,a =1 )： .【答案】y =log3(4x2 +7x +10 )(答案不唯一)【解析】 A C =2B,y =log2 2x2 6x 10【黄浦11】设函数y = f (x)的定义域为D ,若对任意的Xi w D ,总存在x?w D ,使得 f(x1)f (x2) =1,则称函数f(x

5、)具有性质m，下列结论： 函数y=x3-x具有性质M ； 函数y=3x+5x具有性质M ；若函数y = logg(x+2) , xW0,t具有性质M ,则3sin x - at =510；若y -3s x a具有性质M ,则a =5；其中正确结论的序号是4【答案】【解析】函数y =x3 x ,由于f (0) = 0 ,故不成立函数y =3x +5x值域(0,y),所以具有性质M1_函数 y =log8(x+2) , x0,t单调递增，f (0)=,故 f (t) =3= t =5103若y =3sinx*a具有，f质m ,则a=5,故不成立4【松江11若实数a,b a0 ,满足abc = a

6、+ b+c, a2+b2 =1 ,则实数C的最小值为 _A_r【解析】法1 （三角换兀），令a = cose,b=sine,e w 0, |2代入得 c = cos +sin ,再设 t = sinH + cose ,可知 t w f 1 J2 sin 1 cos1-1, .t所以c一一一122tt2-3 3tt上单调递减，故t=J2时c最小，最小为法2.根据对称式的形式，大胆猜测当、工小a = b = 时照小，弋入得 c = -272 22【虹口 11】如图，F1、F2分别是双曲线C :与y2 =1的左、右焦点，过 F2的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于 A、B两点,a uuu um 若

7、F2 A = AB ,uuu uuuF1B F2B = 0,则双曲线C的焦距uuu uuuuuu uuu|旧为4 3【答案】33 uuu uur uuu uuu【解析】由 F2A = AB, FiBF2B=0 可知 |F2AH AB|,F2 A _L AB得A为F2B的中点，。为F1F2的中点，所以OA为三角形F1F2BJ./OAF2 =/FiBF2 =；,Q|OB|=|OF2|,二 OA平分/BOF214. / 3渐近线为 y = x = - 3x= 2c = TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark10 o Current Document a322【静安11】

8、设双曲线 与一一y=1的两个焦点为F r F2，点P在双曲线上，若PF_LPF2, a a -则点P到坐标原点O的距离的最小值为 【解析】c2 = a2 a -：-.i, a13_ 2 时，可知 cmin = -2【普陀11】设P是边长为2J2的正六边形A1A2A3A4的任意一点，长度为 4的线段MN的取值范围为【答案】6 -4 ,6,8 8.2【解析】构建平面直角坐标系，取uuurMN 中点 C , PMuuuuuu uuur uuu uuuPN =( PC CM) ( PC CN)uuu2 uuu2 uuu uuu _=PC -CM =PC 4 | PC|max = 2j2+OC = 2V

9、2+2 ,uur一|PC |min=OBOC =V62 ,uuu2_ uuu uuu _PC w104强,12+8J2,即 PM PN e6 -4/6,8+8/2,另外，本题也可利用参数方程转化为三角函数求最值问题得思路解题。另两个顶点C、D在函数f(x)方,x0的图像上，则此矩形绕1 xx轴旋转而成的几何体的体积的最大值是一1x一【解析】: f (x) = f (一): D .x, -2 0 x 0)x4.V回什=二_ 一=二t2 +4 t +4 2c 4当且仅当t =2, x = J2 -1时等号成立【崇明11】某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若

10、其中甲不能从事翻译工作， 乙不能从事导游工作，其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 种.【答案】782【解析】1o甲乙都选中，还需抽两人出来：C3,接着安排甲乙工作:若甲从事导游，则乙和其他人等同，共有P33种选择安排;若甲不从事导游，则甲乙安排一共有：c2c2,再安排其他两人，一共：c2c2P22；则一【青浦11如图，一矩形 ABCD的一边AB在x轴上,概率概率23112共有：C3(P3 C2c2P2 )=3 14=422o甲乙二人有一个未被选出来，则还需选其他三人出来：C；,甲乙二人选一人有： C2,再安排工作：C2c2,再安排其他三人，一共有：C；C3P33 ,由10和20两

11、种情况可得：一共有42 +36 =78 种方案。【崇明12正方形ABCD勺边长为4 , O是正方形ABCD勺中心，过中心 O的直线l与边AB交于点M与边CD交于点N, P为平面上一点，满足2OP = OB+ (1-?.)OC ,则甫内的最小值为【解析】如图，C 2,2 D -2,2 A -2,-2 B 2,-2设直线 l : y=kx, kw (-笺，-1 L fi, +笛 H k2N -,2 ,M2二 i 设P(x, y)2OPKOB +1 九OC，所以x =1y =1-2 九Xr1，贝U PM PN =2 九一一i -3 ;2jD2时,k =： 14-2 ，KPM PN取到最小值，为-3-

12、4=-722【青浦12】已知点P在双曲线 -y- 916uiruuu=1 上，点 A满足 PA = (t1)OP (tw R),且uur uuuOA OP =60 ，uuuuuu uurOB =(0,1),则|OB OA|的最大值为uir uuu uiruur 一 uur uuux2 v2uur【解析】PA = PO+OA = (t1)OP= OA=tOP,设 P(x,y)且=1，则 oa = (tx,ty),916uu uur22y2225y2由 OA OP =60可得 t(x2 +y2)=t(9(1+l)+y2)=t(9 + )=60.161616/602 2(9), t y25 t当甘时

13、，（t2y2）max以t2座t二一出(t.为2 64,255253uur uur= 64,OBgOA =ty 8.【松江12】记边长为1的正六边形的六个顶点分别为A1,a2,a3,a4,a5, A6 ,集合m=：;=Ax a=1,2,3,4,5,切立在m中任取两个元素m,n,则m 1=0的【答案】51【解析】由集合的互异性，可枚举法数出M中共18个元素一 34+34 8 TOC o 1-5 h z 分两种情况分析：边和对角线，对角线和对角线。P =2一 =C2851 4T -【杨浦12】向量集合S = aa = (x, y), x, y w R,对于任意” ,B w S ,以及任意九w (0,

14、1), 4都有九a +(1-Z)P w S,则称S为“ C类集”。现有四个命题：(1)若S为“ C类集”，则集合S=Na aw S,NW R也是“ C类集”；(2)若S,T都是“ C类集”，则集合S = a+bawS,bwT也是“ C类集”；若A,A2都是“ C类集”，则A1 U A也是“ C类集”；(4)若A,A2都是“ C类集”，且交集非空，则 Al! A2也是“ C类集”；其中正确的命题有【答案】(2)(4)【解析】这是本次一模被讨论最多的题目，(2)和(4)的正确性是很容易验证的，讨论的焦点是(1)是否正确。利用三点共线的充要条件可以得到，“C类集”是平面上的凸的区域(线性规划中由不等

15、式确定的平面区域就是凸的区域，凸的确切定义请度娘)，因此，(1)是错误的，举个例子：设 S=,(t,1 -t) 0t a2, AB=J2+2,则这样的点 A有个.【答案】3【解析】设NAOB =日，则 2 oa-Oboa Ob- cos丝,则ZAOB=或24ZAOB J ； 4直线y =x+1截得ZAOB的线段长为：AB =2 +J2；当/AOB=2时，有2个点A 当NAOB=时，恰好有一个点 A 共3个点A.JT【闵行 12】设函数 f (x) =Asinx二)(co0, A0) , xW0,2n,若 f(x)恰有 46个零点，则下述结论中： 若f (x0)之f (x)恒成立，则x0的值有且

16、仅有2个；f (x)在IO,8,上单调递增； 存在和x1,使得f(x1)M f (x) M f(x+)对任意x70,2n恒1成立；“ A至1”是“万程f(x)=-万在0,2 n内恰有五个解”的必要条件；所有正确结论的编号是 【答案】6k 1 二【斛析】f (x) = Asin(6x )=0= x =kn,kZ 口 x =-,k = Z ,由 f (x) TOC o 1-5 h z 666 .咆空_12, 126 4 1 二6 3 1 二恰有4个零点，知x =-2 且x = =10,一，矛196 IL 6 196 . IL 2 2. 12盾，所以错误;f(Xi) f(x) f(Xi +-)对任意

17、 xw0,2n恒成立，则 2T5二一一=2, o=2,sin 2xi 1= -1 = x1 = kn ,k = Z,当 k=1 时，X =付合题 TOC o 1-5 h z 22666意，所以正确；1二111f(x) = - = sin , xx - = ,如图，充要条件为 一一 一 sin 2no I,即262A22A6T E2n且A之1,也就是 Z 匕，至i且A21,所以正确一 12ffi j； sin (- V fisinx +sinx2 + +sinxn =0,，【浦东12】如果方程组有实数解，则正整数 n的最sin x1 +2sinx2 +nsinxn =2019小值是.【答案】90

18、【解析】根据合理性安排，sinxi-1,0,1? 1i 0,r w R)的关键步骤”为【答案】log a M r = r log a M【解析】Q(alogaM)r =arlogaM =M r ,. loga M r =rloga M .【普陀12】若M、N两点分别在函数 y= f(x)与y = g(x)的图像上，且关于直线x=1对称，则称M、N是y= f(x)与y =g(x)的一对“伴点” (M、N与N、M视为相同的一一-,2x(x2)“伴点”，则实数a的取值范围为 .【答案】(3 -2 2,1 2.2)【解析】数形结合，画出y = f (x)的图像，并作出y= f (x)关于x=1对称的图

19、像22f (x)=( x+ 2 + y = 4又由题意，即f (x)与g(x)有两个交点，a取值范围的界值在g(x)与半圆y =也_ (x + 22)相切时取到，即点(一2,0)到直线y = x+ a41和直线_ 15x= R,均有f (x + 2) =2f(x),若不等式f (x) 在x=(,a上恒成立，则实数 a的最大值为【解析】丁 xw(0,2时，f(x)=x(2 x)= f(x)w0,1又丁 f(x+2)=2f (x)可知 xw(2,4= f (x)0,215xw(4,6= f(x)wQ4, xw(6,8= f (x) w 0,8此时包含 x (6,8, f(x)= 2f (x -2)

20、 -4f (x-4) -8f(x-6)可知当 x (6,8, x-6 (Q2f(x-6) =(x-6)(2-x 6) =(x-6)(8-x)15f(x) =8f (x-6) =8(x-6)(8-x)二22729- x1 , x2 二4_ 一 27所以a的最大值 4【徐汇12已知函数Yx 1 x -1f(x)=2x 6x 10 x - -1关于x的不等式f (x) -mx -2m -2 0 ,则x1 +x2 +x3的取值范围是【答案】2-12, +oc )【解析】此题转化为数形结合，即f (x)cm(x + 2)+2,画出大致图像，如下图：因为直线y = m(x+2)+2恒过定点(-2,2),显

21、然x2 = -2。3Ey = m x 222则联立，得 x2+(6m)x + 8 2m=0 ,y = x2 6x 10有 x1 +x2 =m -6 ,则 x1 = m -4。同理：y = m x 2 2 /日-1 -2m联乂 i，得 x3 =。y - -4x 1m 41m二 一一。2又因XiX2X3 0,故只需过D(0,1)为m的临界值，带入求得 TOC o 1-5 h z 要符合题意，故 m.-4 _1,212m，7=m + 4 +2V7 -12，故为+为+x122J712，当且仅当m = J74时，等号成立【长宁，嘉定，金山1 .一12】已知函数f (x )= x+ + a ,若对任意实数

22、a ,关于x的不等式 xf (x)m在区间|1,3 上总有解，则实数 m的取值范围为_ 2一二-, 一.,3【解析】x -.1,3 时，令 t=x+ 1,t w J2, _2x即：f (t )= t +a二m在tw |2,101上总有一 3解，即 m E f (t maxf t = t a=10f(t)min = +am 在3一口 r10 c 4at2上恒成立，即：m b 0,那么,当代数式a23 b(a -b)取最小值时，点P(a,b)的坐标【答案】(2、.2,.2)【解析】Qb(ab)M()2216a b( a - b)”一16 ab = a - b2 即 a2 =8a 2二时取等号，可求

23、得点 P坐标b =72【黄浦12】已知正六边形 AAA3A4AA6的边长为2,点是P该正六边形上的动点， uuuuuu uuiruur uuuruuir uuruuir uuiruuur uuiruuir记 b=APA2P+%pA3P+A3PA4P+A4PAP+A5PA6P + A6PAP，则仃的取值范围是.【答案】30,36【解析】以正六边形的中心为坐标原点建立坐标系，A(-1,J3), A(1,V3),A3(2,0),A(1,Q)A(1,73),A(2,0),设 P(xJ3),(-1xa2 ,则数列an是递增数列； 数列an奇数项是递增数列；则()A.对错B.错对C.均错误D.均正确【答案

24、】D【解析】若a1 =1,则an =1,nw N”不满足题意，因此a w (0,1卜(1,+ 0 ), an 0aaa 1 a3 Aa2二 a12 Aa1 1 ,若 0ca1 1,则 a? hr 1,此时a1al Aa；=a1 1,成立。因此 a1 1。此时 a2 =a1al a/ = a1ak 1假设 ak + ak (k w N )，则=y=a；k - ak1a1kak+ -ak 0,，a1ak+a 1,即 a ak+因此an + A an (nW N* ),即匕口是递增数列，对。若41,由知， 匕口是递增数列，因此an的奇数项也是递增数列。右 0Ma1 11,贝1=1i a2 = aj

25、a 二 a a91=a3 = a1- a1 = a1假设ak-2 ak ( k为正奇数)，则a1a 1 , a2019 a2020 1 , a2019 一 10 ,给出下列结论：0q 0；T2019是数列Tn中a2020 一1的最大项； 使Tn 1成立的最大自然数等于 4039;其中正确结论的序号为(IA1B【C】【D】【答案】Ba【解析】由题意，0 a2020 1 a2oi9q =32 w (0,1)正确;a2019a2019a2021.21 = a2020 1 m 0,专日证；分析可得，0 - 32020 1 a2019 a2018 一4，二正确;018,1,T4038 = a1 a403

26、8 a ia2 a4037 1 ia2019 a2020 = a2019 a2020一,、4039T4039=a1a4038.1 l.a2a4038,12019a2021a2020 =(32020)25,当且仅当2 n =3 m时等号成立,-22-22r =Vm +n ,Smin =n(m +n min =25% 故正确【宝山16】提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下asinx bcosx - a2 b2sin(x ),一一 ： 一一卜列判断错误的是()b【A】当a0,bA0时，辅助角 邛=arctan a b【B】当a 0,b 0时，辅助角 邛=arctan+冗 a b【C】当a 0,

27、b a0时，辅助角 邛=arctan- +n a b【D】当a 0,b 0,b0,sin中0,二9 w第四象限，所以B错。也可以举反例排除【浦东16】动点A(x,y)在圆X2 +y2 =1上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的1时间恰好是12秒.已知时间t=0时，点A的坐标是 丫3,.则动点A的纵坐标yI2 2)关于t (单位：秒)的函数在下列哪个区间上单调递增()A 10,3】【B】13,6C 16,9 【D】9,12【答案】D【解析】由题意可得定点 A的转速为2- = rad / s,初相中=,易得y = sin( + t),126666单调增区间为 【Y+12k,2十12k】,kwZ ,故答案选D.【静安16】某人驾驶一艘小游艇位于湖面A处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东210方向，且塔顶的仰角为18,此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B处，此时测得塔北偏西 39 方向则该塔的高度约为A 265 米B 279 米C 292 米D 306 米【答案】CAIhA【解析】1000sin5 l，sin60Jcos69tan87“ % 292.728米.【长宁，嘉定，金山 16】某港口某天0时至24时的水深y （米）随时间X（时）变化曲线近似满足如下函数模型：y = 0.5sin（onx+二）+3.24.若该港口在