【新教材】人教B版高中数学必修第二册练习6.1.4-6.1.5　数乘向量　向量的线性运算-【含答案】

1、第六章平面向量初步6.1平面向量及其线性运算6.1.46.1.5数乘向量向量的线性运算课后篇巩固提升基础达标练1.已知AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b),则()A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线C.B,C,D三点共线D.A,C,D三点共线2.下面四种说法:对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=ma-mb;对于实数m,n和向量a,恒有(m-n)a=ma-na;对于实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=b;对于实数m,n和向量a,若ma=na,则m=n.其中正确说法的个数是()A.4B.3C.2D.13.在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=

2、()A.34AB14ACB.14AB34ACC.34AB+14ACD.14AB+34AC4.已知ABC中,向量AP=(AB+AC)(R),则点P的轨迹通过ABC的()A.垂心B.内心C.外心D.重心5.(2020山东临沂高一月考)在ABC中,O为其内部一点,且满足OA+OB+4OC=0,则ABC和AOC的面积比是()A.21B.41C.61D.816.(多选题)设a,b都是非零向量.下列四个条件中,使a|a|=b|b|成立的条件是()A.2a=bB.abC.a=2bD.ab且|a|=|b|7.在四边形ABCD中,AB=3e,CD=-5e,且|AD|=|BC|,则四边形ABCD的形状为.8.已知

3、点P在直线AB上,且|AB|=4|AP|,设AP=PB,则实数=.9.如图,在ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=23AD,AB=a,AC=b.(1)用a,b分别表示向量AE,BF;(2)求证:B,E,F三点共线.能力提升练1.(多选题)已知e1,e2是不共线向量,则下列各组向量中是共线向量的是()A.a=5e1,b=7e1B.a=e121-13e2,b=3e1-2e2C.a=e1+e2,b=3e1-3e2D.a=e1-13e2,b=3e1-e22.(多选题)正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五

4、边形,且PTAT=5-12.下列关系中不正确的是()A.BPTS=5+12RSB.CQ+TP=5+12TSC.ESAP=5-12BQD.AT+BQ=5-12CR3.生于瑞士的数学家欧拉在1765年发表的三角形的几何学一书中有这样一个定理:“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.”这就是著名的欧拉线定理,在ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,D为BC边的中点,下列四个结论:(1)GH=2OG;(2)GA+GB+GC=0;(3)AH=2OD;(4)SABG=SBCG=SACG,其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.44.(2020陕西西安高二检测)在ABC中,点D是BC上任意一点,2

5、AM=AD,BM=AB+AC,则+=()A.-12B.-2C.12D.25.在正方形ABCD中,E为线段AD的中点,若EC=AD+AB,则+=,若E在线段AD上,异于A,D两点,则+的取值范围为.6.如图,在ABC中,延长CB到D,使BD=BC,当点E在线段AD上移动时,若AE=AB+AC,则t=-的最大值是;最小值是.7.设D,E,F分别是ABC的三边BC,CA,AB上的点,且DC=2BD,CE=2EA,AF=2FB,判断AD+BE+CF与BC是否平行,并求|AD+BE+CF|BC|.8.设e1,e2是两个不共线的向量,已知AB=2e1-8e2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2.(1)

6、求证:A,B,D三点共线.(2)若BF=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.素养培优练已知点O,A,M,B为平面上四点,且向量OM=OB+(1-)OA(R,0,且1).(1)求证:A,B,M三点共线;(2)若点B在线段AM上,求实数的取值范围.第六章平面向量初步6.1平面向量及其线性运算6.1.46.1.5数乘向量向量的线性运算课后篇巩固提升基础达标练1.已知AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b),则()A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线C.B,C,D三点共线D.A,C,D三点共线解析BD=BC+CD=-2a+8b+3(a-b)=a+5b=AB,所以A,B

7、,D三点共线.答案A2.下面四种说法:对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=ma-mb;对于实数m,n和向量a,恒有(m-n)a=ma-na;对于实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=b;对于实数m,n和向量a,若ma=na,则m=n.其中正确说法的个数是()A.4B.3C.2D.1解析由数乘向量运算律,得均正确.对于,若m=0,由ma=mb,未必一定有a=b.对于,若a=0,由ma=na,未必一定有m=n.答案C3.在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=()A.34AB14ACB.14AB34ACC.34AB+14ACD.14AB+34AC解析如图,EB=-BE=-

8、12(BA+BD)=12AB14BC=12AB14(ACAB)=34AB14AC.答案A4.已知ABC中,向量AP=(AB+AC)(R),则点P的轨迹通过ABC的()A.垂心B.内心C.外心D.重心解析设D为BC中点,则AB+AC=2AD,AP=2AD,即P点在中线AD上,可知P点轨迹必过ABC的重心,故选D.答案D5.(2020山东临沂高一月考)在ABC中,O为其内部一点,且满足OA+OB+4OC=0,则ABC和AOC的面积比是()A.21B.41C.61D.81解析在ABC中,O为其内部一点,且满足OA+OB+4OC=0,设D是AB中点,连接OD,如图所示,则OA+OB=2OD,且SABC

9、=2SACD,2OD+4OC=0,C,O,D三点共线,且OD=2OC,3SAOC=SACD,6SAOC=2SACD=SABC,SABCSAOC=61.答案C6.(多选题)设a,b都是非零向量.下列四个条件中,使a|a|=b|b|成立的条件是()A.2a=bB.abC.a=2bD.ab且|a|=|b|解析a|a|,b|b|分别表示a,b的单位向量.对于A,当2a=b时,2a|2a|=a|a|=b|b|;对于B,当ab时,可能有a=-b,此时a|a|b|b|;对于C,当a=2b时,a|a|=2b|2b|=b|b|;对于D,当ab且|a|=|b|时,可能有a=-b,此时a|a|b|b|.综上所述,使

10、a|a|=b|b|成立的条件是a=2b,2a=b.答案AC7.在四边形ABCD中,AB=3e,CD=-5e,且|AD|=|BC|,则四边形ABCD的形状为.解析由已知可得AB=-35CD,所以ABCD,且|AB|CD|.又|AD|=|BC|,所以四边形ABCD为等腰梯形.答案等腰梯形8.已知点P在直线AB上,且|AB|=4|AP|,设AP=PB,则实数=.解析因为|AB|=4|AP|,所以P是四等分点,因此AP=13PB,故填13.答案139.如图,在ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=23AD,AB=a,AC=b.(1)用a,b分别表示向量AE,BF;(2)求证:B,E,F三点共线

11、.解(1)AD=12(AB+AC)=12(a+b),AE=23AD=13(a+b),AF=12AC=12b,BF=AFAB=-a+12b.(2)证明:由(1)知BF=-a+12b,BE=-23a+13b=23-a+12b,BE=23BF.BE与BF共线.又BE,BF有公共点B,B,E,F三点共线.能力提升练1.(多选题)已知e1,e2是不共线向量,则下列各组向量中是共线向量的是()A.a=5e1,b=7e1B.a=e121-13e2,b=3e1-2e2C.a=e1+e2,b=3e1-3e2D.a=e1-13e2,b=3e1-e2解析对A,a与b显然共线;对B,因为b=3e1-2e2=612e1

12、-13e2=6a,故a与b共线;对C,设b=3e1-3e2=k(e1+e2),得3=k,-3=k,无解,故a与b不共线;对D,b=3e1-13e2=3a,所以a与b共线.答案ABD2.(多选题)正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且PTAT=5-12.下列关系中不正确的是()A.BPTS=5+12RSB.CQ+TP=5+12TSC.ESAP=5-12BQD.AT+BQ=5-12CR解析在如题图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且PTAT=5-12.在A中,BPTS=TE

13、TS=SE=5+12RS,故A正确;在B中,CQ+TP=PA+TP=TA=5+12ST,故B错误;在C中,ESAP=RCQC=5-12QB,故C错误;在D中,AT+BQ=SD+RD,5-12CR=RS=RDSD,若AT+BQ=5-12CR,则SD=0,不合题意,故D错误.故选BCD.答案BCD3.生于瑞士的数学家欧拉在1765年发表的三角形的几何学一书中有这样一个定理:“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.”这就是著名的欧拉线定理,在ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,D为BC边的中点,下列四个结论:(1)GH=2OG;(2)GA+GB+GC=0;(3)AH=2OD;(4)SABG

14、=SBCG=SACG,其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4解析在ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,画出图形,如图所示;对于(1),根据欧拉线定理得HG=2OG,(1)正确;对于(2),根据三角形的重心性质得GA+GB+GC=0,(2)正确;对于(3),AHOD,AHGDOG,AHOD=AGDG=2,AH=2OD,(3)正确;对于(4),过点G作GEBC,垂足为E,则GEAN=DGDA=13,BGC的面积为SBGC=12BCGE=12BC13AN=13SABC;同理,SAGC=SAGB=13SABC,(4)正确.故选D.答案D4.(2020陕西西安高二检测)在ABC中,点D是B

15、C上任意一点,2AM=AD,BM=AB+AC,则+=()A.-12B.-2C.12D.2解析设BD=kBC=kAC-kAB,由2AM=AD.BM=12(BA+BD)=-12AB+k2ACk2AB=-12-k2AB+k2AC,=-12k2,=k2,+=-12.答案A5.在正方形ABCD中,E为线段AD的中点,若EC=AD+AB,则+=,若E在线段AD上,异于A,D两点,则+的取值范围为.解析(1)因为EC=ED+DC=12AD+AB,所以+=12+1=32.(2)EC=ED+DC=AD+AB,(0,1),所以+(1,2).答案32(1,2)6.如图,在ABC中,延长CB到D,使BD=BC,当点E

16、在线段AD上移动时,若AE=AB+AC,则t=-的最大值是;最小值是.解析设AE=kAD,0k1,则AE=k(AC+2CB)=kAC+2(ABAC)=2kAB-kAC,AE=AB+AC,=2k,=-k,t=-=3k.又0k1,当k=1时,t取最大值3.当k=0时,t取最小值0.答案307.设D,E,F分别是ABC的三边BC,CA,AB上的点,且DC=2BD,CE=2EA,AF=2FB,判断AD+BE+CF与BC是否平行,并求|AD+BE+CF|BC|.解由ACAD=2(ADAB),得AD=13AC+23AB.同理可得,BE=13BC+23BA,CF=13CA+23CB,所以AD+BE+CF=-13BC,所以(AD+BE+CF)BC,且|AD+BE+CF|=13|BC|,即|AD+BE+CF|BC|=13.8.设e1,e2是两个不共线的向量,已知AB=2e1-8e2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2.(1)求证:A,B,D三点共线.(2)若BF=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.(1)证明由已知得BD=CDCB=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,因为AB=2e1-8e2,所以AB=2BD.又因为AB与BD有公共点B,所以A,B,D三点共线.(2)解由(1)可知BD=e1-4e2,因为BF=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,所以BF=BD(R)