新人教版九年级下册数学课件（第28章 锐角三角函数）

1、新人教版九年级下册数学精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用28.1 锐角三角函数第5课时 求锐角三角函数值的四种常用方法第二十八章 锐角三角函数1如图，直线y x 与x轴交于点A，与直线y2x交于点B.求：(1)点B的坐标；(2)sin BAO的值1方法直接用锐角三角函数的定义求三角函数值解：(1)解方程组 得点B的坐标为(1，2)(2)过点B作BCx轴于点C，则OC1，BC2.由 x 0，得x3，则A(3，0)，OA3.ACOAOC4.AB 2 .sin BAC ，即sin BAO .返回2由于保管不慎，小明把一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在ABC中，A30，tan B ，AC4

2、，求AB的长”这时小明去翻看了标准答案，显示AB10.你能帮助小明通过计算说明污渍部分的内容是什么吗？2方法利用特殊角求三角函数值解：如图，作CHAB于H.在RtACH中，CHACsin A4 sin 302 ，AHACcos A4 cos 306，BHABAH4.tan B .污渍部分的内容是 .返回3如图，在ABC中，AD是BC边上的高，tan BcosDAC.(1)求证ACBD；(2)若sin C ，BC12，求AD的长3方法巧设参数求三角函数值(1)证明：ADBC，tan BcosDAC， ，BDAC.(2)解：由已知条件得sin C ，设AD12k，则AC13k.DC5k，BDAC1

3、3k.BCBDDC13k5k18k.而BC12，k .AD12k8.返回4(中考安顺)如图，等腰三角形ABC中，ACBC10，AB12，以BC为直径作O交AB于点D，交AC于点G，DFAC，垂足为F，交CB的延长线于点E.(1)求证：直线EF是O的切线；(2)求cos E的值4方法利用等角替换法求三角函数值(1)证明：连接OD，CD.BC是直径，CDAB.ACBC，D是AB的中点又O为CB的中点，ODAC.DFAC，ODEF.直线EF是O的切线(2)解：连接BG.BC是直径，BGC90.在RtACD中，易知AC10，AD6，DC 8.ABCD2SABCACBG，BG .BGAC，DFAC，BG

4、EF.新人教版九年级下册数学精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用28.1 锐角三角函数第6课时 同角或互余两角的三角函数关系的应用第二十八章 锐角三角函数1已知tan A4，求 的值返回1题型同角三角函数关系的应用解法一：原式 .tan A4，原式 .解法二：tan A4， 4，sin A4cos A.原式 .返回2若为锐角，sin cos ，求sin cos 的值解：sin cos ，(sin cos )2 ，即sin2cos22sin cos .12sin cos ，2sin cos .(sin cos )2sin2cos22sin cos 1 ，且为锐角，sin cos 0.sin

5、cos .返回3若45和45均为锐角，则下列关系式正确的是()Asin(45)sin(45)Bsin2(45)cos2(45)1Csin2(45)sin2(45)1Dcos2(45)sin2(45)1返回2题型互余两角的三角函数关系的应用C4计算tan 1tan 2tan 3tan 88tan 89的值返回解：tan 1tan 2tan 3tan 88tan 89(tan 1tan 89)(tan 2tan 88)(tan 44tan 46)tan 451.5已知sin cos (为锐角)，求一个一元二次方程，使其两根分别为sin 和cos .3题型同角三角函数关系在一元二次方程中的应用解：s

6、in2cos21，sin cos ，(sin cos )2sin2cos22sin cos 12 .为锐角，sin cos 0.sin cos .又sin cos ， 以sin ，cos 为根的一元二次方程为x2 x 0.返回6已知为锐角且sin 是方程2x27x30的一个根，求 的值解：sin 是方程2x27x30的一个根，由求根公式，得：sin .sin 或sin 3(不符合题意，舍去)sin2cos21，cos21 .又cos 0，cos . =|sin cos | .返回新人教版九年级下册数学精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用第二十八章 锐角三角函数28.1 锐角三角函数第1课时

7、 正弦1课堂讲解正弦函数的定义 正弦函数的应用2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业ABCBC=5.2mAB=54.5m根据已知条件，你能用塔身中心线与垂直中心线所成的角度来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？1知识点正弦函数的定义问 题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角 (A)为30，为使出水口的高度为35 m，需要准备多长的水管？知1导知1导 这个问题可以归结为：在RtABC中，C=90，A=30，BC = 35 m， 求 AB(如图). 根据“在直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一半”，即可得AB = 2B

8、C = 70(m).也就是说，需要准备70 m长的水管.知1导思考: 在上面的问题中,如果出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？ 在上面求AB (所需水管的长度）的过程中，我们用到了结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于知1导思考:如图，任意画一个RtABC，使C=90，A =45，计算A的对边与斜边的比 由此你能得出什么结论？知1导 如图，在RtABC中，C=90，因为A= 45，所以RtABC是等腰直角三角形.由勾股定理得 AB2=AC2+BC2 = 2BC2 , AB = BC. 因此即在直角三角形中，当一个锐角

9、等于45时，无论这个直角三角形大小如何， 这个角的对边与斜边的比都等于知1导 综上可知，在RtABC中， C = 90，当A = 30时， A的对边与斜 边的比都等于 是一个固定值；当A = 45时， A的对边与斜边的比都等于 也是一个固定值.一般地，当A是任意一个确定的锐角时，它的 对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？知1导探究: 任意画RtABC和Rt （如图），使得 那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？知1导 在图中，由于 所以RtABCRt 因此 即 这就是说，在RtABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，A的对边与斜边的比都是一个固定值.知1导归 纳 如图，在R

10、tABC中，C=90，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦（sine），记作sin A，即 例如，当A=30时，我们有 sin A=sin 30= 当A=45时，我们有 sin A=sin 45= A的正弦sin A随着A的变化而变化. 例1 如图 ，在 RtABC 中，C = 90，求 sin A 和 sin B 的值.知1讲知1讲解:如图(1)，在RtABC中，由勾股定理得 因此 如图(2),在RtABC中,由勾股定理得 因此 总 结知1讲 求sin A就是要确定A的对边与斜边 的比；求sin B就是要确定B的对边与斜边的比. 如图，在RtABC中，C=90， 求sin A和sin B

11、的值.知1练 解：由勾股定理得 所以知1练 解：由勾股定理得 知1练【中考日照】在RtABC中，C90，AB13，AC5，则sin A的值为() B. C. D. 2B知1练 把RtABC三边的长度都扩大为原来的3倍， 则锐角A的正弦值() A不变 B缩小为原来的 C扩大为原来的3倍 D不能确定 A知1练【中考贵阳】在RtABC中，C90，AC12，BC5，则sin A的值为() A. B. C. D. 4D知1练【中考怀化】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，4)，那么sin 的值是() A. B. C. D. 5C2知识点正弦函数的应用知2讲例2 在RtABC中,C=90,BC=2

12、,sin A= 则 边AC的长是( ) A. B.3 C. D.解析:如图, 而BC=2,A总 结知2讲 由正弦值求边长，当已知角的对边或斜边长时，通常先根据某个锐角的正弦的定义确定斜边或对边，再根据勾股定理求另一边；当已知角的邻边时，根据正弦函数的定义确定另外两边的比值，根据勾股定理列方程求解即可在RtABC中，C=90， A=90，求sin A的值.知2练 解：如图 B90A906030. sin Bsin30 设ACa，则AB2a， 知2练 2 在RtABC中，C90，AC9，sin B ， 则AB的长等于() A15 B12 C9 D6A知1练【中考厦门】已知sin 6a，sin 36

13、b，则sin2 6()Aa2 B2a Cb2 Db 3A知1练【中考鄂州】如图，在矩形ABCD中，AB8，BC12，点E是BC的中点，连接AE，将ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sinECF() A. B. C. D. 4D知1练【中考安顺】如图，O的直径AB4，BC切O于点B，OC平行于弦AD，OC5，则AD的长为() A. B. C. D. 5B锐角三角函数定义：ABCA的对边斜边sin30 =sin45=1知识小结在直角三角形ABC中，AC4，BC3，求sin A的值2易错小结解：此题分两种情况：当AC，BC为两直角边时，AB 5，所以sin A ；当BC为直角边，AC为斜

14、边时，sin A .易错点：审题不清，找错直角边或斜边.生往往误认为C是直角，AC，BC是两直角边，从而漏掉一个值新人教版九年级下册数学精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用第二十八章 锐角三角函数28.1 锐角三角函数第2课时 余弦、正切1课堂讲解余弦函数正切函数2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业复习回顾在RtABC中，C90锐角正弦的定义ABCA的对边斜边1知识点余弦函数 当锐角A确定时，A的邻边与斜边的比，A的对边与邻边的比也随之确定吗？为什么？这就是我们这家可要共同学习的内容.知1导ABCA的对边斜边A的邻边知1导如图，在RtABC中，C90我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦

15、，记作cosA，即ABCA的对边斜边A的邻边 例1 在 RtABC 中，C = 90，AB=5，BC=3， 则A的余弦值是( ) A. B. C. D.知1讲解析:在RtABC中, C=90，AB=5，BC=3， AC=4， cos A=C总 结知1讲 特别提醒求出所需要的边的值，紧扣余弦概念，一定要认清是角的邻边与斜边的比，否则会和正弦混淆【中考湖州】如图，已知在RtABC中，C90， AB5，BC3，则cos B的值是( ) A. B. C. D.知1练 1A【中考广东】如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么cos 的值是( ) A. B. C. D.知1练 2D【中考绍

16、兴】如图，在RtABC中，B90，A 30，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分 别以点A，D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E， 连接AE，DE，则EAD的余弦值是( ) A. B. C. D.知1练 3B2知识点正切函数知2导.如图，在RtABC中，C90我们把锐角A的邻边与对边的比叫做A的正切，记作tanA，即ABCA的对边斜边A的邻边 例2 如图,在 RtABC 中，C = 90,AB=10,BC=6,求sin A, cos A,tan A的值.知2讲解: 由勾股定理得 因此 总 结知2讲 已知直角三角形的任意两边长求某个锐角的三角函数值时，运用数形结合思想，首先画出符合

17、题意的直角三角形，然后根据勾股定理求出未知边长，最后结合锐角三角函数的定义求三角函数值 分别求出下列直角三角形中两个 锐角的正弦值、余弦值和正切值.知2练 解: 由勾股定理得 因此知2练 解： 所以【中考包头】在RtABC中，C90，若斜 边AB是直角边BC的3倍，则tan B的值是( ) A. B. 3 C. D.知2练 2D【中考宜昌】ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，ADBC于D，下列选项中，错误的是()Asin cos Btan C2Csin cos Dtan 1知2练 3C如图，点A，B，O是正方形网格上的三个格点，O的半径为OA，点P是AmB上的一点，则tanA

18、PB的值是( ) A. 1 B. C. D.知2练 4A如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，如果DPB，那么 等于()Asin Bcos Ctan D. 知2练 5B如果方程x24x30的两个根分别是RtABC的两条边长，ABC最小的角为A，那么tan A的值为_知2练 6(1)A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cos A， 即cos A(2)A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tan A， 即tan AABCA的对边a斜边cA的邻边b1知识小结已知xcos (为锐角)满足方程2x25x20，求cos 的值2易错小结解：方程2x25x20的解是x12，x2 ，又0cos 1

19、(为锐角)，cos .易错点：忽视锐角三角函数值的范围而致错.常见错解：方程2x25x20的解是x12，x2 ， cos 2或cos .忽略了cos (为锐角) 的取值范围是0cos 1.新人教版九年级下册数学精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用第二十八章 锐角三角函数28.1 锐角三角函数第3课时 特殊角的三角 函数值1课堂讲解特殊角的三角函数值特殊三角函数值的对应角锐角三角函数间的关系2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业复习回答问题在RtABC中，C=90，cosA= ，BC=10，则AB=_，AC=_，sinB=_，ABC的周长是_.12.57.5301知识点特殊角的三角函数值知1导

20、为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：含30和60两个锐角的三角尺；皮尺. 请你设计一个测量方案，测出一棵大树 的高度. 你会吗？还是学习 本节知识吧，学后你会胸 有成竹的，你还等什么？ 探究： 两块三角尺（如图）中有几个不同的锐角？这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值各是多少？知1导知1导归 纳 30，45，60角的正弦值、余弦值和正切值如下表：304560sin Acos Atan A1锐角A锐角三角函数 例1 求下列各式的值： （1）cos260+sin260； （2）知1讲解： （1） cos260+sin260 =1； （2） =0. 总 结知1讲 有关特殊角的三角函数值的计算，

21、先直接写出三角函数值，将运算转化为实数的混合运算，然后根据实数的运算法则计算 1 求下列各式的值： (1) 1-2sin 30cos 30; (2) 3tan 30-tan 45+ 2sin 60； (3) (cos230+sin230) tan 60.知1练 解： 知1练 (中考天津)cos60的值等于()A. B. 1 C. D. 2D知1练【中考包头】计算sin245cos 30tan 60，其结果是()A2 B1 C. D.下列各式中正确的是()Asin 60Bcos 45sin 45Csin 60sin(230)2sin 30Dtan 60tan 302 34BA知1练如图，点A，B

22、，C在O上，ACB30，则sinAOB的值是()A. B. C. D. 5C知1练菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，AOC45，OC ，则点B的坐标为()A( ，1)B(1， )C( 1，1)D(1， 1) 6C2知识点特殊三角函数值的对应角知2导 在RtABC中，C90，BC= , AC= ,求A、B的度数. tanA= A=30,B=60. 归 纳知2导 根据一个锐角的特殊的三角函数值，也可以求出角的度数.知2讲例2 (1)如图(1),在RtABC中，C=90, AB= , BC= ,求A的度数. (2)如图(2)，AO是圆锥的高，OB是底面半径, AO= OB，求 的度数.知

23、2讲解: (1)在图(1)中, (2)在图(2)中,在RtABC，C90，BC ， AC ，就A，B的度数.知1练 解： 在RtABC中，C90，所以A30，所以B90A60.在ABC中，A，B都是锐角，且sin A ， cos B ，则ABC的形状是()A直角三角形 B钝角三角形C锐角三角形 D不能确定(2015酒泉)已知，均为锐角，且满足 则_知2练 23B75如图，ABC内接于O，AB，CD为O的直径，DEAB于点E，sin A ，则D的度数是_知2练 4303知识点锐角三角函数间的关系知3讲（1）求特殊锐角的三角函数值的关键是先把它 转化为实数的运算，再根据实数的运算法 则计算.（2）

24、求锐角的度数的关键是先求其正弦值或余 弦值或正切值，然后对应特殊锐角的三角 函数值求角的度数.知3讲（3）当A、B均为锐角时，若AB，则sinAsinB, cosAcosB,tanAtanB.（4）sin2+cos2=1，tan= .知3讲 例3 已知A为锐角，sin A ，求A的其 他三角函数值.导引：根据sin2 Acos2 A1，求出cos A的值， 然后根据tan A ，求出tan A的值知3讲 解：sin A ，sin2 Acos2 A1， cos2 A1, cos2 A1 cos A (负值舍去). 知3练当45Acos Asin A Bcos Atan Asin ACsin At

25、an Acos A Dtan Asin Acos A 1D304560sin Acos Atan A1特殊角的三角函数值:1知识小结13如图，在ABC中，AC1，AB2， A60，求BC的长2易错小结解：过点C作CDAB于点D，如图所示在RtADC中，cos A ，sin A ，ADACcos A1cos 60 ，CDACsin A1sin 60 .在RtBDC中，BDABAD2 ，BC错解：在ABC中， sin A，BCABsin A 2sin 602 .诊断：错解的原因是忽略了锐角三角函数使用的前提是在 直角三角形中本题中没有明确指出ABC是直角 三角形，因此，不能直接得到 sin A，必

26、须通 过添加辅助线构造出直角三角形，再利用三角函数 的定义来解决易错点：忽视锐角的三角函数值是在直角三角形中求出 这一条件而致错.新人教版九年级下册数学精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用第二十八章 锐角三角函数28.1 锐角三角函数第4课时 一般角的三角 函数值1课堂讲解用计算器求已知锐角的三角函数值已知锐角三角函数值用计算器求锐角2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业 要测量教学楼的高度，小英身高16m她在距离教学楼30m处测得仰角为25，你能借助计算器估算出教学楼的高度吗? (精确到01m)1知识点用计算器求已知锐角的三角函数值 通过上面的学习，我们知道，当锐角A是 30，45或60等

27、特殊角时，可以求得这些特殊角的 锐角三角函数值；如果锐角A不是这些特殊角， 怎样得到它的锐角三角函数值呢？知1讲知1讲 我们可以借助计算器求锐角三角函数值. 例如求sin18,利用计算器的 键,并输入角度值18,得到结果sin18=0.309 016 994. 又如求tan3036,利用 键,并输入角的度、分值(可以使用 键),就可以得到结果0.591 398 351. 因为3036=30.6,所以也可以利用 键,并输入角度值30.6,同样得到结果0.591 398 351.sintan tan知1讲归 纳利用计算器求锐角三角函数值：1. 当锐角的大小以度为单位时，可先按 ， ， 键，然后输入

28、角度值(可以是整数，也可以是 小数)，最后按 键，就可以在显示屏上显示出 结果；2. 当锐角的大小以度、分、秒为单位时要借助 键计算，按键顺序是： (或 、 )、度数、 、分数、 、秒数、 、 .sincostan= sincostan = 例1 用计算器求sin 16，cos 42，tan 85， sin 723825的值知1讲解：如下表：按键顺序显示结果sin 160.275 637 355cos 420.743 144 825tan 8511.430 052 3sin 7238250.954 450 312 sintansin164cos285252738= 总 结知1讲 要注意不同型号

29、的计算器的操作步骤可能有所不同 1 用计算器求下列锐角三角函数值： (1)sin 20，cos 70; sin 35, cos 55； sin1532，cos7428; (2)tan 3 8，tan 80 2543.知1练 (1)sin 200.342 0，cos 700.342 0； sin 350.573 6，cos 550.573 6； sin 15320.267 8，cos 74280.267 8.(2)tan 380.054 7，tan 8025435.930 4.解：知1练(中考烟台)如图，是我们数学课上采用的科学计 算器面板，利用该型号计算器计算 cos 55， 按键顺序正确的是

30、() A. B. C. D.利用计算器求sin 30时，依次按键 ,则计算器上显示的结果是() A0.5 B0.707 C0.866 D1 sin30 =cos255=cos2550=cos255=cos255=CA知1练用计算器计算cos 44的结果(精确到0.01)是()A0.90 B0.72 C0.69 D0.66用计算器验证，下列等式正确的是()Asin 1824sin 3536sin 54Bsin 6554sin 3554sin 30C2sin 1530sin 31Dsin 7218sin 1218sin 4742 4B5D2知识点已知锐角三角函数值用计算器求锐角知2讲 如果已知锐角

31、三角函数值，也可以使用计算器求出相应锐角的度数. 例如，已知sin A=0. 501 8,用计算器求锐角A可以按照下面方法操作： 依次按键 ，然后输入函数值0.501 8,得到A=30.119 158 67 (这说明锐角A精确到1的结果为30).sin2nd F知2讲 还可以利用 键，进一步得到A=30 0708.97(这说明锐角A精确到1的结果为307，精确到 1的结果为3079).2nd F 归 纳知2讲已知锐角三角函数值求锐角的度数： 如果是特殊角(30， 45，60)的三角函数值，可直接写出其相应的角的度数；若不是特殊角的三角函数值，应利用计算器求角的度数求角的度数要先按 键，将 、

32、、 转化成它们的第二功能键；当三角函数值为分数时，应先化成小数2nd Fsincostan 知2讲例2 已知下列锐角三角函数值，用计算器求 其相应的锐角： (1)sin A0.516 8(结果精确到0.01)； (2)cos A0.675 3(结果精确到1)； (3)tan A0.189(结果精确到1).导引：已知锐角三角函数值，利用计算器求锐 角的度数时要注意先按 键2nd F知2讲解：(1)依次按键： 显示结果为：31.117 845 56，即A31.12. (2)依次按键： 显示结果为：473121.18， 即 A473121. (3)依次按键： 显示结果为：10.702 657 49，

33、即A11. sin2nd F05168=,2nd Ftan0918=,2nd F cos03765=2nd F,总 结知2讲 计算器直接计算出的角的单位是度，而不是度、分、秒，因此若要得到用度、分、秒表示的角度，可以借助 和 键. 2nd F 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应 锐角的度数： (1)sin A= 0. 627 5，sin B= 0.054 7; (2)cos A= 0. 625 2,cos B= 0. 165 9； (3)tan A= 4. 842 5，tan B= 0.881 6.知2练 (1)A385157，B388；(2)A511811，B80272；(3)A781

34、956，B412358.解：知2练【中考威海】为了方便行人推车过某天桥，市政府在10 m高的天桥一侧修建了40 m长的斜道(如图所示)，我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是()A. 2ndF sin 0 2 5 B. sin 2ndF 0 2 5 C. sin 0 2 5 D. 2ndF cos 0 2 5 2A已知为锐角，且tan 3.387，下列各值中与最接近的是()A7333 B7327 C1627 D1621在ABC中，C90，BC5，AB13，用科学计算器求A约等于()A2438 B6522 C6723 D2237知2练 34AD知2讲1. 用计算器求下列各组

35、锐角的三角函数值，从中你 能得出什么猜想？ （1）sin83，cos7； （2）sin56，cos34； （3） sin2736 ， cos6224.知2讲2.用计算器求下列各组锐角的三角函数值，从中你能 得出什么猜想？ （1）sin13, sin25，sin36，sin44 ， sin57， sin68， sin7917 ， sin832753； （2）cos1734，cos342753 ， cos5318 ， cos6957 3， cos7717 ， cos881725； （3）tan2734 ， tan435728 ， tan521815 ， tan67， tan7817 ， tan85

36、24 .知2讲.1. 猜想：sin = cos(90- ).2. （1）猜想：对于锐角A，它的正弦函数 (sinA)的 函数值随自变量锐角A的增大而增大，且 sinA必满足 0 sinA1. （2）猜想：对于锐角A，它的余弦函数(cosA)的 函数值随锐角A的增大而减小，且cosA必满 足0 cosA 1. （3）猜想：对于锐角A，它的正切函数(tanA) 的函数值随锐角A的增大而增大 ， 且tanA 满足0 tanA. 归 纳知2讲（1）sin = cos(90- ).（2）对于锐角A，它的正弦函数 (sinA)的函数值随自变 量锐角A的增大而增大，且sinA必满足0 sinA1.（3）对于

37、锐角A，它的余弦函数(cosA)的函数值随锐 角A的增大而减小，且cosA必满足0 cosA 1.（4）对于锐角A，它的正切函数(tanA)的函数值随锐 角A的增大而增大 ， 且tanA 满足0 tanA.知2讲.例3 已知90.探究： (1)sin 与cos 的关系； (2)tan 与tan 的关系导引：根据和互余，可以将和放入同一个直角 三角形中，利用锐角三角函数的定义去探究 互为余角的两角的三角函数关系知2讲.解：如图，在RtABC中，C90，A， B. 令A，B，C所对的边分别是a，b，c. (1)sin ， cos ， sin cos . (2)tan ， tan ， tan tan

38、 1. 总 结知2讲互为余角的两角的三角函数间的关系：(1)任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，即 sin cos (90)或cos sin (90)；(2)任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒 数，即tan tan (90)1. 1 在RtABC中，C90，下列各式中正确 的是() Asin Asin B Btan Atan B Csin Acos B Dcos Acos B知2练 C用计算器比较tan 25，sin 27，cos 26的大小关系是()Atan 25cos 26sin 27Btan 25sin 27cos 26Csin 27tan 25cos 26Dcos 26tan

39、25sin 27知2练 2C用计算器求sin 15，sin 25，sin 35，sin 45,sin 55，sin 65，sin 75，sin 85的值，研究sin 的值随锐角变化的规律，根据这个规律判断：若 sin ，则()A3060 B3090C060 D6090知2练 3A1利用计算器可求锐角的三角函数值，按键顺序为： 先按 键或 键或 键，再按角度值， 最后按 键就可求出相应的三角函数值2已知锐角三角函数值也可求相应的锐角，按键顺 序为：先按 键，再按 键或 键或 键，然后输入三角函数值，最后按 键 就可求出相应角度sinsincoscostantan2nd F=1知识小结用计算器求s

40、in 3529的值(结果精确到0.001)2易错小结解：sin 35290.580.易错点：不区分3529与35.29而导致错误.新人教版九年级下册数学精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用28.2 解直角三角形及其应用第3课时 解直角三角形的五种常见类型第二十八章 锐角三角函数1如图，在RtABC中，C90，a，b，c分别为A，B，C的对边，a2 ，b6，解这个直角三角形1类型已知两直角边解直角三角形解：a2 ，b6，c 4 .tan A ，A30.B90A903060.返回2如图，ACB90，AB13，AC12，BCMBAC，求sin BAC的值和点B到直线MC的距离2类型已知一直角边和

41、斜边解直角三角形解：AB13，AC12，ACB90，BC 5.sin BAC .设点B到直线MC的距离为d.BCMBAC，sin BACsin BCM.sin BCM ，即 ，d .即点B到直线MC的距离为 .返回3如图，在ABC中，B90，C30，AB3.求：(1)AC的长；(2)BC的长3类型已知一直角边和一锐角解直角三角形解：(1)由题意知sin C ，即 ，则AC6.(2)由题意知tan C ，即 ，则BC3 .返回4如图，在RtABC中，C90，A30，BC3，D为AC边上一点，BDC45，求AD的长解：BDC45，BC3，C90，CD3.A30，BC3，tan A ，即AC3 .A

42、DACCD3 3.返回5如图，在RtABC中，C90，B45，a，b，c分别为A，B，C的对边，c10，解这个直角三角形4类型已知斜边和一锐角解直角三角形解：B45，C90，c10，A90B904545.AB.abcsin 4510 5 .返回6如图，在ABC中，C90，B30，AD是BAC的平分线，与BC相交于点D，且AB4 ，求AD的长解：C90，B30，AB4 ，CAB60，ACABsin 304 2 .又AD是BAC的平分线，CAD30.cos CAD ，AD4.返回7如图，在ABC中，点D是AB的中点，DCAC，且tan BCD ，求A的三角函数值a化斜三角形为直角三角形问题(化斜为

43、直法)5类型已知非直角三角形中的边(或角或三角函数值)解直角三角形解：如图，过点D作CD的垂线交BC于点E.在RtCDE中，tan BCD ，可设DEx，则CD3x.CDAC，DEAC.又点D为AB的中点，点E为BC的中点DE AC.AC2DE2x.在RtACD中，ACD90，AC2x，CD3x，AD x.sin A ，cos A ，tan A .返回8(中考北京)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，BAC90，CED45，DCE30，DE ，BE2 .求CD的长和四边形ABCD的面积b化解四边形问题为解直角三角形问题解：如图，过点D作DHAC于点H.CED45，DHEC，DE

44、 ，EHDEcos 45 1.DH1.又DCE30，HC ，CD 2.AEBCED45，BAC90，BE2 ，ABAE2.ACAEEHHC21 3 .S四边形ABCD 2(3 ) 1(3 ) .返回9已知a，b，c分别是ABC中A，B，C的对边，关于x的一元二次方程a(1x2)2bxc(1x2)0有两个相等的实数根，且3ca3b.(1)判断ABC的形状；(2)求sin Asin B的值c化解方程问题为解直角三角形问题解：(1)将方程整理，得(ca)x22bx(ac)0，则(2b)24(ca)(ac)4(b2a2c2)方程有两个相等的实数根，0，即b2a2c2.ABC为直角三角形(2)由3ca3

45、b，得a3c3b.将代入a2b2c2，得(3c3b)2b2c2.4c29bc5b20，即(4c5b)(cb)0.由可知bc，4c5b.b c.将代入，得a c.在RtABC中，sin Asin B .返回新人教版九年级下册数学精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用第二十八章 锐角三角函数第1课时 解直角三角形在数学中的应用28.2 解直角三角形及其应用1课堂讲解解直角三角形已知两边解直角三角形已知一边及一锐角解直角三角形已知一边及一锐角三角函数值解直角三角形2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业(2)两锐角之间的关系AB90(3)边角之间的关系(1)三边之间的关系 ABabcC在直角三角形中，

46、我们把两个锐角、三条边称为直角三角形的五个元素.图中A，B，a，b，c即为直角三角形的五个元素.锐角三角函数ABabcC什么是解直角三角形解直角三角形： 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，叫做解直角三角形 一个直角三角形中，若已知五个元素中的两个元素(其中必须有一个元素是边)，则这样的直角三角形可解.知识点已知两边解直角三角形1类型已知两边解直角三角形探究：（1）在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？（2）知道五个元素中的几个，就可以求其余元素？知1导 如图，在RtABC中，C为直角， A， B， C所对的边分别为a，b，c，那么除直角 C外的 五个元素之间有如下关系：

47、A知1导（1）三边之间的关系a2+b2=c2 (勾股定理）；（2）两锐角之间的关系A+ B = 90；（3）边角之间的关系上述（3）中的A都可以换成B，同时把a，b互换.知1导归 纳 利用这些关系，知道其中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个未知元素.知1讲应用勾股定理求斜边，应用角的正切值求出一锐角，再利用直角三角形的两锐角互余，求出另一锐角一般不用正弦或余弦值求锐角，因为斜边是一个中间量，如果是近似值，会影响结果的精确度已知斜边和直角边：先利用勾股定理求出另一直角边，再求一锐角的正弦和余弦值，即可求出一锐角，再利用直角三角形的两锐角互余，求出另一锐角 已知两直角边： 已知斜边和

48、直角边：例1 如图，在RtABC中，C=90，AC= ，BC= ，解这个直角三角形.解： A=60 ， B=90-A=90- 60=30， AB=2AC=2 .知1讲 总 结知1讲 已知直角三角形的两边解直角三角形的方法：先由勾股定理求第三边，再由两边中一直角边所对的角与这两边的关系，求出这个角，最后由两锐角互余求出第三个角知1练 1 在RtABC中，C=90，根据下列条件解直角三角形：c=30，b=20；解：c30，b20， tan A A48. B90A904842.知1练在RtABC中，C90，AB2 ，AC ， 则A的度数为()A90 B60C45 D30（来自 ）2 D3 在ABC中

49、，C90，AB4，AC3，欲求 A的值，最适宜的做法是() A计算tan A的值求出 B计算sin A的值求出 C计算cos A的值求出 D先根据sin B求出B，再利用90B求出知1练（来自 ）C知1练如图，四边形ABCD是梯形，ADBC，CA是BCD的平分线，且ABAC，AB4，AD6，则tan B()A B C. D.（来自 ）4B2类型已知一边及一锐角解直角三角形知2导 已知直角三角形的一边和一锐角，解直角三角形时，若已知一直角边a和一锐角A： B=90 - A；c= 若已知斜边c和一个锐角A： B=90- A；a=csin A ; b=ccos A.例2 如图，在RtABC中，C=9

50、0，B= 35，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点最后一位）.解：A=90-B=90- 35=55. 知2讲 你还有其他方法求出c吗？总 结知2讲 已知一锐角和一边解直角三角形的方法：(1)在直角三角形中，若已知一个锐角和斜边，则可由两 锐角互余求出另一个锐角，然后利用三角函数(正弦、 余弦)求出两条直角边；(2)若已知一个直角三角形的一个锐角和一条直角边，则 可由两锐角互余求出另一个锐角，然后利用余弦或正 弦求出其斜边，利用正切求出其另一条直角边知2练 1 在RtABC中，C=90，根据下列条件解直角三角形： （1） B=72，c=14； （2） B=30，a= .知1练 (1)由B

51、72，c14， 得A90B907218， acsin A14sin184.33， bcsin B14sin7213.31.(2)B30，a A90B903060， b c解：知2练 (中考沈阳)如图，在RtABC中，C90，B30，AB8，则BC的长是()A. B4 C8 D4（来自 ）2D知2练3 在ABC中，C90，若B2A，b3， 则a等于() A. B. C6 D.（来自 ）B知3讲3类型已知一边及一锐角三角函数值解直角三角形例3 如图，在ABC中，AB1，AC ，sin B ， 求BC的长导引：要求的BC边不在直角三角形中，已知条件中有 B的正弦值，作BC边上的高，将B置于直角 三角

52、形中，利用解直角三角形就可解决问题 知3讲 如图，过点A作ADBC于点D.AB1，sin BADABsin BBDCDBCCDBD解： 总 结知3讲 通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角形，然后利用解直角三角形来解决边或角的问题，这种“化斜为直”的思想很常见在作垂线时，要结合已知条件，充分利用已知条件，如本题若过B点作AC的垂线，则B的正弦值就无法利用1 (中考兰州)在RtABC中，C90，sin A ， BC6，则AB() A4 B6 C8 D10知3练 D2 如图是以ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过点C作CDAB于点D.已知cosACD ，BC4，则AC的长为(

53、) A1 B. C3 D.知3练 D在直角三角形中有三条边、三个角，它们具备以下关系： （1）三边之间关系：a2+b2=c2 (勾股定理）. （2）锐角之间的关系：A+ B = 90. （3）边角之间的关系：1知识小结在ABC中，B90，BC3，AB5，求tanA，cosA的值2易错小结解：在RtABC中，B90，AC .tan A ，cos A .易错点：受思维定式影响误以为C的对边为斜边造 成错误.易错总结：本题中已指出B90，所以AC为斜边，而 受习惯的影响，常误以为C的对边AB是斜 边因此，解题时应认真审题，注意所给条 件，分清斜边和直角边，以防出错新人教版九年级下册数学精品课件本课件

54、来源于网络只供免费交流使用28.2 解直角三角形及其应用第2课时 “化斜为直”构造直角三角形的四种常用方法第二十八章 锐角三角函数1如图，在ABC中，已知BC1 ，B60，C45，求AB的长1方法无直角、无等角的三角形作高解：如图，过点A作ADBC，垂足为点D.设BDx，在RtABD中，ADBDtan Bxtan 60 x.在RtACD中，C45，CAD90C45.CCAD.CDAD x.BC1 ， xx1 ，解得x1，即BD1.在RtABD中，cos B ，AB 2.返回2如图，在四边形ABCD中，AB2，CD1，A60，DB90，求四边形ABCD的面积2方法有直角、无三角形的图形延长某些边

55、解：如图，延长BC，AD交于点E.A60，B90，E30.在RtABE中，BE 2 ，在RtCDE中，EC2CD2，DEECcos 302 .S四边形ABCDSRtABESRtECD ABBE CDED 22 1 .返回3如图，在ABC中，点D为AB的中点，DCAC，sin BCD ，求tan A的值3方法有三角函数值不能直接利用时作垂线解：如图，过点B作BECD，交CD的延长线于点E.点D是AB的中点，ADBD.又ACDBED90，ADCBDE，ACDBED(AAS)CDDE，ACBE.在RtCBE中，sin BCE ，BC3BE.CE 2 BE.CD CE BE AC.tan A .返回4

56、如图，在ABC中，ABAC5，BC8.若BPC BAC，求tan BPC的值4方法求非直角三角形中角的三角函数值时构造直角三角形解：如图，过点A作AEBC于点E.ABAC5，BE BC 84，BAE BAC.BPC BAC，BPCBAE.在RtBAE中，由勾股定理得：AE 3，tan BPCtan BAE .返回新人教版九年级下册数学精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用第二十八章 锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用第4课时 解直角三角形在实际 中的一般应用1课堂讲解利用解直角三角形解一般实际应用借助工具测量的应用借助影子测量的应用2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业1.解直角三角形

57、的意义：在直角三角形中，由已知元素 求出所有未知元素的过程，叫做直角三角形.2.直角三角形中诸元素之间的关系： （1）三边之间的关系：a2+b2=c2 (勾股定理）； （2）锐角之间的关系：A+B=90； （3）边角之间的关系： 把A换成B同样适用.知识点利用解直角三角形解一般实际应用 例1 如图，河宽AB(假设河的两岸平行），在C点测得 ACB = 30，D点测得ADB=60，又CD=60 m， 则河宽AB为多少米？ （结果保留根号）知1讲1类型借助工具测量的应用知1讲分析：先根据三角形外角的性质求出CAD的度数，判 断出ACD的形状，再由锐角三角函数的定义即 可求出AB的值. 解： ACB

58、=30， ADB=60， CAD=30， AD=CD=60 m， 在RtABD中，AB=ADsinADB=60如图，沿AC方向开山修路. 为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工. 从AC上的一点B取ABD = 140，BD = 520 m，D = 50. 那么另一边开挖点E离 D多远正好使A，C，E 三点在一直线上(结果 保留小数点后一位)？知1练 知1练由题意，可知DBE40，故E180DDBE 180504090.在RtBDE中，cos D ，所以DEBDcos D520cos 50334.2(m)答：另一边开挖点E离D约334.2 m正好使A，C， E三点在一直线上 解： 如图，AB

59、是斜靠在墙上的长梯，D是梯上一点，梯脚B与墙脚的距离为1.6 m(即BC的长)，点D与墙的距离为1.4 m(即DE的长)，BD长为0.55 m，则梯子的长为()A4.50 m B4.40 m C4.00 m D3.85 m知1练 2B【中考襄阳】在一次数学活动中，李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD.如图，已知李明距假山的水平距离BD为12 m，他的眼睛距地面的高度为1.6 m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60刻度线，则假山的高度为()A(4 1.6)m B(12 1.6)mC(4 1.6

60、)m D4 m知1练 3A【中考南宁】如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC10米，B36，则中柱AD(D为底边中点)的长是()A5sin 36米 B5cos 36米C5tan 36米 D10tan 36米知1练 4C2类型借助影子测量的应用知2讲例2 如图，小亮在太阳光线与地面成35角时，测 得树AB在地面上的影长BC=18 m，则树高AB约 为_m(结果精确到0.1 m) AB=BCtan C =18tan3512.6（m）.12.6解析：总 结知2讲 方法指导把实际问题转化为三角形问题，构造直角三角形，寻找解直角三角形所需要的角、边等已知量，解直角三角形，求出实际问题中的未知量