6.4.1平面几何中的向量方法（教案）- 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

1、第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用6.4.1平面几何中的向量方法教学设计教学目标1. 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，达到直观想象核心素养水平一的要求.2. 掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，达到逻辑推理核心素养水平一的要求.二、教学重难点1.教学重点向量在平面几何及物理学中的实际应用.2.教学难点如何将几何问题，物理中的实际问题化归为向量问题.三、教学过程（一）复习导入教师：大家想一想，平面向量可以解决哪些常见的平面几何问题?学生：思考讨论并给予回答.教师:总结：（1）解决有关夹角，长度等的计算或度量问题.（2）解决直线平行，垂直，三点共线等位置关系问题.（二）探

2、索新知探究一：平面向量解决几何问题教师：平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，如图，你能观察发现和猜想出平行四边形ABCD的对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗?学生：思考讨论并回答.教师总结解题方法：解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：如图，取 QUOTE 为基底，设 QUOTE AB=a，AD=b AB=a，AD=b，则 QUOTE AC=a+b AC=a+b， QUOTE DB=a-b DB=a-b. 第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系： QUOTE AC2=(a+b)2=a2+2a?b+b

3、2 AC2=(a+b)2=a2+2a?b+b2， QUOTE DB2=(a-b)2=a2-2a?b+b2 DB2=(a-b)2=a2-2a?b+b2.上面两式相加，得 QUOTE AC2+DB2=2(a2+b2) AC2+DB2=2(a2+b2).第三步，把运算结果“翻译”成几何关系： QUOTE AC2+BD2=2(AB2+AD2) AC2+BD2=2(AB2+AD2). 学生：认真听讲，做笔记.教师：用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等

4、问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系.应用示例：如图，DE是ABC的中位线，用向量方法证明： QUOTE ， QUOTE 证明：如图，因为DE是ABC的中位线，所以 QUOTE AD=12AB AD=12AB， QUOTE AE=12AC AE=12AC.从而 QUOTE DE=AE-AD=12AC-12AB=12AC-AB. DE=AE-AD=12AC-12AB=12AC-AB.又 QUOTE BC=AC-AB BC=AC-AB，所以 QUOTE DE=12BC DE=12BC.于是 QUOTE ， QUOTE （三）课堂练习1.在四边形中,则四边形是( )A.梯形B.平行四边形C.矩形D.正方形答案：A解析：在四边形中,.又,.四边形是梯形.故选A.2.在中，则 （ ） ABCD2答案：B解析：如图，设，又，.故选：B.3. 已知等边的边长为2,且,则的最大值为( )A. B. C. D.2答案：B解析：已知等边的边长为2,以线段的中点为原点,线段所在的直线为轴建立平面直角坐标系,则由得,且.则,最大值为.（四）小结作业小结：用向量方法解决