20届高考数学一轮复习讲义(提高版)-专题2.5-指数及指数函数(解析版)doc

1、指数及指数函数【套路秘笈 】-始于足下始于足下一根式1.根式的观点 根式的观点 标记 表现 备注假如axn，那么x叫做a的n次实数方根n1且nN*当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，正数的n次实数方根是一个正数eq r(n,a)0的n次实数方根是0当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数eq r(n,a)正数不 偶次方根2.两个主要 公式eq r(n,an)eq blcrc (avs4alco1(an为奇数，,|a|blcrc (avs4alco1(aa0，,aa0，m，nN*，n1)；正数的负分数指数幂是eq f(1,r(n,am)(a0，m，nN*，n1)；0的正分数

2、指数幂是0,0的负分数指数幂有意思 (2)有理指数幂的运算性子 asatast(a0，t，sQ)；(as)tast(a0，t，sQ)；(ab)tatbt(a0，b0，tQ)指数函数的图象与性子 1指数函数的界说 普通地，函数yax(a0，a1)叫做指数函数，函数的界说 域是R.2指数函数的图象与性子 yaxa10a0时，y1；当x0时，0y0时，0y1；当x1在(，)上是增函数在(，)上是减函数【修炼套路】-为君聊赋昔日诗，尽力 请从昔日始考向一 指数的运算【例1】盘算 化简(1)(12)-1+823+(2019)0= .2(278)13-(30.5)2+(0.008)-23425=_3曾经明

3、白x12+x-12=3，求以下各式的值：x+x-1 ；x2+x-2；x32-x-32x12-x-12.【谜底 】17 252 3eq f(6a,b) 47478【剖析 】(1)12-1+823+20190=2+4+1=72(278)13-(30.5)2+(0.008)-23425，=(32)313-3122+(15)3(-23)425 =32-3+4=523因为 x12+x-12=3，因而 (x12+x-12)2=x+2+x-1=9,即x+x-1=7.因为 x+x-1=7因而 (x+x-1)2=x2+2xx-1+x-2=x2+2+x-2=49，即x2+x-2=47.x32-x-32x12-x-

4、12 =(x12)3-(x-12)3x12-x-12=(x12-x-12)(x+1+x-1)x12-x-12=x+1+x-1=8.【套路总结】指数幂运算的四个原那么：有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；底数是正数，先断定 标记 ，底数是小数，先化身分 数，底数是带分数的，先化成假分数；4假定是根式，应化为分数指数幂，尽能够用幂的方式表现 ，应用 指数幂的运算性子 来解答化简进程中必定 要留意等价性，特不留意开偶次方根时函数的界说 域【触类旁通】10.027-13-(-16)-2+2560.75+(125729)-13+(59)-1-729-16

5、_.【谜底 】31【剖析 】原式0.3-1-36+25634-(125729)-13+95-93(-16)=103-36+43-95+95-13=31.故谜底 为：312化简：(3+2)2015(3-2)2016_.【谜底 】3-2【剖析 】(3+2)2015(3-2)2016 =(3+2)(3-2)20153-2=3-2.故谜底 为：3-23(0.25)12-23702(-2)343+(2-1)-1-212_【谜底 】-1252【剖析 】原式=(14)12-22(-2)4+12-1-2=12-416+2-1-2=12-416+2+1-2 =-1252，故谜底 为-1252.4.曾经明白xx1

6、3，那么的值为 【谜底 】2eq r(5)【剖析 】x2x15，eq r(5)(31)2eq r(5).5.曾经明白a，b是方程x26x40的两根，且ab0，那么eq f(r(a)r(b),r(a)r(b) .【谜底 】eq f(r(5),5)【剖析 】由曾经明白得，a3eq r(5)，b3eq r(5)，因而 ab6，ab4，因而 eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(a)r(b),r(a)r(b)2eq f(ab2r(ab),ab2r(ab)eq f(62r(4),62r(4)eq f(1,5).因为 ab0，因而 eq r(a)eq r(b)，因而 eq f(r(a)r(b)

7、,r(a)r(b)eq f(r(5),5).6设2x8y1，9y3x9，那么xy的值为 【谜底 】27【剖析 】2x8y123(y1)，x3y3，9y3x932y，x92y，解得x21，y6，xy27.7曾经明白aeq f(1,a)3(a0)，那么a2aa2a1的值为 【谜底 】11eq r(13)【剖析 】由aeq f(1,a)3，得eq blc(rc)(avs4alco1(af(1,a)29，即a2eq f(1,a2)29，故a2a211.又(aa1)2a2a2211213，且a0，因而 aa1eq r(13).因而a2aa2a111eq r(13).考向二 指数函数的推断 【例2】函数f

8、(x)(a23a3)ax是指数函数，那么有 Aa1或a2 Ba1 Ca2 Da0且a1【谜底 】C【剖析 】函数f(x)(a23a3)ax是指数函数,依照指数函数的界说 失掉a23a3=1，且a0,解得a=1或2，因为 指数函数的底数不克不及 为1，故后果为2.故谜底 为：C.【套路总结】指数函数，指数函数的需求同时满意 系数为1次数为1【触类旁通】1函数y=a23a+3ax 是指数函数，那么a的值为A1或2 B1 C2 Da0且a1的一切实数【谜底 】C【剖析 】y=a23a+3ax是指数函数，a2-3a+3=1a0且a1，解得a=2应选C2函数fx=2a3ax是指数函数，那么f1=A8 B

9、32 C4 D2【谜底 】D【剖析 】函数fx=2a-3ax是指数函数，2a-3=1，解得a=2；fx=2x，f1=2应选：D3函数fx=m2-m-1ax是指数函数，那么实数m= A2 B1 C3 D2或-1【谜底 】D【剖析 】由指数函数的界说 ，得m2-m-1=1，解得m=2或-1，应选D.考向三 指数函数的枯燥 性【例3】函数fx=51-2x+4的枯燥 递增区间为 A-2,+B-32,+C-,-32D-,-2【谜底 】D【剖析 】由题意，函数fx的界说 域为R，设u=gx=1-2x+4=-2x-32x+5 x-2x-2，那么gx在-2,+上枯燥 递加，在-,-2上枯燥 递增，又因为 y=

10、5u在R上枯燥 递增，依照复合函数的枯燥 性，可得函数fx的枯燥 递增区间为-,-2.【套路总结】指数函数枯燥 性的推断 依照指数的底数a进展推断 ，0a1为增函数指数型函数的枯燥 性依照复合函数“同增异减求枯燥 区间必需先求界说 域【触类旁通】1.函数f（x）=e-x2+4x-9的枯燥 递增区间是A(-2,+)B(2,+)C(-,-2)D(-,2)【谜底 】D【剖析 】因为 y=ex，是指数函数，是增函数，y=-x2+4x-9是启齿向下的二次函数，因而 x2时，二次函数y=-x2+4x-9是增函数，x2时，y=-x2+4x-9是减函数，由复合函数的枯燥 性可知：函数f（x）=e-x2+4x-

11、9的枯燥 递增区间是（-，2）应选：D2.函数f(x)4x2x1的枯燥 增区间是_【谜底 】0，)【剖析 】设t2x(t0)，那么yt22t的枯燥 增区间为1，)，令2x1，得x0，又y2x在R上枯燥 递增，因而 函数f(x)4x2x1的枯燥 增区间是0，)3假定函数f(x)a|2x4|(a0，a1)满意 f(1)eq f(1,9)，那么f(x)的枯燥 递加区间是_【谜底 】2，)【剖析 】由f(1)eq f(1,9)，得a2eq f(1,9)，因而 aeq f(1,3)或aeq f(1,3)(舍去)，即f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)|2x4|.因为 y|2x4

12、|在(，2上枯燥 递加，在2，)上枯燥 递增，因而 f(x)在(，2上枯燥 递增，在2，)上枯燥 递加考向四 指数函数的界说 域跟 值域【例4】1函数y=4-2x的界说 域为_设函数fx=4-4x，那么函数fx4的界说 域为 。3函数y=2x2x+1(xR)的值域为 。4函数fx=(12)x2+2x+3值域为 。【谜底 】1(-,2 2(-,4 30,1 4(0,14【剖析 】1由二次根式有意思 ，得：4-2x0，即2x4=22，因为 y=2x在R上是增函数，因而 ，x2，即界说 域为：(-,22因为 fx=4-4x，因而 fx4=4-4x4，因为 4-4x40,4x44,x41,x4，因而

13、fx4的界说 域为-,43y=2x2x+1=2x+1-12x+1=1-12x+1，2x0,1+2x1，012x+11,-1-12x+10,01-12x+11，即0y0可得C选项.【触类旁通】1函数f(x)=2x+1的值域为_【谜底 】(0,+)【剖析 】由指数函数的性子 可知，2x0，因而 2x+1=22x0，故函数的值域为(0,+)故谜底 为：(0,+)2函数f（x）=4x-2x+2，x-1，2的值域为_【谜底 】-4，0【剖析 】令t=2x(12t4)，那么y=t2-4t=(t-2)2-4，当t=4时，ymax=0；当t=2时，ymin=-4；故函数f（x）=4x-2x+2，x-1，2的值

14、域为-4，0故谜底 为：-4，0考向五 比拟巨细 【例5】设a=(35)25,b=(25)35,c=(25)25，那么a,b,c的巨细 关联 是Aacb Babc Ccab Dbca【谜底 】A【剖析 】对于 函数y=(25)x，在(0,+)上是减函数，3525，(25)35(25)25，即b25，(35)25(25)25，即ac从而bca故A准确 【触类旁通】1.曾经明白a=0.50.8，b=0.80.5，c=0.80.8，那么 Acba Bcab Cabc Dacb【谜底 】D【剖析 】由题意，依照指数函数与幂函数的枯燥 性，可得a=0.50.80.50.5，因而 ba，又由c=0.80.

15、80.50.8，因而 ca，又由b=0.80.5c=0.80.8，因而 ac(23)23(25)23B(23)13(25)23(23)23C(25)23(23)13(23)23D(23)23(23)13(25)23【谜底 】A【剖析 】y=23x在R上为减函数，2313，2323250 ，23232523231323232523应选：A3曾经明白a=5log23.4，b=5log43.6，c=15log70.3，那么AbacBacbCcabDabc【谜底 】D【剖析 】a=5log23.4，b=5log43.6，c=15log70.3=5log7103，log23.4log23.6log710

16、3=log7103abc应选：D【套路总结】一比拟巨细 常用的办法应用枯燥 性比拟巨细 与专门 值比拟巨细 结构新函数，分不与新函数比拟巨细 二比拟指数式的巨细 的办法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再应用枯燥 性比拟巨细 ；(2)不克不及 化成同底数的，普通引入“1等两头量比拟巨细 .3在研讨指数型函数的枯燥 性时，当底数a与“1的巨细 关联 不断定 时，要分类探讨 考向六 过定点【例6】曾经明白函数fx=ax-2+3a0 ，那么fx的图象过定点 A0,4B2,4C0,3D4,3【谜底 】B【剖析 】由题意知，函数fx=ax-2+3(a0)，令x=2，那么f2=a0+3=4，因而 函

17、数fx的图象过定点(2,4)，应选B.【套路总结】形如指数型函数求定点：求x，令f(x)=0求解x;求y=A+B【触类旁通】1函数f(x)=2-ax+1(a0且a1)的图象恒过定点 A(0,2)B(1,2)C(-1,1)D(-1,2)【谜底 】C【剖析 】由x+1=0得x=-1那么f-1=2-a0=1那么函数fx=2-ax+1 的图象恒过定点-1，1 选C2函数fx=2+ax-1a0，且a1恒过定点A(0,1)B(1,2)C(1,3)D(0,2)【谜底 】C【剖析 】对于 函数fx=2+ax-1a0，且a1，令x-1=0，求得x=1，y=3，可得函数图象恒过定点1，3， 应选：C3假定函数f(

18、x)=2ax+m-n(a0，且a1)的图象恒过点(-1,4)，那么m+n=()A3B1C-1D-2【谜底 】C【剖析 】由题意，函数f(x)=2ax+m-n(a0，且a1)的图象恒过点(-1,4)，因而 m-1=0，且2am-1-n=4，解得m=1，n=-2，m+n=-1，应选：C考向七 图像咨询 题【例7】1假定函数y=ax+b2a0且a1的图象经过第一、三、四象限，那么A0a1 Ba1，且b1 C0al，且b1，且b12函数fx=axb的图象如下列图，此中 a，b为常数，那么loga1b的取值A恒即是 0 B恒小于0 C恒年夜 于0 D无奈 推断 【谜底 】1D 2B【剖析 】1当0a1时

19、，指数函数y=ax的图象经过第一、二象限，且枯燥 递增函数y=ax+b2的图象能够 由函数y=ax的图象向上或向下平移失掉，函数y=ax+b2的图象经过第一、三、四象限，a1；且由图象平移可知，b21，解得b1，应选D2由图象为减函数可知，0a1，令x=0，可得图象与y轴的交点为0，ab，显然ab1，即ab0，1b1loga1b0应选B【套路总结】1.对于 有关指数型函数的图象咨询 题，普通是从最根本的指数函数的图象动手，经过平移、伸缩、对称变更 而失掉.特不地，当底数a与1的巨细 关联 不断定 时应留意分类探讨 .2.有关指数方程、不等式咨询 题的求解，每每 应用响应 的指数型函数图象，数形

20、联合 求解.【触类旁通】1假定函数f(x)=(12)x-a的图象经过一、二、四象限，那么f(a)的取值范畴 为 A(0,1) B(-12,1) C(-1,1) D(-12,+)【谜底 】B【剖析 】因为 fx=12x-a的图像过一、二、四象限，故0a1，又fa=12a-a，该函数为0,1上的减函数，故-12fa1，应选B2曾经明白函数f(x)=(12)x-1+b的图像不经过第一象限，那么实数b的取值范畴 是 Ab-1 Bb-1 Cb-2 Db0，且a1的图象经过第二、三、四象限，那么必定 有 A0a1且b1且b1 C0a1 Da1且b1【谜底 】A【剖析 】由题可知，函数f(x)只是第一象限，

21、那么0a1；又因为 函数f(x)过第三、四象限，那么函数f(x)图象为y=ax向下平移且平移量年夜 于1，即b-2-1，解得b1且a1)的函数叫做指数函数，A中y=x契合指数函数的界说 ，是指数函数；B中，y=x2契合指数函数的界说 ，不是指数函数；C中，y=-2x不契合指数函数的界说 ，系数为-1，不是指数函数；D中，y=21x不契合指数函数的界说 ，不是指数函数应选A3假定函数fx=(a2-2a-2)ax是指数函数，那么a 的值是 。【谜底 】3【剖析 】依照指数函数的界说 ：形如y=ax(a1且a1)的函数叫做指数函数，依照这必定 义失掉函数fx=(a2-2a-2)ax是指数函数，a2-

22、2a-2=1a0a1，解得a=34在统一 坐标系中，函数y=ax+a与y=ax的图象年夜 抵 是 。A B C D【谜底 】B【剖析 】函数y=ax横过点0，1且在a1时递增，在0a1时递加，而函数y=ax+a与y轴的交点为0，a， 因而，A中、由y=ax的图象递增得悉 a1，由函数y=ax+a与y轴的交点0，a得悉 a1，抵触 ； C中、由y=ax的图象递加得悉 0a1，由函数y=ax+a与y轴的交点0，a得悉 a1，抵触 ； D中、由y=ax的图象递加得悉 0a1，函数y=ax+a递加得悉 a0，抵触 ； 应选：B5曾经明白函数f(x)=(23)x，那么函数y=fx+1的图象年夜 抵 是

23、。A BC D【谜底 】B【剖析 】依照题意，可得f(x+1)=(23)x+1=23(23)x，fx枯燥 递加；同时有f(0)=231，231，即函数图象与y轴交点在0，1之下；A、D选项的图象为增函数，不契合；C选项的图象与y轴交点在0，1之上，不契合；只要B的图象契合两点，应选：B6函数yax-1的界说 域是(，0，那么a的取值范畴 为 。 【谜底 】0，1【剖析 】要使函数y=ax-1(a0且a1)有意思 ,那么ax-10 ,即 ax1=a0,当a1时，x0；当0a1时，x0，因为 y=ax-1的界说 域为-,0因而 可得0a1契合题意，a的取值范畴 为0a1.7函数f(x)=(13)x

24、2+2x的值域是 。【谜底 】(0,3【剖析 】令t=x2+2x =x+12-1，那么t-1，那么y=(13)t, t-1 函数y=(13)t为减函数，故当t-1, 013t3即函数y=(13)t的值域为(0,38曾经明白函数y=b+ax2+2xa,b是常数，且0a1在区间-32,0上有最年夜 值3，最小值52，那么ab的值是 。【谜底 】1【剖析 】令u=x2+2x=(x+1)2-1,x-32,0，最年夜 值为0，最小值为-1.那么y=b+au,u-1,0当0a1时，y=b+au枯燥 递加.因而 b+a-1=3b+a0=52，解得a=23b=32，有ab=1，9曾经明白a=20.4，b=90

25、.2，c=433，那么 。【谜底 】abc【剖析 】a=20.4,b=90.2=30.4,c=433=334=30.75,幂函数f(x)=x0.4在0,+上枯燥 递增，那么a=20.4b=30.4，指数函数g(x)=3x在0,+上枯燥 递增，那么b=30.4c=30.75，可得ab0且a1的图象恒过定点(3,2)，那么m+n=_【谜底 】7【剖析 】函数y=ax-m+n-3a0且a1的图象恒过定点，令x-m=0，可得x=m，y=n-2，可得函数的图象经过定点(m,n-2).再依照函数的图象经过定点(3,2)，m=3，n-2=2，解得m=3，n=4，那么m+n=7，故谜底 为：712曾经明白函数

26、y=2ax-1+1(a0且a1)恒过定点Am,n,那么m+n=_【谜底 】4【剖析 】当x=1时，y=3可知函数恒过A1,3那么：m+n=4此题准确 后果：413函数y=3ax-2+1(a0且a1)的图象必经过点_【谜底 】(2,4)【剖析 】对于 函数y=3ax-2+1(a0且a1)，令x-2=0，求得x=2，y=4，可得它的图象经过定点(2,4)，故谜底 为：(2,4)14函数f(x)ax3m(a1)恒过点(3,10)，那么m_.【谜底 】9【剖析 】由图象平移常识 及函数f(x)ax过定点(0,1)知，m9.15曾经明白fx=3x2+2ax-a-1的界说 域为R，那么实数a的取值范畴 是

27、_【谜底 】-1，0【剖析 】fx=3x2+2ax-a-1的界说 域为R，3x2+2ax-1-10对恣意xR恒成破 ，即3x2+2ax-a1=30恒成破 ，即x2+2axa0对恣意xR恒成破 ，4a2+4a0，那么1a0故谜底 为：1，016.假定函数y|4x1|在(，k上枯燥 递加，那么k的取值范畴 为_【谜底 】(，0【剖析 】函数y|4x1|的图象是由函数y4x的图象向下平移一个单元 后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方失掉的，函数图象如下列图由图象知，其在(，0上枯燥 递加，因而 k的取值范畴 是(，017.假定1a衔接)【谜底 】3aa3a【剖析 】易知3a0，a0，a30

28、，又由1a0，得0a1，因而 (a)3(a)，即a3a，因而3aa3a.18.曾经明白实数a1，函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(4x，x0，,2ax，x0，)假定f(1a)f(a1)，那么a的值为 【谜底 】eq f(1,2)【剖析 】当a1时，代入不成破 故a的值为eq f(1,2).19.假定偶函数f(x)满意 f(x)2x4(x0)，那么不等式f(x2)0的解集为 【谜底 】x|x4或x0【剖析 】f(x)为偶函数，当x0，那么f(x)f(x)2x4，f(x)eq blcrc (avs4alco1(2x4，x0，,2x4，x0时，有eq blcrc (avs4alco

29、1(x20，,2x240)或eq blcrc (avs4alco1(x20，)解得x4或x4或x0，,f(12a16,4a)1，)解得a1，即当f(x)有最年夜 值3时，a的值为1.22化简以下各式：(1)eq blc(rc)(avs4alco1(2f(7,9)0.50.1230eq f(37,48)； (2)32(323)6+(22)43-4(1649)-12-4280.25+(-1024)04-x13y-133x-12y23-2x16y2352x14-3x14y-13-6x-32y-43【谜底 】见地析【剖析 】(1)原式eq f(1,0.12)3eq f(37,48)eq f(5,3)100eq f(9,16)3eq f(37,48)100.(2