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1、二积分上限函数及其导数二积分上限函数及其导数2二、积分上限的函数及其导数则变上限函数证 则有定理1 若积分中值定理第2页，共15页幻灯片。4二、积分上限的函数及其导数则变上限函数证 则有定理1 若积3说明:1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.2) 其他变限积分求导同时为通过原函数计算定积分开辟了道路 .证明见补充定理3第3页，共15页幻灯片。5说明:1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.2)4例1解第4页，共15页幻灯片。6例1解第4页，共15页幻灯片。5例2证第5页，共15页幻灯片。7例2证第5页，共15页幻灯片。6例3 证明在内为单调递增函数 . 证 只要证第6页，共

2、15页幻灯片。8例3 证明在内为单调递增函数 . 证 只要证第6页，共157三、牛顿 莱布尼茨公式( 牛顿 - 莱布尼茨公式) 证 根据定理 1,故因此得记作定理2 函数 ,则记作第7页，共15页幻灯片。9三、牛顿 莱布尼茨公式( 牛顿 - 莱布尼茨公式) 证8例4 计算解 例5 计算正弦曲线的面积 . 解 第8页，共15页幻灯片。10例4 计算解 例5 计算正弦曲线的面积 . 解 第9例6 求 解例7 求 原式解第9页，共15页幻灯片。11例6 求 解例7 求 原式解第9页10例8 设 , 求 . 解第10页，共15页幻灯片。12例8 设 11例9 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,速

3、停车,解 设开始刹车时刻为则此时刻汽车速度刹车后汽车减速行驶 , 其速度为当汽车停住时,即得故在这段时间内汽车所走的距离为刹车,问从开始刹到某处需要减设汽车以等加速度车到停车走了多少距离? 第11页，共15页幻灯片。13例9 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,速停车,12例10解第12页，共15页幻灯片。14例10解第12页，共15页幻灯片。13则有1. 微积分基本公式积分中值定理微分中值定理牛顿 莱布尼茨公式 2. 变限积分求导公式 四、小结 第13页，共15页幻灯片。15则有1. 微积分基本公式积分中值定理微分中值定理牛顿 14定理3 设函数 f (t) 在区间 c, d 上连续,函数区间a, b上可导, 且则函数在区间a, b上可导,且积分变限函数补充:第14页，共15页幻灯片。16定理3 设函数 f (t) 在区间 c, d 上连15证明 因为函数 f (t) 在区间c, d 上连续,所以 f (t)在区间c, d 上有原函数F (t), 由Newton-Leibniz公式及复合函数求导法则得显然,当时,上式就是定理 1

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