离散代数系统-总汇课件

1、第三部分 代数结构一、本部分的主要内容代数系统-二元运算及其性质、代数系统和子代数半群与群-半群、独异点、群环与域-环、整环、域格与布尔代数-格、布尔代数二、本部分的基本要求掌握代数系统的基本概念掌握各种重要的代数系统的定义和性质了解和使用基本的证明方法 第十章 代数系统主要内容二元运算及其性质一元和二元运算定义及其实例二元运算的性质代数系统 代数系统定义及其实例 子代数 与后面各章的关系是后面典型代数系统的基础 第一节 二元运算及其性质二元运算与一元运算的定义1. 二元运算的定义与实例定义10.1 设S为集合,函数f：SSS称为S上的二元运算, 简称为二元运算.也称S对f封闭. 例（1）加法

2、、乘法是自然数集合N上的二元运算，减法和除法不是. （2）加法、减法和乘法是整数集合Z上的二元运算，而除法不是.（3）乘法、除法是非零实数集R*上的二元运算，加法、减法不是. （4）设S=a1,a2,an, aiaj =ai为S上二元运算. （5）设Mn(R)表示所有n阶(n2)实矩阵的集合，即则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算. （6）S为任意集合，则、 为P(S)上的二元运算. （7）SS为S上的所有函数的集合，则合成运算为SS上的二元运算. 2. 一元运算的定义与实例定义10.2 设S为集合，函数f：SS称为S上的一元运算，简称为一元运算. 例 （1）求相反数是整数集合Z，有理数

3、集合Q和实数集合R上的一元运算. （2）求倒数是非零有理数集合Q*，非零实数集合R*上的一元运算. （3）求共轭复数是复数集合C上的一元运算. （4）在幂集P(S)上规定全集为S，则求绝对补运算是P(S)上的一元运算. （5）设S为集合，令A为S上所有双射函数的集合，ASS，求一个双射函数的反函数为A上的一元运算. （6）在n(n2)阶实矩阵的集合Mn(R)上，求转置矩阵是Mn(R)上的一元运算. 二元与一元运算的表示 1算符可以用, , , , , 等符号表示二元或一元运算，称为算符. 对二元运算，如果x与y运算得到z，记做xy = z；对一元运算, x的运算结果记作x. 2表示二元或一元运

4、算的方法-解析公式和运算表公式表示 例 设R为实数集合，如下定义R上的二元运算： x,yR, xy = x. 那么 34 = 3， 0.5(3) = 0.5运算表（表示有穷集上的一元和二元运算）二元运算的运算表 一元运算的运算表a1 a2 an aia1a2.ana1a1 a1a2 a1ana2a1 a2a2 a2an . . .ana1 ana2 anan a1a2.an a1 a2 an例 Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合, n2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|2集合运算交换律结合律幂等律Z,Q,R普通加法+普通乘法有有有有无无Mn(R)

5、矩阵加法+矩阵乘法有无有有无无P(B)并交相对补对称差有有无有有有无有有有无无AA函数符合无有无例 Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合,n2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|2 集合 运算分配律吸收律Z,Q,R普通加法+与乘法对+可分配+对不分配无Mn(R)矩阵加法+与乘法对+可分配+对不分配无P(B)并与交对可分配对可分配有交与对称差 对可分配无2特异元素：单位元、零元和逆元 定义10.5 设为S上的二元运算,（1）单位元如果存在el（或er）S，使得对任意xS都有elx = x (或xer = x)，则称el (或er)是S中关于运算的左(或右)单位元. 若eS关于运算既是左单位元又是右单位元，则称e为S上关于运算的单位元. 单位元也叫做幺元.（2）零元如果存在l（或r）S，使得对任意xS都有lx = l (或xr = r)，则称l (或r)是S中关于运算的左(或右)零元. 若S关于运算既是左零元又是右零元，则称为S上关于运算的零元. 第二节 代数系统第十章 习题课解第十一章 半群与群第二节 群的定义与性质第三节 子群图1第四节 陪集与拉格朗日定理第五节 正规子群与商群 第六节 群的同态与同构第七节 循环群与置换群图2第十一章 习题课解：解第十二章 环与域 第一节 环的定义与性质 第二节 整环与域 第十二章 习题课第十