高等代数II期中试卷

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业北 京 交 通 大 学2017-2018学年第二学期高等代数II期中考试试卷 答案 填空题(每题3分,共30分)1. 已知中的向量在基下的坐标是, 则在基下的坐标是 。2. 已知线性空间的两组基和， 则由基到基的过渡矩阵是 。3. 设线性变换A在基的矩阵为，线性变换B在基下的矩阵为，那么A+B在基下的矩阵为 。4已知三阶矩阵满足，则 36 。5. 若矩阵有个线性无关的特征向量，则= 0 。6复数域C上阶上三角矩阵的全体关于矩阵的加法和数乘构成实数域R上的线性空间,其维数

2、是 n(n+1) 。7. 设是的特征向量，则 2 8 下列变换A中，是线性变换的有 ( C ) (A) 在中，A；(B) 在中，A；(C) 在中，A；(D) 把复数域看作复数域上线性空间，定义A 其中是任意复数。9. 设线性变换A在基下的矩阵是, 向量 在基下的坐标是 , 则A()在该基下的坐标是 .10. 以下断言正确的有( 1 )个。(A) 平面上的向量关于下面定义的加法、数乘运算：构成实数域上的线性空间；(B) 设 是维线性空间上的线性变换，则；(C) 的两个子空间，其中是全体迹为0的n阶实方阵，是全体n阶实上三角阵，则和是直和；(D) 若两个同阶方阵有相同的特征多项式，则与相似。二（1

3、0分）设，。求的维数和一组基。解 7分维数是5，是一组 基. 10分三（10分） 设，是线性空间的两个子空间，其中；，。(1) 求 的维数和一组基；(2) 求 的维数和一组基。解 （1） 的一个极大线性无关组是。所以的维数是4，一组基是。 .5分.（2）设。则，即，解得 。故 ，这样 它的维数是1，一组基是 .10分.四（16分） 设A是线性空间上的一个线性变换,且A，A，A。证明是的一组基;求A在基 下的矩阵;求A的值域的维数与一组基;（4）求A的核的维数与一组基。解 (1) 令，则。因为行列式，所以向量组是的一组基; 3分（2）A 所以A在基 下的矩阵是。 9分 (3) 它的维数为2，一组

4、基是： 12分(4) 它的维数为1，一组基是。 16分五（14分）在线性空间上定义线性变换A如下： A。 求A的特征值与特征向量问A能否对角化？若能，试求出的一组基，使A在这组基下的矩阵为对角矩阵。解 (1)取的一组基，A在该基下的矩阵为 4分求出A 的特征根为1，1，2，2。 .5分对应特征值1，解齐次线性方程组得基础解系 .8分于是A 的属于1的线性无关的特征向量是；对应特征值2，解齐次线性方程组 得基础解系 .11分于是A 的属于2的线性无关的特征向量是.（2）因为A有4个线性无关的特征向量，所以A能否对角化，且A在基（特征向量的基和起来）下的矩阵为对角阵 .14分六、（10分）若三阶矩阵有特征值1（二重）和3，且可以对角化。求（1）的值；（2）可逆矩阵，使为对角形。 解 (1) 由已知条件，可知与相似，所以 解得。 5分(2) 对特征值1，解方程组，得基础解系 对特征值3，解方程组，得基础解系 令 则 。 10分 七、证明题（每小题5分，共10分）1. 设分别是方阵的属于特征值的特征向量。若，证明不是的特征向量。证明 假设是的特征向量，则，即。因为属于不同特征值的特征向量