（本科）微积分下册第十章教学课件

1、正版可修改PPT课件（本科）微积分下册第十章教学课件第十章 微分方程第一节 微分方程的基本概念 第二节 一阶微分方程 第三节 可降阶的二阶微分方程 第四节 线性微分方程的解的结构 第五节 二阶常系数微分方程 第一节 微分方程的基本概念 定义1 含有未知函数的导数或微分的等式，叫做微分方程未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程微分方程中出现的各阶导数的最高阶数，称为微分方程的阶 定义2 如果一个函数代入微分方程后，方程两端恒等，则称此函数为该微分方程的解求微分方程解的过程，称为解微分方程 定义3 如果微分方程的解中含有独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数，则称这样的解为微分方程的通解在通

2、解中给任意常数以确定的值或通过附加条件确定通解中的任意常数而得到的解，称为微分方程的特解 定义4 确定微分方程通解中任意常数的题设条件或附加条件，称为微分方程的初始条件求微分方程满足初始条件的特解的问题，叫做微分方程的初值问题第二节 一阶微分方程 一、可分离变量的微分方程 二、齐次方程 三、一阶线性微分方程 四、伯努利方程 一、可分离变量的微分方程 定义1 形如 的微分方程叫做可分离变量的微分方程例如：都是可分离变量的微分方程. 一般地，对于方程 ，当 时，它可以变形为 ，即把两个变量分离到等式两端，然后等式两端分别积分，得若设 分别为 和 的原函数，则 （ 为任意常数）为所求得通解，我们也称

3、之为隐式通解我们称这种解微分方程的方法为分离变量法二、齐次方程 形如 的方程叫做齐次方程.例如， 等都是齐次方程 在齐次方程中，令 ，即 ，由 ，可得这是可分离变量的方程，把它改写成两端积分后，得求出积分后，再用 代替 ，便得所给齐次方程的通解三、一阶线性微分方程 一阶齐次线性微分方程 是可分离变量的微分方程，分离变量得 两边积分得取指数得 ，即有 其中 仍为任意常数 这就是一阶齐次线性微分方程的通解.齐次线性微分方程 的解法注：（1）一阶齐次线性微分方程的通解，既可以用分离变量法求解，也可以直接使用公式 求解（2）在积分学中，不定积分 表示原函数族，它有无穷多个原函数，是原函数的全体但在微分

4、方程中， 通常只表示一个原函数，而全体原函数应写成 非齐次线性微分方程 的解法 设 为非齐次方程的解两边对 求导得把 代入非齐次方程中得即 ，两边积分得故一阶非齐次线性微分方程的通解为 （c为任意常数） 把齐次方程的通解的常数变易为待定函数的方法叫做常数变易法 常数变易法求解一阶非齐次线性微分方程通解的步骤如下：1.求对应的齐次方程的通解2.设 ，并求出3.将2中 代入非齐次线性微分方程中解出4.将3中求出的 代入2中的 的表达式，得即为非齐次线性微分方程的通解四、伯努利方程 方程叫做伯努利（Bernoulli）方程 当 或 时，这是线性微分方程，当 时，方程不是线性的，但通过变量的代换，便可

5、以把它化为线性的 伯努利方程的解法以 除伯努利方程的两端，得容易看出，上式左端第一项与 只差一个常数因子 ，因此，引入新的未知函数 那么 用 乘方程的两端，再通过以上代换便得线性方程求出这方程的通解后，以 代 便得到伯努利方程的通解第三节 可降阶的二阶微分方程 一、形如 型微分方程二、形如 型微分方程三、形如 型微分方程 一、形如 型微分方程 对于微分方程 的右端仅含自变量 ，如果以 为未知数，就是一阶微分方程，两端积分得再次积分得以此类推，对于 阶微分方程，连续积分 次，便得含有 个任意常数的通解.二、形如 型微分方程 方程 的右端不显含 .令 ，则 ，代入方程得这是一阶方程，设其通解为因

6、，于是两端积分，得 三、形如 型微分方程 方程 中不明显地含有自变量x为了求出它的解，我们令 ，并利用复合函数的求导法则把 化为对 的导数，即 这样，方程就成为这是一个关于 变量的一阶微分方程设它的通解为分离变量并积分，便得方程的通解为第四节 线性微分方程解的结构 先讨论二阶齐次线性方程 （10-14）定理1 如果函数 与 是方程（10-14）的两个解，那么 （10-15）也是（10-14）的解，其中 是任意常数证 将（10-15）式代入（10-14）式的右端，得由于 与 是方程（10-14）的解，上式右端方括号中的表达式都恒等于零，因而整个式子恒等于零，所以（10-15）式是方程（10-14

7、）的解设 ， ， 为定义在区间 上的 个函数，如果存在 个不全为零的常数， 使得当 时有恒等式成立，那么称这 个函数在区间 上线性相关；否则称线性无关 定理2 如果 与 是方程（10-14）的两个线性无关的特解，那么 （ 是任意常数）就是方程的通解推论 如果 ， ， 是 阶齐次线性方程的 个线性无关的解，那么，此方程的通解为其中 为任意常数定理3 设 是二阶非齐次线性方程 （10-16）的一个特解 是与（10-16）对应的齐次方程（10-14）的通解，那么 （10-17）是二阶非齐次线性微分方程（10-16）的通解证 把（10-17）式代入方程（10-16）的左端，得由于是方程（10-14）的

8、解，是（10-16）的解，可知第一个括号内的表达式恒等于零，第二个恒等于这样，使（10-16）的两端恒等即（10-17）式是方程（10-16）的解由于对应的齐次方程（10-14）的通解 中含有两个任意常数，所以 中也含有两个任意常数，从而它就是二阶非齐次线性方程（10-16）的通解定理4 设非齐次线性方程（10-16）的右端 是几个函数之和，如 （10-18）而 与 分别是方程的特解，那么 就是原方程的特解 证 将 代入方程的左端，得因此 是方程（10-18）的一个特解 .第五节 二阶常系数微分方程 一、二阶常系数齐次线性微分方程二、二阶常系数非齐次线性微分方程 一、二阶常系数齐次线性微分方程

9、 二阶常系数线性微分方程的一般形式为（ 是实数）若 ，则称 为二阶常系数线性齐次微分方程；否则，称 为二阶常系数线性非齐次微分方程 定理1 如果 与 是齐次方程的两个特解，而且 不等于常数，则 是齐次方程的通解，其中 为任意常数证 因为 与 是齐次方程的两个特解，所以有 与 而 ， ，代入齐次方程的左端，得即 是齐次方程的解，在 不等于常数的条件下，可以证明 中含有两个独立的任意常数，所以， 是齐次方程的通解 定理2 如果 是非齐次方程（11-19）的一个特解，而 是其对应齐次方程的通解，则 是非齐次方程（11-19）的通解证 因 是非齐次方程（11-19）的一个特解，所以 又因 是其对应齐次方程的通解，所以 于是，对 有所以， 是非齐次方程（11-19）的解又因为 中含有两个任意常数，从而， 中也含有两个任意常数，所