代数运算及其性质课件

1、数学的三大特点根据前苏联科学院出版的一本名为“数学-它的内容、方法、和意义”具世界影响的书的提法，数学的三大特点也是它的三大优点是： 精确性; 抽象性; 应用的广泛性.原书还特别强调:抽象性是应用广泛性的基础.我们要深刻理解数学的抽象性这个特点和优点.代数系统的概念代数系统也称代数结构,简称代数.代数通常有三个组成部分: 一个集合（研究对象）,称为代数的载体; 定义在载体上的若干运算; 载体的若干特异元素(如下面将介绍的幺元,零元,逆元等),称为代数常数.(对有些代数可以不含或不考虑代数常数)代数运算 代数运算的定义：设A是非空集合,f是AAA的一个函数， 则称f为A上的一个二元代数运算,简称

2、二元运算若f是AA的一个函数，则称f为A上的一个一元代数运算,简称一元运算。类似可定义n元运算。（注意封闭性）n元运算集合上的n元运算定义为函数:f:AnA.例实数集R上取负元:f(x)=-x 是一元运算;实数集R上的加法:f(x,y)=x+y; 乘法:f(x,y) =xy是二元运算运算符通常用，*，+，来表示二元运算，称为运算符若f是A上的二元运算，即AAA的函数。x,yA，f（x,y）=zA可用运算符表示,即x*y=zA。例1在实数集上定义二元运算*，x,yR，x*y=y则 2*3= 0.5*(-1 )= 50*0=0*50=例4在R上求平方根运算（作为一元运算）它不是一个代数运算。-9不

3、存在平方根，存在性不满足。9有两个平方根，3，-3，唯一性不满足。但在R+上求平方根运算是一个一元运算。 例(1)自然数集合上的乘法是N上的二元运算(2)整数集合Z上的加法、乘法、减法是Z上的二元运算，但除法不是Z上的运算，因0不能作分母，且相除结果不一定是整数，即在Z上可能没有结果。(3)设MN（R）是n阶实矩阵的全体，因而矩阵乘法是Mn（R）上的二元运算。(4)集合的交，并，对称差是幂集上的二元运算，补是幂集上的一元运算。（5）合取，析取，蕴含，等价、异或是命题公式集合上的二元运算，而否定是一元运算。（6）求一个数的相反数分别是整数集合，实数集合，有理数集合上的一元运算。（7）求一个数的倒

4、数是非零有理数，非零实数集上的一元运算但其不是非零整数集上的运算。运算律(1)交换律：设是A上的二元运算，如果x,yA，均有xy=yx称在A上是可交换的，或说在A上成立交换律。(2)结合律：设是A上二元运算,如x,y，zA，均有（xy)z=x（yz）称运算在A上是可结合的，或称 在A上成立结合律例：实数中的加法乗法是可交换的，也是可结合的，但减法不是可交换的，也不是可结合的。矩阵的乗法成立结合律，但不成立交换律，集合的，均是可交换的，也是可结合的。运算律（3）幂等律：xA，x*x=x,称*在A上成立幂等律。如果存在xA，使x*x=x，称x为*的幂等元。显然*在A中成立幂等律xA，x是幂等元。例

5、：集合的，逻辑运算，成立幂等律。实数中的加法，乗法不成立幂等律.对加法，0是幂等元;对乗法,1是幂等元。（4）分配律：设和*是A上的两个二元运算，如对x,y，z均有 x*（yz）=（x*y）（x*z）和（yz）*x=（y*x）（z*x）则称*对在A上成立分配律。例：实数乘法对加法成立分配律，但加法对乘法不成立分配律。（5）吸收律：x,yA,x*（xy）=x，x（x*y）=x，称和*满足吸收律。代数系统中的特殊元素：单位元定义:设是A上二元运算，若存在元素el（或er）A，使得xA，均有elx=x（或xer=x）则称el（er）是A中关于运算的一个左单位元（右单位元）若元素e既是左单位元，又是右

6、单位元，则称e是A中关于运算的一个单位元，也称幺元。代数系统中的特殊元素：零元定义:设是A上二元运算，若存在元素l（或r）A，使得xA，均有 lx=l （或xr=r）则称l（r）是A中关于运算的一个左零元（右零元）若元素既是左零元，又是右零元，则称是A中关于运算的一个零元。例实数集上加法运算（R，）实数集上乘法运算（R，）对于幂集P（A）上的运算（P（A），）而对于幂集P（A）上的运算（P（A），）零元的唯一性定理设*是集合A上的二元运算，L，r分别是运算*的左零元和右零元，则有l=r=，且是A上唯一的零元逆元定义：设*是集合A上的二元运算，eA是运算*的单位元，xA，如果yA，使得x*y=e

7、，y*x=e，则称y是x的逆元，记y=x-1，如果x的逆元存在，则称x是可逆的。例：Z上的加法运算，则逆元就是相反数，而对N上的加法运算，只有0存在逆元是0逆元的唯一性定理设代数系统 ,A中存在幺元e, 是可结合的二元运算，如果A中元素x存在关于运算的左逆元和右逆元，那么，该左逆元必定也是该元素的右逆元，即是该元素的逆元。逆元的唯一性定理设代数系统 ,A中存在幺元e,且每一个元素都有左逆元如果是可结合的二元运算，那么，这个代数系统中任何一个元素的左逆元必定也是该元素的右逆元，且每个元素的逆元是唯一的例：设A是集合，S是A的函数全体，对于函数的复合运算来说，单位元是恒等函数A，而只有双射才是可逆

8、的。例：Mn（R）上矩阵乘法，单位元是单位矩阵，而逆元就是逆矩阵，当A是非奇异矩阵时，才可逆。练习*浅色 深色浅色深色浅色 深色深色 深色代数系统定义:设A是非空集合, f1,f2,fm是定义在A上的一元或二元运算,由A和f1,fm组成的系统称为一个代数系统或代数结构,记作(A,f1,fm), A为该代数系统的定义域,当A为有限集时,称为有限代数系统,当A为无限集时称为无限代数系统。半群 定义:设(G,*)是一个代数系统, *是G上的二元运算, 如果*在G上成立结合律, 则称(G,*)为半群。 例1(1) (Z+,+), (Z,+), (N,+), (Z+,x), (N,x),(Q,x) 等是

9、半群。R+表示正实数集合,(R+,+),(R+,x)是半群。 (2) (Mn(R),+)是半群,+为n阶矩阵的全体 Mn(R)上的矩阵加法。 (3)(P(A),)是半群。 举例说明不是半群的代数系统（R，），（R，/）独异点定义:设(G,*)是半群,且二元运算*还满足： 存在eG, 则称(G,*)是独异点。群定义:设(G,*)是半群,且二元运算*还满足。（1） 存在eG, （2） xG,x-1G,设x* x-1=x-1*x=e,即每个元素均存在逆元，则称(G,*)是群。即群（G,*）满足运算*满足确定性,封闭性。*存在结合律G中存在单位元 G中每个元素存在逆元例例1:（Z,+）是群,单位元是0

10、,逆元是相反数。 同样(Q,+),(R,+)也是群。例2:(R+,x)是群,单位元是1,逆元是倒数。例例3:(Mn(R),+)是群,单位元是零矩阵,逆元是负矩阵。例4:(Mn(R),)不是群,存在单位元是单位矩阵n,逆元是逆矩阵,但有的方阵是不存在逆矩阵。 如果Mn(R)的子集Sn(R)=所有可逆矩阵的全体,则(Sn(R), )是群,其运算封闭 ,且每个矩阵均存在逆矩阵。例5:(Z6,+6),其中Z6=0,1,2,3,4,5单位元是0,1+65=0,2+64=0,3+63=01,5 互为逆元,2,4互为逆元,3的逆元是3,0的逆元是0,(Z6,+6)是群。例6:(P(A),),P(A)是A的幂

11、集,是对称差运算。 因BP(A),B=B=B, BB= 所以单位元是,每个元素的逆元就是其本身。例四元群。设G=e,a,b,c 运算*表如下* e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a exG,x*x=e xG,x*e=e*x=x x,yG,如xe,ye,x*y=y*x=Z其中Ze,x,y,z均不相等。由此可知G存在单位元e,运算封闭*存在结合律G的每个元素均存在逆元,逆元是其本身。G存在交换律(这不是群的要求)称(G,*)为四元群 例(Z,+)是群, 但(Z+,+)不是群,其不存在单位元,且每个元素也不存在逆元,只是半群。(N,+) 存在单位

12、元, 除0以外,每个数均不存在逆元,只是半群，也是独异点。 群的性质(一)定理:设(G,*)是群,则(1)aG,(a-1)-1=a (2)a,bG,(a*b)-1=b-1*a-1 (3)aG,an*am=am+n (第一指数律) (4)aG (an)m=amn (第二指数律)其中an=a*a*a(n个)证明:(1)因a*a-1=e, a-1*a=e, ( a-1)-1=a 即两式说明了a-1的逆元是a。(2)(ab)*(b-1*a-1)=a(bb-1)a-1=aea-1=aa-1=e (注:在不混淆情况下,有时a*b简写成ab) (b-1a-1)(ab)=b-1(a-1a)b=b-1eb=b-

13、1b=e (ab)-1= b-1 a-1(3),(4)是因为结合律群的性质(二)(可除性)定理:a,bG,方程a*x=b和y*a=b,在G中存在唯一解。证明:(1)存在性,因a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b x= a-1*b是方程a*x=b的解。（1） 唯一性,设C是方程解,即a*c=b,则两边左乘a-1, a-1*a*c= a-1*b C= a-1*b 方程的解只有a-1*b同理可证y*a=b 存在唯一解 y=b* a-1说明:群未必成立交换律, a-1*b和b* a-1未必相等,a*x=b和y*a=b的解未必相等由于存在唯一解,可以定义一个运算,a,bG,定义ab=“a*

14、x=b”的解,不妨称之为除法。由于没有交换律,因此称之为“左除”运算。群的性质(三)(消去律)定理:设(G,*)是群,则a,b,cG(1) 如a*b=a*c 则b=c。(2) 如b*a=c*a 则b=c。例设有代数系统(Z,*)，运算*的定义如下： a,bZ,a*ba+b-2,试证：(Z,*)是群。子群定义:设(G,*)是群,H是G的非空子集,如果H关于G的运算*构成群,则称H为G的子群。定理设(G,*)是群, (S,*)是(G,*)的一个子群，那么， (G,*)中的幺元必定也是(S,*)中的幺元。说明(1)(H,*)是子群,只要求运算*在H中封闭 G的单位元e在H内 H的每个元素的逆元仍在H

15、内(对逆元封闭)至于运算的确定性和结合律,由于G中成立,H必然成立。(2)子群要求(H,*)的运算*与G中相同。(3)如H构成子群,必是非空的,至少有单位元e。(4)(G,*)有两个平凡子群, H。=e, (H。,*)是子群,还有是G本身。例例:(R,+)是群, QR,(Q,+)是子群,(Z,+)也是子群。 NR,但(N,+)不是子群。例:(Z6,+6)是群。H1=0,2,4则(H1,+6)是子群,因2+62=4H1,4+64=2H1,2,4互为逆元等等。但H2=0,1,5不是子群 1+61=2H2,5+65=4H2,H2对运算+6不封闭。可以验证(0,3,+6)也是子群。子群的判定定理(一)

16、定理 设(G,*)是群 HG,(H,*)是子群的充要条件是以下三条同时成立（1） H非空（2） 如果aH,bH,则a*bH（3） 若aH,则a-1H证明：必要性是显然成立,下证充分性。由(1)因H非空,取aH,由(3)a-1H,由(2)因a, a-1H则a* a-1H,eH,H存在单位元,从而(H,*)是子群。子群的判定定理(二)(G,*)是群,HG,(H,*)是子群的充要条件是 (1)H非空 (2)x,yH, 均有x* y-1H证明：由定理5(1)(2)(3)推论(1)(2)是显然的。现由推论(1)(2)定理5(1)(2)(3),只要证(2)(3)因H非空,取xH,由(2)x,xHx* x-

17、1H,eH再由(2)aH,因e,aH,则e* a-1H,即a-1H,定理5的(3)证得,a,bH,由上b-1H再由(2)a, b-1H,则a*(b-1)-1H即a*bH,定理5的(2)成立。例设G为群,xG,令H=xkkZ试证H为G的子群。证明：xm,xlH,则xm*(xl)-1 =xm*x-l=xm-lH由推论得H是G的子群。子群的判定定理(三)(G,*) 是群,H是G的有穷非空子集,若* 在H上是封闭的,则(H,*)是(G,*)的子群证明:只要证明H中存在幺元并且H中的每个元素都在H中存在逆元特殊的群(一、交换群)定义：如果(G,*)中的二元运算是可交换的,则称(G,*)是交换群,又称阿贝

18、尔群。例 (Z,+),(Q+,x)等是交换群,因数的加法和乘法满足交换律。例：n阶实可逆矩阵的全体,对矩阵乘法构成了群,但由于矩阵乘法不满足交换律,因而不是交换群。 特殊的群(二、循环群)循环群的定义：设 (G,*)是群,如果存在一个元素aG,使GakkZ,则称G为循环群,a是G的生成元,并记作G(a)。注意：若k是正整数, aka*a*a 共k个元素乘积,记a0e,a-k(ak)-1 (a-1 ) k定理：任何一个循环群都是交换群无穷循环群(1)如果不存在一个正整数n,使得 ane,则G(a)就有无穷多个元素 Ga-n,a-2,a-1,e,a,a2,an ,例如(Z,+)是循环群,1或-1是

19、生成元,任意正整数n1+1+1 1 n =(-1) n ,-n是n的逆元。群中元素的阶定义：设（G，*)是群，a G，我们把使等式ane成立的最小正整数n称为a的阶或周期，记为 a=n;若不存在这样的正整数，则称a的阶是无穷的定理： （G，*)是群，a G,如果a的阶为m，则a-1的阶也为m有穷循环群如果存在一个最小的正整数n,使得ane,则G (a)有n个元素,Ge,a,a2,an-1 ,称G的周期为n定理：设(G，*)是有穷循环群，a是生成元， G=n ，则 a=n，且Ga,a2,，an 定理设(G，*)是循环群，a是一个生成元，若G是无穷循环群，则G有两个生成元，a 和a-1若G是有穷循

20、环群， G=n,则G有(n)个生成元, 是欧拉函数，表示小于或等于n并且与n互素的正整数个数ar是G的生成元当且仅当n与r互素例如12阶循环群中，Ge,a,a2,a11 a12e,这样，G的生成元是a或a5,a7和a11a12+3a3,a-8a-12+4 a128 a4。G的子群有H1e,a2,a4,a6,a8,a10,H1的生成元是a2或a10,周期为6H2e,a3,a6,a9,H2的生成元是a3或a9,周期为4H3e,a4,a8,H3的生成元是a4或a8,周期为3H4e,a6,H4的生成元是a6,周期为2H5e,H5的生成元是e,周期为1还有个子群是G本身,生成元是a,a5,a7,a11。

21、周期为12,例设有代数系统(Z,*)运算*的定义如下： a,bZ,a*ba+b-2,试证(Z,*)是循环群。证明: a,bZ,(a*b)*c(a+b-2)*ca+b+c-4 a*(b*c)a*(b+c-2)a+b+c-4 *满是结合律。 aZ,a*2a+2-2a, 2*aa,单位元是2, aZ,(4-a)*a(4-a)+a-22,a的逆元是4-a (Z,*)是群。对于任何正数n,1n2-n,即n12-n,1是生成元,也可以验证3也是生成元,3nn+2。拉个朗日定理（群与子群的阶之间的重要关系）定理1：设（ G ,*）是有穷群，（H，*)是（G，*)的子群，则|H |整除|G |定理2：任何素数

22、阶群不可能有非平凡子群设（G，*) 是n阶群，对任意的a G，a的阶是n的因子， 并且an e同态和同构 定义：设(G，*)和(S，*)是两个代数系统,*和分别是G和S上的二元运算,设f是从G到S上一个映射，且对a,bG,有f(a*b)=f(a)f(b)，则称f是(G，*)到(S，*)的一个同态映射,并称G和S同态，记作GS；同态和同构若f是单(满）射，称G与S是单（满）同态。(f(G),)称为(G,*)在f下的同态象。如果f是双射，则称G与S是同构。同态映射的图示例设(R, +),(R, )是两个代数系统,令映射 : RR, (x)=ex则是(R, +)到(R, )的同态映射，因为(x+y)

23、=ex+y, (x)(y)=exey=ex+y (x+y)=(x)(y)但不是满射,(R) =R+R,R在下的同态象是R的真子集R+，同时映射(x)=ex是单射. 是(R, +)到(R, )的同态映射。例（R+,)和(R,+)是两个群：f : R+R,f(x)=lnx,可以证明： f是(R+ ,x)到(R,+)的同构映射f是双射，且满足f(xy) = ln(xy) = lnx + lny=f(x)+f(y),f是(R+ ,x)到(R,+)的同构映射，R+与R是同构的。而f(1)=0,即(R+ , x)的单位元映射到(R,+)中的单位元。f的逆映射f -1，f -1(x) = ex, f -1是

24、(R,+)到(R+ ,x)上的同构映射。定理：如f是(G,*)到(S,)的同构映射，则f -1是(S,)到(G,*)的同构映射，即若GS，则SG，说明同构具有对称性。但同态不具有对称性。定理：如GQ，QS，则GS(同构具有传递性)。定理：设G是代数系统的集合，则G中代数系统之间的同构关系是等价关系。同构的意义形式上不同的代数系统，如果它们是同构的话，那么就可抽象的把它们看作是本质上相同的代数系统，所不同的只是所用的符号不同。互相同构的群，只要研究一个，其他的群就有完全相类似的性质。定理设f 是代数系统（A，）到（B，）的同态映射如果（A，）是半群（群），那么在f 的作用下，同态象（f（A），）

25、也是半群（群） 其他代数系统:环与域 环的定义：设G是非空集合，在G上定义两个二元运算，称为加法+,和乘法,且满足：(1)(G,+ )是交换群，(阿贝尔群)(2)(G,)是个半群(3)乘法对加法适合左右分配律，即a,b,cG,有a(b+c)=ab+ac, (a+b)c=ac+bc。则称代数系统(G,+,)为环即环有两个代数运算，对加法存在结合律,交换律有单位元，每个元素有逆元，对乘法满足结合律，另乘法对加法而言成立左右分配律例例1:整数集合Z，对于数的加法和乘法是个环，称为整数环。(Z,+,)例2:实域上的n阶矩阵的全体组成的集合Mn(R),在矩阵的加法和乘法下构成一个环，称为n阶方正环。(M

26、n(R),+,)例3:用Zx表示x的所有整系数多项式构成的集合，对于多项式的加法和乘法，构成一个环，称为整系数多项式环，记作(Zx,+,)例4:仅有数字0构成的集合0，对数的加法和乘法，构成一个环(0,+,)，称为零环。例5:用Zn表示全体整数模n的乘除类。Zn=0,1,2,n-1 其中i表示n的余数为i的乘除类，即：i=x|xZ,xi(modn),对剩余类定义加法和乘法，如下:i+j=(i+j)modn(n),ij=(ij)modn(n)例 n=6来举例Zn=0,1,2,3,4,50=,-12,-6,0,6,12,18,1=,-11,-5,1,7,13,19,2=,-10,-4,2,8,14

27、,20,加法 2+3=5，4+2=0，4+5=3乘法 54=20(mod6)=2， 43=12(mod6)=0则Zn在此加法和乘法下是一个环，称为剩余类环。 环的基本性质(一)（1）加法有结合律（2）加法中有交换律a,bG,a+b=b+a (3) G中存在零元0，满足a+0=0+a=a，加法的单位元在环中称为零元 (4)每个元素存在负元(加法的逆元在环中称为负元)，aG存在-aG，a+(-a)=0,通常把a+(-b)记作a-b，称为减法。 (5)加法满足消去律，若a+b=a+c则b=c (6)因加法有结合律，有加法的指数律，对任意整数m,n (m+n)a=ma+na m(na)=mn(a) n(a+b)=na+nb环的基本性质（二）因乘法是半群(G,)(7) 乘法有结合律(8) 乘法对加法有分配律(9) a0=0,0a=0(10) (-a)b=-ab,a(-b)=-ab(11) (-a)(-b)=ab 乘法对减法成立分配律 a(b-c)=ab-ac,(b-c)a=ba-ca(13) 分配律推广到为 a(b1+b2+bn)=ab1+ab2+abn特殊的环1、交换环:如果环(G,+,)的乘法满足交换律,