数学建模下按年龄分组的种群增长

1、6.6 按年龄分组的种群增长6.1 投入产出模型6.4 市场经济中的蛛网模型第六章 代数方程和差分方程模型模型: 微分方程vs差分方程量x的变化依赖于x本身微分方程时间连续易于数学分析较理想化差分方程时间离散易于数值计算较具体化6.6 按年龄分组的种群增长 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同 建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律假设与建模 种群按年龄大小等分为n个年龄组，记i=1,2, , n 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2, 以雌性个体数量为对象 第i 年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi 第i 年龄组在1时段内的死亡率为di, 存活率为si=1- di假设与建

2、模xi(k)时段k第i 年龄组的种群数量按年龄组的分布向量预测任意时段种群按年龄组的分布Leslie矩阵(L矩阵)(设至少1个bi0)分析k稳态分布稳态分析的预备定理 L矩阵存在正单特征根1， 若L矩阵存在bi, bi+10, 则 P的第1列是x*特征向量, c是由bi, si, x(0)决定的常数 且证明思路L对角化或Jodan标准型稳态分析k充分大种群按年龄组的分布 种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布, 与初始分布无关。 各年龄组种群数量按同一倍数增减， 称固有增长率与基本模型比较3）=1时 各年龄组种群数量不变 1个个体在整个存活期内的繁殖数量为1稳态分析存活率 si是同一时段的

3、 xi+1与 xi之比（与si 的定义 比较） 3）=1时离散人口控制模型年龄分布向量=bi，bi=hi, hi=1 L= A+H， 控制平均生育率， hi生育模式与连续时间人口模型比较年龄分布向量人口密度函数r i, t kp(r,t)(的积分)xi(k) , (r) 1-sip0(r) xi(0)f(t) H解析解数值解分布参数控制多变量控制习题P214 ex9, ex10研究课题课题：给出Leslie模型定理1，定理2的证明方法：参考文献+高等代数2007CUMCM-A中国人口增长问题基本模型Malthus模型？Logistic模型？偏微分方程模型？Leslie差分方程模型？针对本问题怎

4、样选择和修改？数据的分析和使用？人口增长Leslie模型城市女性人口数：X(k)=Sf X(k-1)+Bf X(k-1)+ Mm(k)城市男性人口数Y(k)=Sm Y(k-1)+Bm X(k-1)+ Mf(k)迁移反映乡村人口城镇化出生性别比影响年龄分布向量人口增长微分方程模型迁移m(r,t)=kp(r,t)p(r,t)表示城镇人口密度函数(乡村类似)小结: 微分方程(差分方程)建模量x的变化依赖于x本身微分方程时间连续易于数学分析较理想化差分方程时间离散易于数值计算较具体化中国人口问题人口红利制造中国30年经济奇迹人口问题造成中国70年的贫穷30年计划生育政策的副作用少子化. 妇女总和生育率

5、的过快下降，明显低于正常的人口生育更替水平。在1995年前后我国0至14岁少儿人口绝对数达到了最高峰，大约为3.34亿人，2010年的时候减少到2.2亿人。 老龄化。根据联合国人口署的预测，到2020年我国60岁以上人口将占到总人口的16.7%，2050年将进一步上升到31.1%，大大高于届时的世界平均水平(21.9%)。 劳动人口缺乏. 15至59岁劳动人口大约在2015至2020年之间也会达到最高峰，大约9.23亿人，而后开始持续下降。到2050年，中国的15至59岁劳动年龄人口数大约要比印度少2.44亿人。计划生育新政策1980年，“一对夫妇只生一个孩子” 2011年，双独二孩2014年

6、，单独二孩2015年，全面二孩未来中国人口发展目标 1、保持少儿人口数量稳定的目标。少儿人口并不是减少越多、越快就越好，而是应该保持在一定规模上。2、保持劳动年龄人口稳定的目标。防止2020年之后的大幅度下降，特别是防止15-29岁青年型劳动人口的大幅度下降。3、保持总人口规模。防止2030年之后总人口规模的大幅度下降。中国人口大迁移：一场你死我活的城市战争2016年09月19日 中信建投地产报告回顾我国快速发展的30年，本质是人口红利加速释放的30年，城镇化率从80年代初不到20%的水平晋升至50%以上，带动了人口布局的重构，也推动了城市群发展以及房地产行业的需求释放。2016年09月19日

7、 凤凰财经综合 中国人口大迁移：一场你死我活的城市战争2016年09月19日 中信建投地产报告结论：人口迁徙是主导房地产市场的唯一要素。当前重点一二线城市人口依然存在相当规模的提升空间，人口迁移的趋势仍将继续，因此对于开发商而言，不应再为重点一二线城市的人口饱和度犹豫。中国人口大迁移：一场你死我活的城市战争2016年09月19日 中信建投地产报告 国民经济各个部门之间存在着相互依存和制约关系，每个部门将其他部门的产品或半成品经过加工（投入）变为自己的产品（产出）. 根据各部门间投入和产出的平衡关系，确定各部门的产出水平以满足社会的需求 . 20世纪30年代由美国经济学家列昂节夫提出和研究. 从

8、静态扩展到动态，与数量经济分析方法日益融合，应用领域不断扩大 .6.1 投入产出模型背景本节：建立静态投入产出数学模型，讨论具体应用. 列昂节夫 Leontief, 哈佛大学，纽约大学1973年Nobel经济学奖W. W. Leontief (19061999 ) was a Russian-American economist notable for his research on how changes in one economic sector may have an effect on other sectors. Leontief won the Nobel Memorial Pr

9、ize in Economic Sciences in 1973, and three of his doctoral students have also been awarded the prize (Paul Samuelson 1970, Robert Solow 1987, Vernon Smith 2002).投入产出表 产出投入农业工业建筑业运输邮电批零餐饮其他服务外部需求总产出农业464788229131271312842918工业499860514444035571223408316814建筑业593202312426912875运输邮电6252712816367146477

10、1570批零餐饮79749140431302739272341其他服务146128527222521954227255414初始投入1663485165970312183093总投入2918168142875157023415414中国2002年投入产出表（产值单位：亿元）行:供给；列：消耗 初始投入：工资、税收、进口等外部需求：消费、积累、出口等直接消耗系数表 消耗供给农业工业建筑业运输邮电批零餐饮其他服务农业0.1590.0470.0800.0080.0540.002工业0.1710.5120.5020.2570.2380.226建筑业0.0020.0010.0010.0130.0100.

11、023运输邮电0.0210.0310.0450.1040.0290.027批零餐饮0.0270.0450.0490.0270.0560.050其他服务0.0500.0760.0950.1430.0940.100一个部门的单位产出对各个部门的直接消耗 由投入产出表直接得到 农业每1亿元产出直接消耗464/2918 =0.159亿元农业产品 直接消耗499/2918 =0.171亿元工业产品 直接消耗系数=各列/本列总投入 注意：总投入=总产出 投入产出平衡数学模型 xi第i部门的总产出di对第i部门的外部需求xij第i部门对第j部门的供给aij直接消耗系数第j部门单位产出对第i部门的消耗 xij

12、第j部门总产出对第i部门的消耗设共有n个部门若技术水平没有明显变化模型应用 直接消耗系数不变 问题1 如果某年对农业、工业、建筑业、运输邮电、批零餐饮和其他服务的外部需求分别为1500, 4200, 3000, 500, 950, 3000亿元, 问这6个部门的总产出分别应为多少？d=(1500, 4200, 3000, 500, 950, 3000)T A由直接消耗系数表给出6个部门的总产出 x=(3277, 17872, 3210, 1672, 2478, 5888)（亿元）.求解模型应用 总产出对外部需求线性dd增加1个单位 x的增量若农业的外部需求增加1单位 x为 的第1列 6个部门的

13、总产出分别增加1.2266，0.5624，0.0075，0.0549，0.0709，0.1325单位. 问题2 如果6个部门的外部需求分别增加1个单位, 问它们的总产出应分别增加多少？（敏感性分析）求解其余外部需求增加1单位 x为 的其余各列 补充习题（经济预测）在某经济年度内，各经济部门的投入产出表如下表（单位：亿元）消耗部门最后需求总产值工 业农 业第三产业生产部门工 业6211625农 业2.2510.21.555第三产业30.21.81520假设下年度工业，农业及第三产业的最后需求均为17亿元，预测该经济年度工业，农业及第三产业的产出（提示：对于一个特定的经济系统而言，直接消耗矩阵可视

14、作不变）。 产品市场价格6.4 市场经济中的蛛网模型问 题供大于求现象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求描述商品数量与价格的变化规律数量与价格振荡蛛 网 模 型gx0y0P0fxy0 xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格消费者的需求关系生产者的供应关系减函数增函数供应函数需求函数f与g的交点P0(x0,y0) 平衡点一旦xk=x0，则yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 曲线斜率绝对值量价0fgy0 x0P0设x1偏离x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0

15、是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点xy0y0 x0P0fg蛛 网 模 型参考 在P0点附近用直线近似曲线P0稳定P0不稳定方 程 模 型方程模型与蛛网模型的一致 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量考察 , 的含义 消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度小, 有利于经济稳定 小, 有利于经济稳定结果解释xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格经济稳定结果解释经济不稳定时政府的干预办法1. 使 尽量小，如 0 以行政手段控制价格不变2. 使 尽量小，如 0靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0 x0gf模型应用需求曲线变为水平供应曲

16、线变为竖直国有企业的功用(如中石油中石化)如限价房。模型的推广 生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。生产者管理水平提高设供应函数为需求函数不变二阶线性常系数差分方程x0为平衡点研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件齐次线性差分方程的解(n=2)齐次线性差分方程的通解不相等实数根场合有相等实根场合1= d复根场合1=a+bi=rei, 2=a-bi=re-i非齐次线性差分方程的解非齐次线性差分方程的特解使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解非齐次线性差分方程的通解齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的特解之和1, 2特征根，即方程 的根 平衡点稳定，即k, xkx0的条件:平衡点稳定条件比原来的条件 放宽了模型的推广通胀预期下的市场稳定性 (数学04级学生毕业论文)模型 yk=f(xk)，xk+1=g(2yk-yk-1) 线性化yk-y0=-(xk-x0), 0 xk+1= (2yk-yk-1)-y0, 0稳定性条件(可以证明)0为价格调节系数当xk=zk退化为均衡供求关系