浅谈离散数学中数理逻辑与集合论的数学本质

1、浅谈离散数学中数理逻辑与集合论的数学本质浅谈离散数学中数理逻辑与集合论的数学本质离散数学本质上是一门数学课程，是学生数学知识构造和数学素质的重要组成部分。数学这门学科体系虽然很庞大，但大致可分为连续型、离散型和随机型这三大类。在大多数的理工科专业的课程设计中，数学类课程通常包括：高等数学、线性代数、离散数学、概率论与数理统计等。高等数学能提供处理连续型的数学问题需要的数学工具；线性代数与离散数学那么提供处理离散型数学问题的数学工具；而概率与统计那么提供处理随机型数学问题的数学工具。正如徐洁磐在文中指出的：作为计算机学科工具，离散建模是离散数学区别高等数学的根本之处，也是离散数学与计算机严密关联

2、之处，也是使离散数学成为计算机专业核心课程的原因之一。从学生角度看，离散数学具有抽象、概念多、知识点零散等特点，在学习中容易遇到困难，极大地影响了他们学习的积极性。本文讨论离散数学中的数学本质，目的是理顺这些概念和知识点的关系，进而到达解决学生学习困难的目的。离散数学的内容主要包括数理逻辑、集合论、代数构造和图论四部分，其中集合论部分起着承前启后的作用。数理逻辑和集合论这两部分内容假设能处理得好，对整个课程的教学就会起到至关重要的作用。已有部分研究论文对数理逻辑和集合论的教学进展研讨，本文就数理逻辑与集合论的教学内容进展深化分析，弄清它们的数学本质和互相联络，理清教学思路。教学理论说明，这些教

3、学分析能使教师在讲授过程中教学内容主线明晰、教学目的明确，进而有效进步教学质量和学生的数学素质。一、数理逻辑部分的数学本质其一，命题逻本文由论文联盟.Ll.搜集整理辑部分的数学本质是逻辑数学化。在教学过程中，在引入命题逻辑的教学之前，可以让学生比较人与计算机各自的长处。大部分学生都能得出这样的结论：人长于智能而计算机长于计算。那么，要让计算机增长智能，主要方向就是把智能计算化：把通过智能考虑的问题转化为通过计算进展断定的问题。而智能的根底是逻辑推理，于是智能计算化首先就是要逻辑数学化。因此，数理逻辑是计算机的人工智能重要的根底之一。离散数学中命题逻辑这部分内容的数学本质是逻辑数学化，或者详细地

4、说是逻辑代数化。代数方法的根本要素是对象和运算，代数化的根本过程形式是：符号化对象、运算、运算律、演算、标准型、应用。这种思想方法只要提醒学生回忆在中学学过的代数内容就能很快承受。再看命题逻辑这部分的教学内容，根本就是按照这样的形式展开的：命题符号化对象、逻辑运算联结词、运算律根本等值式、等值演算、标准型范式、应用解断定问题、证明等值式、实际应用、推理理论等。因此，命题逻辑这部分内容的知识点并不零散，贯穿着代数化这条主线。教学理论说明，通过逻辑代数化这个主线串联命题逻辑这部分主要内容，教学目的明晰，能得到很好的教学效果；同时学生还能从中学习领会代数化的思想方法，进步了他们的数学素质和应用数学解

5、决实际问题的才能。在命题逻辑的教学过程中，除了强调代数化的思想方法，还必须强调标准型范式是这部分的核心内容。一方面范式是等值演算的终极目的，另一方面范式是介于命题公式和真值表之间的桥梁，因此有着极高的理论与应用价值。其二，谓词逻辑部分的数学本质是引入变量与函数的思想。从数学本质上看，谓词逻辑就是把变量与函数的思想引入逻辑。在这样的视觉下，那些根本概念就变得很明晰：个体变项是变量、谓词是函数、个体域是定义域、属性谓词是一元函数、关系谓词是多元函数.。然后再一次进展代数化过程：符号化谓词、运算联结词、运算律主要增加了量词等值式、等值演算、标准型前束范式、应用断定问题、证明等值式、实际应用、谓词逻辑

6、推理理论等。当然，谓词逻辑内容远比命题逻辑深化和复杂，在本科的离散数学中，这部分内容只能算是谓词逻辑的根底了。二、集合论部分的数学本质通常离散数学中集合论部分也包含两章：集合论根本概念、二元关系与函数。由于中学阶段已经有集合论的简单内容，所以这部分内容学生并不会觉得陌生。集合论是整个数学的基石，几乎所有的数学概念都能用集合论语言表达，数学在集合论根底上形成了一个独立的科学体系。实际上从集合和二元关系这部分内容根本上也可以看出数学这个科学体系的构建过程。首先集合论这章内容也是一个代数化的过程：对象集合、运算集合运算、运算律集合恒等式、演算、应用计数、证明恒等式、实际应用等。这里缺少了一块标准型，

7、实际上集合的演算也是可以有标准型的，只是这里的标准型没有逻辑演算的范式那么重要而已。从内容与构造都可以看出，集合论与命题逻辑这两部分内容有很大的相似性，这会在后文进展讨论。有了集合这个根本语言，就可定义二元关系。接着是关系的运算与运算性质这部分又是代数化方法。然后是三种特殊的关系：等价关系、偏序关系与函数。等价关系的意义在于分类，这既是数学的根本思想方法之一，也是数据挖掘的常见任务；而偏序关系的意义在于排序，这是计算机算法中最根本的研究对象。有了函数的定义，分析学可以就此展开；而用函数定义二元运算后，于是代数学的根底有了。有了分析学、代数学，数学这个科学体系的根本框架也就根本搭建好了。集合论是

8、数学之本。从集合到关系、再到函数与运算，构建了数学学科基矗这就是集合论这部分的数学本质。弄清楚这些，教师就能做到胸中有数、总揽全局。而给学生介绍这些数学本质，学生也能初步理解这部分内容的构造、意义和价值，对这部分内容的学习和掌握是有很大帮助的。而且经过这两个部分的学习，学生逐步熟悉和掌握代数的思想和方法，对后续抽象代数部分的学习在心理上和知识上都有了一定的准备。三、数理逻辑与集合论根本内容的内在联络前文提到，命题逻辑和集合论这两部分内容有很大的相似性。详细地说，这两部分的运算与运算律具有很强的对应关系。比方，逻辑运算？劭，与集合运算，之间的一一对应关系。大多数教师都能认识这点并在教学中加以利用

9、。例如，在讲授逻辑运算的运算律时提醒学生注意观察逻辑运算的运算律与集合运算的运算律之间的对应关系，这有助于学生理解并掌握逻辑运算的运算律。有的离散数学的教材也把集合论这部分内容放在数理逻辑之前，这样做虽然破坏了逻辑-集合-代数这样的连接性，但从学生有初步认知的集合论开始，然后再利用集合论与命题逻辑在内容上的相似性辅助逻辑部分的教学，也是有其可取之处的。实际上，用命题逻辑的工具可以推导出集合运算及其一些运算律：给定集合A和B，假设全集是E。对于任意给定的元素xE，用p表示命题xA，q表示命题xB，那么命题公式？劭p表示的命题是xA、pq表示xA、pq表示xAB。这就是逻辑运算与集合运算的对应与转换关系。进一步地，永真式重言式1表示xE、永假式矛盾式0表示x，那么从命题逻辑的一些根本等值式就能直接推导出集合论中的一些根本恒等式如结合律、交换律、分配律、德摩根律等。当然，要更深化地讨论集合论的恒等式和逻辑运算的等值式之间的关系，需要用到谓词逻辑工具，不过这已超出了教学研究范畴，因此本文不在此进一步展开阐述，有兴趣的读者可自行探究。四、结语笔者认为，强调离散数学在计算机科学领域的应用是必要的，有助于进步学