高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式学案新人教A版必修4

1、高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式学案新人教A版必修41学习目标导航I1,能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.（重点）2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明 .（难点）3,熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.（易错点）阶段1阶段1认知预习质疑基础初探教材整理二倍角的正弦、余弦、正切公式阅读教材Pl32R33例5以上内容，完成下列问题.二倍角的正弦、余弦、正切公式记法公式S2sin 2 a = 2sin a COS aGCOS 2 a = cos a sin a丁2“2tan atan 2 a=-1 tan a2,余弦的二

2、倍角公式的变形（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角(1)sin a cos.()3,正弦的二倍角公式的变形a =；sin 2 a , cos a =|in-2吆22sin a(2)存在角 a ,使得sin 2 a = 2sin a成立.()（3）对于任意的角a , COS 2 a = 2cos a都不成立.（【解析】（1） x ,二倍角的正弦、 余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式,要求7t卜 kjt ( ke Z)且7t卜kjt ( ke Z),故此说法错误(2)，.当 a=kTt(kC Z)时，sin 2 a=2

3、sin a.(3) x.当 cos a = -时，cos 2 a = 2COS a .【答案】(1) x (2) V (3) X2.已知 cos a =,则 cos 2 OC 等于.3【解析】由 cos a【解析】由 cos a,得 cos 2 a = 2cos 2 a - 1 = 2 X 39-【答案】阶段2合作探究通关阶段2合作探究通关【介维修论疑难触觉小组合作型利用二倍角公式化简三角函数式化简求值.利用二倍角公式化简三角函数式化简求值.(1)cos 4 -2-sin 4 -2;/c， 兀兀兀sin24 cos 24 cos T2;(3)1 2sin 2 750 ;2-(4)tan 150

4、1 3tan 150(4)tan 1502tan 150 【精彩点拨】灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得【自主解答】(1)cos 4 y-sin4 2=cos=cos2 sin 22cos2 + sin 2 - 22=cos a .一 ，、1 c . 兀兀兀(2)原式=2 2sin 24cos 24 - cos =1sin cos =1 2sin cos 21212 41212= 4sin T=1.1，原式=.8(3)原式=cos(2 X750。)=cos 1 500 1=cos(4 x 360 +60 ) = cos 60 = 2(4)原式=2tan 2150 + 1 3ta

5、n (4)原式=2tan 150 TOC o 1-5 h z 1 - tan 2 15012tan 150=tan2X15011tan 300 =tan360 601；3c= 一tan 603 .，原式=专.二倍角公式的灵活运用:(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现2sin a cos a = sin 2 a , sin1 .c cos a = 2sin 2 a ,cosa =sin_2, cos(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现2sin a cos a = sin 2 a , sin1 .c cos a = 2sin 2 a ,c

6、osa =sin_2, cos2 oc - sin 2 a = cos 2 a ,2tan 2a = tan 22sin a1 tan a(2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通,式.主要形式有:1 sin 2 a = sin 2 a + cos2 a 2sin a cos a = (sina cos a )2,.主要形式有：a .有目的地活用公21 + cos 2 a = 2cos21 21 + cos 2 aa , cos a =2，.21 cos 2 asin a =2再练一题1.求下列各式的值:(1)sin兀-cos12(1)sin兀-cos12兀12；2tan

7、 150 1tan 2150 ；1 乖 sin 10 cos 10 (4)cos 20 cos 40 cos 80兀兀兀2sin 12cos 12 sin -6 1【解】(1)原式=2=-2=(2)原式2tan 150 1tan 2150 ；1 乖 sin 10 cos 10 (4)cos 20 cos 40 cos 80兀兀兀2sin 12cos 12 sin -6 1【解】(1)原式=2=-2=(2)原式=tan(2 X150 ) =tan 300 =tan(360 -60 )=一 tan 60= q3.(3)原式=cos 10 - q3sin 10 sin 10 cos 10 -1o ,

8、32 2os 10 一 sin 10 sin 10 cos 10 4 sin 30 cos 10 cos 30 sin 102sin 10 cos 104sin 20sin 20=4.(4)原式=2sin 20- cos 20- cos 40- cos 802sin 40cos 404sin 202sin 80- cos 808sin 202sin 20- cos 80sin 1608sin 20利用二倍角公式解决求值问题(1)已知 sin a = 3cos a ,那么tan 2 a的值为(A.2B. 23C.43 D.-4(2)已知sin 康+ a =；，则 cos - 63a的值等于(A.

9、 91B.37C. 一1B.37C. 一9(3)已知cos a = , sin 3 =, a是第三象限角，B C3，兀432求sin 2 a的值；求 cos(2 a+ B)的值.【精彩点拨】(1)可先求tan a ,再求tan 2 a ;(2)可利用 -Tt 2a = 2 a 及-;7 a = a 求值；33326可先求sin 2 a , cos 2 a ,cos 3 ,再利用两角和的余弦公式求cos(2 a + (3 ).【自主解答】(1)因为 sin a=3cos a ,所以tan a=3,所以tan 2民2tan2X31 tan13 可先求sin 2 a , cos 2 a ,cos 3

10、 ,再利用两角和的余弦公式求cos(2 a + (3 ).【自主解答】(1)因为 sin a=3cos a ,所以tan a=3,所以tan 2民2tan2X31 tan13 34.(2)因为cos7t3=sin7t27t3兀=sin -+ a13,所以cos2 a = 2cos 37t31=2X 32T = -9.D(2)C(3)因为a是第三象限角,cos34所以sina = 1 cos2所以sin 2a = 2sina cos=2X337 48 .因为3兀e 2，兀所以cos3 = d sin 2111 =-1 89a 1 = 2X a 16所以 cos(2 a +) ) = cos 2

11、a cos (3 sin 21s sin (3 = o x8,153 ； 72*3 =24名师直接应用二倍角公式求值的三种类型sina (或cos a)同角三角5勺关系COS a (或sin a )“sin 2 a (或cos2 a).(2)sin(或 cos)i式 cos 2-12sin2(或(2)sin(或 cos)i式 cos 2-12sin2(或 2cos 2a 1).(3)sin(或 cos、同角三角函数的关系),cos或 sin atan二San 2 a.再练一题兀2.(1)已知a CW,7t(2)已知兀2.(1)已知a CW,7t(2)已知兀sin + asin7t兀2，兀a的值

12、.【导学号:70512043】【解析】(1)因为7tcos a芈，所以sin 25=2sin 【解析】(1)因为7tcos a芈，所以sin 25=2sin a cosa = 2X2,. 554cos 2a = 1 2sin52 a =1-2x 乎 2 = 5, tan 2sin 2 acos 2 a(2)因为sin7t=sin7t则已知条件可化为兀sin 7(2)因为sin7t=sin7t则已知条件可化为兀sin 7+cos16,n1 .八兀即 2sin 2 4 + a16所以 sin -2- + 2 a =1, 23所以cos 2 a = .因为a C 兀,所以2 a C (兀，2兀)，

13、32从而sin 2a = 4 一 cos2从而sin 2所以tan 2sin 2 a j- 所以tan 2sin 2 a j- a=coZT故 tan 4 a2tan 2 风1tan 22” =一匚4. 22 一 7 .(2)法一：左边=2cos (2)法一：左边=2cos 0sin 2 0 1cosi=cos2 0 sin 2 0=cos 2 9 =右边.* M3利用二倍角公式证明卜例国 求证：(1)cos = 2(cos 2Acos 2B sin 2Asin 2B+= 2(cos 2Acos 2B sin 2Asin 2B+cos 2Acos 2 B+ sin 2Asin2B)=cos 2

14、 Acos 2 B=右边,，等式成立.(2)cos 2 0 (1 tan 2 0 ) = cos 2 0 .【精彩点拨】(1)可考虑从左向右证的思路：先把左边降哥扩角，再用余弦的和、差角公式转化为右边形式.(2)证法一：从左向右：切化弦降哥扩角化为右边形式;证法二：从右向左：利用余弦二倍角公式升哥后向左边形式转化【自主解答】1 + cos2A+ 2B1 - cos 2A 2Bcos 2A+ 2B + cos 2A 2B法二： 右边= cos 2 0= cos2 0 sin 2 0=cos2 0 1 -: = cos2 0 (1 tan 2 0 )=左边. cos t)证明问题的原则及一般步骤:

15、1观察式子两端的结构形式,般是从复杂到简单， 如果两端都比较复杂，1观察式子两端的结构形式,都化简，即采用“两头凑”的思想2证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目 的.再练一题3.证明:1+sin 2 aZ 22cos a+ sin 2 a1= tan13.证明:1+sin 2 aZ 22cos a+ sin 2 a1= tan1a +2.【导学号：00680072】【证明】左边=sin 2 a + cos2 a+ 2sin a cos a2sin a + cos a7；22cos

16、a + 2sin a cos a2cos a sin a + cossin a + cos a 1sin a + cos a 1o= /an2cos a 2+2=右边.所以1 + sin 2 a22cosoc + sin 2 a所以1 + sin 2 a22cosoc + sin 2 a+1=2tan a探究共研型倍角公式的灵活运用探究1请利用倍角公式化简:探究1请利用倍角公式化简:寸2 + 42+2cos a (2 兀 a 3兀).提示. a 3 tt 兀 a 3 ttT_2_,万/3cos2x+q3sin 2x 4sin xcos x, xC j -4 倒求其单调减区间【精彩点拨】化简f

17、x 的解析式一 f x= Asincox + 6+B一 3 x + 6的范围一求最小值，单调减区间1 1 + cos 2 x 1 1 cos 2 x【自主解答】f (x) = 543 2+ V3 2=3m + 243cos 2 x- 2sin 2 x= 3 + 4 申cos 2 x 2sin 2 x= 33 + 4 sin7t7t= 33 + 4 sin7t7tcos 2 x cos sin 2 x= 343 + 4sin7tl= 343 + 4sin7tl兀3 2x = 3y 3 - 4sin 2x 3-.7t兀 .sin2x 3兀，当 兀，当 2x-37t7,即 x=W4 时，f(x)取最

18、小值为 3J32，2.兀兀 7兀y= sin 2x- 在 1, 五 上单调递增,1 f (x)在4-, -4上单调递减.名师I，11本题考查二倍角公式，辅助角公式及三角函数的性质.解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如 y=Asin3x+()的形式，再利用函数图象解决问题4.求函数 4.求函数 y = sin 4x+23sinxcos x - cos4 x的最小正周期和最小值，并写出该函数在0,兀上的单调递减区间.【解】y= sin 4x+ 2sin【解】y= sin 4x+ 2sinxcos x cos 4x=(sin 2x + cos 2x)(sin2xcos2x) + 23sin xcos x=2 事in 2 x-7t-cos 2 x =2sin 2x-, 26所以 T=兀,ymin = 2.7t7t由7t7