2022版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第17讲定积分与微积分基本定理精选教案理

1、2021版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第17讲定积分与微积分基本定理精选教案理PAGE PAGE 27第17讲定积分与微积分基本定理考纲要求考情分析命题趋势1了解定积分的实际背景、基本思想及概念2了解微积分基本定理的含义.2015天津卷，112015湖南卷，112015陕西卷，16定积分与微积分基本定理难度不大，常常考查定积分的计算和求曲边梯形的面积.分值：5分1定积分的定义及相关概念一般地，如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0 x1xi1xixnb，将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，作和式eq isu(i1,n,f)(

2、i)xeq isu(i1,n, )eq f(ba,n)f(i)，当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作eq iin(a,b,)f(x)dx.在eq iin(a,b,)f(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间_a，b_叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做_积分变量_，_f(x)dx_叫做被积式2定积分的几何意义f(x)eq iin(a,b,)f(x)dx的几何意义f(x)0表示由直线_xa_，_xb(ab)_，y0及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积f(x)0表示由直线_xa_，_xb(ab)_，y0及曲线yf(x)所围成

3、的曲边梯形的面积的相反数f(x)在a，b上有正有负表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积3微积分的性质(1)eq iin(a,b,)kf(x)dx_keq iin(a,b,)f(x)dx_(k为常数)；(2)eq iin(a,b,)f1(x)f2(x)dx_eq iin(a,b,)f1(x)dxeq iin(a,b,)f2(x)dx_；(3)_eq iin(a,b,)f(x)dx_eq iin(a,c,)f(x)dxeq iin(c,b,)f(x)dx(其中acb)4微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么eq iin(a

4、,b,)f(x)dx_F(b)F(a)_，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式5定积分与曲边梯形面积的关系设阴影部分的面积为S.(1)Seq iin(a,b,)f(x)dx；(2)S_eq iin(a,b,)f(x)dx_；(3)S_eq iin(a,c,)f(x)dxeq iin(c,b,)f(x)dx_；(4)Seq iin(a,b,)f(x)dxeq iin(a,b,)g(x)dxeq iin(a,b,)f(x)g(x)dx.6定积分与变速直线运动的路程及变力做功间的关系(1)s_eq iin(a,b,)v(t)dt_；(2)W_eq iin(a,b,)F(s)ds_.7奇

5、偶函数定积分的两个重要结论设函数f(x)在闭区间a，a上连续，则有(1)若f(x)是偶函数，则eq iin(a,a,)f(x)dx2eq iin(,a,)0f(x)dx；(2)若f(x)是奇函数，则eq iin(a,a,)f(x)dx0.1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)设函数yf(x)在区间a，b上连续，则eq iin(a,b,)f(x)dxeq iin(a,b,)f(t)dt.()(2)定积分一定是曲边梯形的面积()(3)若eq iin(a,b,)f(x)dx0，那么由yf(x)，xa，xb以及x轴所围成的图形一定在x轴下方()解析(1)正确定积分与被积函数、积分上限和积分下限有关，

6、与积分变量用什么字母表示无关(2)错误不一定是，要结合具体图形来定(3)错误也有可能是在x轴上方部分的面积小于在x轴下方部分的面积2若s1eq iin(1,2,)x2dx，s2eq iin(1,2,)eq f(1,x)dx，s3eq iin(1,2,)exdx，则s1，s2，s3的大小关系为(B)As1s2s3Bs2s1s3Cs2s3s1Ds3s2s1解析因为s1eq f(1,3)x3|eq oal(2,1)eq f(1,3)(2313)eq f(7,3)3，s2ln x|eq oal(2,1)ln 2ln 1ln 23，所以s2s11，若eq iin(1,t,)(2x1)dxt2，则t_2_

7、.,解析eq iin(1,t,)(2x1)dx(x2x)|eq oal(t,1)t2t2从而得方程t2t2t2，解得t2.5汽车以36 km/h的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以减速度a2 m/s2刹车，则从开始刹车到停车，汽车走的距离是_25_m.,解析t0时，v036 km/h10 m/s，刹车后，汽车减速行驶，速度为v(t)v0at102t，由v(t)0得t5 s，所以从刹车到停车，汽车所走过的路程为eq iin(0,5,)v(t)dteq iin(0,5,)(102t)dt(10tt2)|eq oal(5,0)25(m),一定积分的计算,计算定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函

8、数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积或和或差(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为初等函数的定积分(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值(5)计算原始定积分的值【例1】 计算下列定积分(1)eq iin(0,1,)(x22x)dx；(2)eq iin(0,)(sin xcos x)dx；(3)eq iin(1,2,)eq blc(rc)(avs4alco1(e2xf(1,x)dx；(4)eq f(,2)0eq r(1sin 2x) dx.解析(1)eq iin(0,1,)(x22x)dxeq iin(0,1,)(x2)dxeq iin(0

9、,1,)2x dxeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)x3)|eq oal(1,0)(x2)|eq oal(1,0)eq f(1,3)1eq f(2,3).(2)eq iin(0,)(sin xcos x)dxeq iin(0,)sin x dxeq iin(0,)cos x dx,(cos x)|eq oal(,0)sin x|eq oal(,0)2.(3)eq iin(1,2,)eq blc(rc)(avs4alco1(e2xf(1,x)dxeq iin(1,2,)e2xdxeq iin(1,2,)eq f(1,x)dxeq f(1,2)e2xeq oal(2,1)ln

10、x|eq oal(2,1),eq f(1,2)e4eq f(1,2)e2ln 2ln 1eq f(1,2)e4eq f(1,2)e2ln 2.(4) eq avs4al(iin(0,f(,2),)eq r(1sin 2x) dxeq avs4al(iin(0,f(,2),)|sin xcos x|dx,eq avs4al(iin(0,f(,4),) (cos xsin x)dxeq avs4al(iin(f(,4),f(,2),) (sin xcos x)dx,(sin xcos x)eq blc|rc (avs0alco1(f(,4),0)(cos xsin x)eq blc|rc (avs

11、0alco1(f(,2),f(,4),eq r(2)1(1eq r(2)2eq r(2)2.二定积分几何意义的应用, (1)利用定积分求平面图形面积的步骤：根据题意画出图形；借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定定积分的上、下限；把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；计算定积分，写出答案(2)根据平面图形的面积求参数的方法：先利用定积分求出平面图形的面积，再根据条件构造方程(不等式)求解【例2】 (1)由曲线yeq r(x)，直线yx2及y轴所围成的图形的面积为(C)Aeq f(10,3)B4Ceq f(16,3)D6(2)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛

12、物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为_12_.解析(1)作出曲线yeq r(x)和直线yx2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积,由eq blcrc (avs4alco1(yr(x)，,yx2)得交点A(4,2)因此yeq r(x)与yx2及y轴所围成的图形的面积为eq iin(0,4,)eq r(x)(x2)dxeq iin(0,4,)(eq r(x)x2)dxeq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)xf(3,2)f(1,2)x22x)eq oal(4,0)eq f(2,3)8eq f(1,2)1624eq f(16,3).,(2)建立如图所示

13、的平面直角坐标系由抛物线过点(0，2)，(5,0)，(5,0)，得抛物线的函数表达式为yeq f(2,25)x22，抛物线与x轴围成的面积S1eq avs4al(iin(5,5,)eq blc(rc)(avs4alco1(2f(2,25)x2)dxeq f(40,3)，梯形面积S2eq f(6102,2)16，最大流量比为S2S165.三定积分在物理中的应用定积分在物理中的两个应用(1)求变速直线运动的路程：如果变速直线运动物体的速度为vv(t)，那么从时刻ta到tb所经过的路程seq iin(a,b,)v(t)dt.(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同的方向从xa

14、移动到xb时，力F(x)所做的功是Weq iin(a,b,)F(x)dx.【例3】 (1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73teq f(25,1t)(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车行驶的距离(单位：m)是(C)A125ln 5B825ln eq f(11,3)C425ln 5D450ln 2(2)一物体在力F(x)eq blcrc (avs4alco1(5，0 x2，,3x4，x2)(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x0处运动到x4(单位：m)处，则力F(x)做的功为_36_J.解析(1)由v(t)73teq f(25,1t)0

15、，可得t4eq blc(rc)(avs4alco1(tf(8,3)舍去)，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s，此期间行驶的距离为eq iin(0,4,)v(t)dteq iin(0,4,)eq blc(rc)(avs4alco1(73tf(25,1t)dteq blcrc(avs4alco1(7tf(3,2)t225ln1t)|eq oal(4,0),425ln 5 (m),(2)由题意知，力F(x)所做的功为,Weq iin(0,4,)F(x)dxeq iin(0,2,)5 dxeq iin(2,4,)(3x4)dx52eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)x24x)eq

16、oal(4,2),10eq blcrc(avs4alco1(f(3,2)4244blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)2242)36 J.1定积分eq iin(0,1,)eq r(x2x) dx的值为(A)Aeq f(,4)Beq f(,2)CD2解析令yeq r(x2x)，则(x1)2y21(y0)，由定积分的几何意义知，eq iin(0,1,)eq r(x2x)dx的值为区域eq blcrc (avs4alco1(x12y21y0，,0 x1)的面积，即为eq f(,4).2计算：eq iin(3,3,) (x3cos x)dx_0_.解析yx3cos x为奇函数，eq iin(

17、3,3,) (x3cos x)dx0.3如图，由两条曲线yx2，yeq f(1,4)x2及直线y1所围成的平面图形的面积为！eq f(4,3)#.解析由eq blcrc (avs4alco1(yx2，,y1，)得交点A(1，1)，B(1，1)由eq blcrc (avs4alco1(yf(1,4)x2，,y1，)得交点C(2，1)，D(2，1)所以所求面积S2eq blcrc(avs4alco1(iin(0,1,)blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)x2x2)dxiin(1,2,)blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)x21)dx)eq f(4,3).4如图，圆O：x2y

18、22内的正弦曲线ysin x与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，随机向圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率为！eq f(4,3)#.解析阴影部分的面积为2eq iin(0,)sin x dx2(cos x)|eq oal(,0)4，圆的面积为3，所以点A落在区域M内的概率是eq f(4,3).易错点定积分的几何意义不明确错因分析：eq iin(a,b,)f(x)dx不一定表示面积，也可能是面积的相反数，它可正，可负，也可为零【例1】 求曲线f(x)sin x，xeq blcrc(avs4alco1(0，f(5,4)与x轴围成的图形的面积解析当x0，时，f(x)0，当xeq blc(r

19、c(avs4alco1(，f(5,4)时，f(x)0.则所求面积Seq iin(0,)sin x dxeq blc(rc)(avs4alco1(f(5,4)sin x dx)cos xeq blc|rc|(avs4alco1(oal(,0)cos x)eq f(5,4)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)1)3eq f(r(2),2).【跟踪训练1】 (2018山东淄博一模)如图所示，曲线yx21，x2，x0，y0围成的阴影部分的面积为(A)Aeq iin(0,2,)|x21|dxBeq blc|rc|(avs4alco1(iin(0,2,)x21dx)Ceq iin

20、(0,2,)(x21)dxDeq iin(0,1,)(x21)dxeq iin(1,2,)(1x2)dx解析由曲线y|x21|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即eq iin(0,2,)|x21|dx.课时达标第17讲解密考纲本考点主要考查利用微积分基本定理以及积分的性质求定积分、曲边梯形的面积，常与导数、概率相结合命题，通常以选择题的形式呈现，题目难度中等一、选择题1eq iin(0,1,)exdx的值等于(C)AeB1eCe1Deq f(1,2)(e1)解析eq iin(0,1,)exdxex|eq oal(1,0)e1e0e1，故选C2eq iin(1,e,)eq bl

21、c(rc)(avs4alco1(2xf(1,x)dx(C)Ae22Be1Ce2De1解析eq iin(1,e,)eq blc(rc)(avs4alco1(2xf(1,x)dx(x2ln x)|eq oal(e,1)e2.故选C3求曲线yx2与直线yx所围成图形的面积，其中正确的是(A)ASeq iin(0,1,)(xx2)dxBSeq iin(0,1,)(x2x)dxCSeq iin(0,1,)(y2y)dyDSeq iin(0,1,)(yeq r(y)dy解析由图象可得Seq iin(0,1,)(xx2)dx.第3题图第4题图4曲线yeq f(2,x)与直线yx1及直线x4所围成的封闭图形的

22、面积为(D)A2ln 2B2ln 2C4ln 2D42ln 2解析由曲线yeq f(2,x)与直线yx1及x4所围成的封闭图形，如图中阴影部分所示，故所求图形的面积为Seq iin(2,4,)eq blc(rc)(avs4alco1(x1f(2,x)dx(eq f(1,2)x2x2ln x)|eq oal(4,2)42ln 2.5设f(x)eq blcrc (avs4alco1(x2，x0，1，,f(1,x)，x1，e)(其中e为自然对数的底数)，则eq iin(0,e,)f(x)dx的值为(A)Aeq f(4,3)Beq f(1,)Ceq f(1,2)Deq f(2,)解析eq iin(0,

23、e,)f(x)dxeq iin(0,1,)x2dxeq iin(1,e,)eq f(1,x) dxeq f(1,3)x3|eq oal(1,0)ln x|eq oal(e,1)eq f(1,3)1eq f(4,3)，故选A6如图，设D是图中所示的矩形区域，E是D内函数ycos x图象上方的点构成的区域(阴影部分)，向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为(D)Aeq f(2,)Beq f(1,)Ceq f(1,2)Deq f(2,)解析因为eq avs4al(iin(0,f(,2),)cos x dxsin xeq blc|rc (avs4alco1(f(,2),0)1故所求概率为eq f(1

24、2,)eq f(2,).二、填空题7eq avs4al(iin(0,f(,2),) (cos xsin x)dx_0_.解析eq avs4al(iin(0,f(,2),) (cos xsin x)dx(sin xcos x) eq blc|rc (avs4alco1(f(,2),0)0.8若函数f(x)xeq f(1,x)，则eq iin(1,e,)f(x)dx！eq f(e21,2)#.解析eq iin(1,e,)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x)dxeq blc(rc)(avs4alco1(f(x2,2)ln x)|eq oal(e,1)eq f(e21,2).9由曲

25、线ysin x，ycos x与直线x0，xeq f(,2)所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是！2eq r(2)2#.解析由图可得阴影部分面积S2eq avs4al(iin(0,f(,4),)(cos xsin x)dx2(sin xcos x) eq blc|rc (avs2alco1(f(,4),0)2(eq r(2)1)三、解答题10.求下列定积分,(1)eq iin(1,2,)eq blc(rc)(avs4alco1(xx2f(1,x)dx；(2)eq iin(,0,)(cos xex)dx.解析(1)eq iin(1,2,)eq blc(rc)(avs4alco1(xx2f(1

26、,x)dxeq iin(1,2,)x dxeq iin(1,2,)x2dxeq iin(1,2,)eq f(1,x) dxeq f(x2,2)eq oal(2,1)eq f(x3,3)eq oal(2,1)ln x|eq oal(2,1)eq f(3,2)eq f(7,3)ln 2ln 2eq f(5,6).(2) eq avs4al(iin(,0,) (cos xex)dxeq avs4al(iin(,0,)cos xdxeq avs4al(iin(,0,)exdxsin x|eq oal(0,)ex|eq oal(0,)1eq f(1,e).11已知函数f(x)x3x2x1，求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)x2围成的图形的面积解