函数及其表示 高考数学专题复习要点及习题解答

1、函数及其表示1函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系F：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法yf(x)，xA对应f：AB是一个映射2函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合

2、f(x)|xA叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法3分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数小题体验1下列函数中，与函数yeq f(1,r(3,x)定义域相同的函数为()Ayeq f(1,sin x)Byeq f(ln x,x)Cyxex Dyeq f(sin x,x)答案：D2已知函数

3、f(x)满足f(2x)2f(x)，且当1x2时，f(x)x2，则f(3)()A.eq f(9,8) B.eq f(9,4)C.eq f(9,2) D9解析：选Cf(2x)2f(x)，且当1x0，,x10，,x0，)解得1x0或0 x1.所以原函数的定义域为(1,0)(0,1)2设函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(r(x)，x0，,r(x)，x0，)若f(a)f(1)2，则a()A3 B3C1 D1解析：选D若a0，则eq r(a)12，得a1；若a0，)x(2,0)1,2)2函数f(x)eq f(r(1|x1|),ax1)(a0且a1)的定义域为_解析：由eq blcrc (

4、avs4alco1(1|x1|0，,ax10)eq blcrc (avs4alco1(0 x2，,x0)0 x2，故所求函数的定义域为(0,2答案：(0,2角度二：求抽象函数的定义域3若函数yf(x)的定义域是1,2 016，则函数g(x)eq f(fx1,x1)的定义域是()A0,2 015 B0,1)(1,2 015C(1,2 016 D1,1)(1,2 015解析：选B令tx1，则由已知函数的定义域为1,2 016，可知1t2 016.要使函数f(x1)有意义，则有1x12 016，解得0 x2 015，故函数f(x1)的定义域为0,2 015所以使函数g(x)有意义的条件是eq blc

5、rc (avs4alco1(0 x2 015，,x10，)解得0 x1或1x2 015.故函数g(x)的定义域为0,1)(1，2 0154若函数f(x21)的定义域为1,1，则f(lg x)的定义域为()A1,1 B1,2C10,100 D0，lg 2解析：选C因为f(x21)的定义域为1,1，则1x1，故0 x21，所以1x212.因为f(x21)与f(lg x)是同一个对应法则，所以1lg x2，即10 x100，所以函数f(lg x)的定义域为10,100角度三：已知定义域确定参数问题5(2016合肥模拟)若函数f(x) eq r(2x22axa1)的定义域为R，则a的取值范围为_解析：

6、因为函数f(x)的定义域为R，所以2x22axa10对xR恒成立，即2x22axa20，x22axa0恒成立，因此有(2a)24a0，解得1a0.答案：1,0方法归纳函数定义域的2种求法方法解读适合题型直接法构造使解析式有意义的不等式(组)求解.已知函数的具体表达式，求f(x)的定义域转移法若yf(x)的定义域为(a，b)，则解不等式ag(x)0，所以t1，故f(x)的解析式是f(x)lgeq f(2,x1)，x1.(3)设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0，知c0，f(x)ax2bx，又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即ax2(2ab)xabax2(

7、b1)x1，所以eq blcrc (avs4alco1(2abb1，,ab1，)解得abeq f(1,2).所以f(x)eq f(1,2)x2eq f(1,2)x，xR.(4)在f(x)2f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)eq r(x)1中，用eq f(1,x)代替x，得f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)2f(x)eq f(1,r(x)1，将f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)eq f(2fx,r(x)1代入f(x)2f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)eq r(x)1中，可求得f(x)eq f(2,3

8、)eq r(x)eq f(1,3).由题悟法即时应用1已知f(eq r(x)1)x2eq r(x)，求f(x)的解析式解：法一：设teq r(x)1，则x(t1)2，t1，代入原式有f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21.故f(x)x21，x1.法二：x2eq r(x)(eq r(x)22eq r(x)11(eq r(x)1)21，f(eq r(x)1)(eq r(x)1)21，eq r(x)11，即f(x)x21，x1.2设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等实根，且f(x)2x2，求f(x)的解析式解：设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb2x2，a1，b

9、2，f(x)x22xc.又方程f(x)0有两个相等实根，44c0，解得c1.故f(x)x22x1.eq avs4al(考点三分段函数) eq avs4al(重点保分型考点师生共研)典例引领1已知f(x)eq blcrc (avs4alco1(log3x，x0，,axb，x0，)且f(0)2，f(1)3，则f(f(3)()A2B2C3 D3解析：选B由题意得f(0)a0b1b2，解得b1.f(1)a1ba113，解得aeq f(1,2).故f(3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)319，从而f(f(3)f(9)log392.2(2015山东高考)设函数f(x)eq blcr

10、c (avs4alco1(3x1，x1，,2x，x1，)则满足f(f(a)2f(a)的a的取值范围是()A.eq blcrc(avs4alco1(f(2,3)，1) B0,1C.eq blcrc)(avs4alco1(f(2,3)，) D1，)解析：选C由f(f(a)2f(a)得，f(a)1.当a1时，有3a11，aeq f(2,3)，eq f(2,3)a1.当a1时，有2a1，a0，a1.综上，aeq f(2,3)，故选C.由题悟法分段函数2种题型的求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范

11、围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围提醒当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论即时应用1已知函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(2x1，x0，,3x2，x0，)且f(x0)3，则实数x0的值为A1B1C1或1 D1或eq f(1,3)解析：选C由条件可知，当x00时，f(x0)2x013，所以x01；当x00，)解得3x1，)若f(1)eq f(1,2)，则f(3)_.解析：由f(1)eq f(1,2)，可得aeq f(1,2)，所以f(3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2eq f(1,4)

12、.答案：eq f(1,4)5已知函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(x22ax，x2，,2x1，x3a2，则a的取值范围是_解析：由题意知f(1)213，f(f(1)f(3)326a，若f(f(1)3a2，则96a3a2，即a22a30，解得1a0，,lgx10，)即eq blcrc (avs4alco1(x1x100，,x1，,x2，)解得，1x10.所以函数f(x)的定义域为(1,2)(2,102(2016武汉调考)函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(sinx2，1x0，,ex1，x0)满足f(1)f(a)2，则a的所有可能值为()A1或eq f(r(2),

13、2) Beq f(r(2),2)C1 D1或eq f(r(2),2)解析：选A因为f(1)e111且f(1)f(a)2，所以f(a)1，当1a0时，f(a)sin(a2)1，0a21，0a2，a2eq f(,2)aeq f(r(2),2)；当a0时，f(a)ea11a1.3(2016福建四地六校联考)若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)f(x)3x1，则f(1)()A2 B0C1 D1解析：选A令x1，得2f(1)f(1)4，令x1，得2f(1)f(1)2， 联立得f(1)2.4根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)eq blcrc (avs4alco1(f(c

14、,r(x)，xa，,f(c,r(a)，xa，)(a，c为常数)已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a件产品用时15分钟，那么c和a的值分别是()A75,25 B75,16C60,25 D60,16解析：选D因为组装第a件产品用时15分钟，所以eq f(c,r(a)15，所以必有4a，且eq f(c,r(4)eq f(c,2)30.联立解得c60，a16.5已知具有性质：f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：yxeq f(1,x)；yxeq f(1,x)；yeq blcrc (avs4alco1(x，0 x1.)

15、其中满足“倒负”变换的函数是()ABC D解析：选B对于，f(x)xeq f(1,x)，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)eq f(1,x)xf(x)，满足；对于，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)eq f(1,x)xf(x)，不满足；对于，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)eq blcrc (avs4alco1(f(1,x)，0f(1,x)1，)即f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)eq blcrc (avs4alco1(f(1,x)，x1，,0，x1，,x，0 x1，)故f eq blc(rc)(

16、avs4alco1(f(1,x)f(x)，满足综上可知，满足“倒负”变换的函数是.6已知f(x)eq blcrc (avs4alco1(xf(1,2)，x0，,|sin x|，xblc(rc)(avs4alco1(f(,2)，0)，)若f(a)eq f(1,2)，则a_.解析：若a0，由f(a)eq f(1,2)得，aeq f(1,2)eq f(1,2)，解得aeq f(1,4)；若a0，则|sin a|eq f(1,2)，aeq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，0)，解得aeq f(,6).综上可知，aeq f(1,4)或eq f(,6).答案：eq f(1,4)或eq f(

17、,6)7已知函数yf(x21)的定义域为eq r(3)，eq r(3)，则函数yf(x)的定义域为_解析：yf(x21)的定义域为eq r(3)，eq r(3)，xeq r(3)，eq r(3) ，x211,2，yf(x)的定义域为1,2答案：1,28已知函数f(x)2x1与函数yg(x)的图象关于直线x2成轴对称图形，则函数yg(x)的解析式为_解析：设点M(x，y)为函数yg(x)图象上的任意一点，点M(x，y)是点M关于直线x2的对称点，则eq blcrc (avs4alco1(x4x，,yy.)又y2x1，y2(4x)192x，即g(x)92x.答案：g(x)92x9已知函数f(x)满

18、足对任意的xR都有f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x)2成立，则f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,8)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,8)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,8)_.解析：由f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x)2，得f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,8)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,8)2，f eq b

19、lc(rc)(avs4alco1(f(2,8)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(6,8)2，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,8)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,8)2，又f eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,8)eq f(1,2)eq blcrc(avs4alco1(f blc(rc)(avs4alco1(f(4,8)f blc(rc)(avs4alco1(f(4,8)eq f(1,2)21，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,8)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,8)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,8)2317.答案：710设函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(axb，x0，,2x，x0，)且f(2)3，f(1)f(1)(1)求f(x)的解析式；(2)画出f(x)的图象解：(1)由f(2)3，f(1)f(1)得eq blcrc (avs4alco1(2ab3，,ab2，)解得a1，b1，所以f(x)eq blcrc (avs4alco1(x1，x0，,2x，x0.)(2)f(x)的图象如图：三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2016唐山期末)已知f(x)eq blcrc