选修导数的几何意义 完整版PPT

1、1.1.3导数的几何意义自学教材p6-9学习目标理解导数的几何意义，会求曲线的切线方程重点：导数的几何意义及曲线的切线方程难点：求曲线在某点处的切线方程回顾平均变化率函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2D,f(x)从x1到x2平均变化率为:割线的斜率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:y=f(x)PQMxyOxyPy=f(x)QMxyOxy如图：PQ叫做曲线的割线 那么，它们的 横坐标相差（ ） 纵坐标相差（ ） 导数的几何意义: 斜率当Q点沿曲线靠近

2、P时，割线PQ怎么变化？x呢？y呢？PQoxyy=f(x)割线切线T导数的几何意义: 我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:这个概念: 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; 切线斜率的本质函数在x=x0处的导数.PQoxyy=f(x)割线切线T 圆的切线定义并不适用于一般的曲线。 通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。 函数 y=f(x)在

3、点x0处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率.即: 故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线方程是:导数的几何意义: 平均变化率 在上面的研究过程中，某点的割线斜率和切线斜率与某点附近的平均变化率和某点的瞬时变化率有何联系？ 割线的斜率瞬时变化率切线的斜率在不致发生混淆时，导函数也简称导数函数导函数由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:思考题 1.曲线在某一点处的切线只能与曲线有唯一公共点吗？下图中，直线是否是曲线在点P处的切线

4、？xoyP巩固提高例 根据已知条件，画出函数图象在该点附近的大致形状练习 已知导函数 的下列信息： 【例2】 求曲线y=x2+1在点P(1,2)处的切线的方程。 k=解： y=f(1+ x)-f(1)= (1+ x)2+1-（1+1）=2 x+（ x）2 曲线在点P(1,2)处的切线的斜率为因此，切线方程为 y-2=2(x-1)即 y=2x k=【注】求曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率的方法： (1)求y=f(x0+ x)-f(x0)小结:1.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数 学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义认识这一概念的实质，学会用事物在全过程中的发展变

5、化规律来确定它在某一时刻的状态。 2.求切线方程的步骤：（1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲 线在点(x0,f(x0)的切线的斜率。（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即 无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求 函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导 数概念。例3:证明:(1)可导的偶函数的导函数为奇函数; (2)可导的奇函数的导函数为偶函数.证:(1)设偶函数f(x),则有f(-x)=f(x).(2)仿(1)可证命题成立,在此略去,供同学们在课后练 习用.导数的几何意义 函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处

6、的切线的斜率. 故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线方程是:即:1.曲线y=x3-3x2+1在点（1，-1）处的切线方程为（） A.y=3x-4B.y=-3x+2 C.y=-4x+3D.y=4x-5 解析 由y=3x2-6x在点（1，-1）的值为-3，故切线方程为y+1=-3(x-1)，即y=-3x+2.B基础自测2.设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是0， ，则点P横坐标的取值范围为（） A. B.-1，0 C.0，1D. 解析 y=x2+2x+3，y=2x+2. 曲线在点P(x0,y0)处切线倾斜角的取值范围是 0, , 曲线在点P

7、处的切线斜率0k1. 02x0+21,-1x0 .A3.（2009福建理，14）若曲线f(x)=ax5+ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 . 解析 f(x)=5ax4+ ,x(0,+), 由题知5ax4+ =0在（0，+）上有解. 即a=- 在（0，+）上有解. x(0,+), (-,0). a(-,0).(-,0)4.求曲线f(x)=x3-3x2+2x过原点的切线方程. 解 f(x)=3x2-6x+2.设切线的斜率为k. （1）当切点是原点时k=f(0)=2, 所以所求曲线的切线方程为y=2x. （2）当切点不是原点时，设切点是（x0,y0）则有y0= k= 由得 所求曲线

8、的切线方程为探究提高 （1）解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法.（2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标为P（x0，y0），然后求其切线斜率k=f(x0),写出其切线方程.而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点.（3）曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确.作业： 已知曲线方程为y=x2, （1）求过A（2，4）点且与曲线相切的直线方程； （2）求过B（3，5）点且与曲线相切的直线方程. （1）A在曲线上,即求在A点的切线方程. （2）B不在曲线上，设出切点

9、求切线方程. 解 （1）A在曲线y=x2上, 过A与曲线y=x2相切的直线只有一条，且A为切点. 由y=x2,得y=2x,y|x=2=4, 因此所求直线的方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0.思维启迪（2）方法一 设过B（3，5）与曲线y=x2相切的直线方程为y-5=k(x-3),即y=kx+5-3k, y=kx+5-3k, y=x2得x2-kx+3k-5=0,=k2-4(3k-5)=0.整理得:(k-2)(k-10)=0,k=2或k=10.所求的直线方程为2x-y-1=0,10 x-y-25=0.由方法二 设切点P的坐标为(x0,y0),由y=x2得y=2x, x=x0=2x0,由已知kPA=2x0,即 =2x0.又y0= 代入上式整理得:x0=1或x0=5,切点坐标为(1,1),(5,25),所求直线方程为2x-y-1=0,10 x-y-25=0.3.（2009全国理