常微分方程学习活动6第三章一阶线性方程组第四章n阶线性方程综合练习WORD版

1、常微分方程学习活动6第三章一阶线性方程组、第四章n阶线性方程综合练习WORD版常微分方程学习活动6第三章一阶线性方程组、第四章n阶线性方程综合练习WORD版常微分方程学习活动6第三章一阶线性方程组、第四章n阶线性方程综合练习WORD版常微分方程学习活动6第三章一阶线性方程组、第四章n阶线性方程的综合练习本程形成性核查合共3次，内容主要分是第一章初平分法的合、二章基本定理的合、第三章和第四章的合，目的是通合性作，可以自己的学成就，找出掌握的单薄知点，要点复，争取赶快掌握第同学要求：第一起学下作附件文档并行填写，文档填写达成后在本次作面中点“去达成”按入相网界面达成任，此后将所做完的作文档以附件的

2、形式上到程上，随后老会在程中行分。一、填空1若A(x)在(-,+)上，那么性次方程dYA(x)Y，YRn的任一非零dx解在Rn1空不可以与x订交2方程dYF(x,Y),xR,YRn的任何一个解的象是n+1空dx中的一条分曲3向量函数Y1(x),Y2(x),Yn(x)性有关的必需条件是它的朗斯期队列式W(x)=04性次微分方程dYA(x)Y,xR,YRn，的一个基本解的个数不可以多dx于n+1个51(x)，2(x)在区(a,b)上性有关，它的朗斯基队列式W(x)在区若函数(a,b)上恒等于函数y1sinx的朗斯基队列式W(x)是W(x)sinxcosx6y2cosxcosxsinx7二方程yxy

3、x2y0的等价方程是yy1y1xy1x2y8若y1(x)和y2(x)是二性次方程的基本解，它没有共同零点9二性次微分方程的两个解y1(x),y2(x)成其基本解的充要条件是性没关10n性次微分方程性没关解的个数最多n个11在方程y+(x)yp+q(x)y=0中，p(x),q(x)在(-,+)上，它的任一非零解在xOy平面上可以与x横截订交12二阶线性方程y2yy0的基本解组是ex,xex13线性方程yy0的基本解组是cosx,sinx14方程yxyx2y0的全部解组成一个2维线性空间15n阶线性齐次微分方程的全部解组成一个n维线性空间二、计算题1将以下方程式化为一阶方程组（1）xf(x)xg(

4、x)0（2）ya1(x)ya2(x)ya3(x)y0dyy1dxdxydy11）解dt，（2）解y2dydxg(x)f(x)ydy2dta1(x)y2a2(x)y1a3(x)y0dx2求解以下方程组：dx4xdxy5yx（1）dt（2）dtdy5xdyy4yxdtdt（1）解54方程组的系数阵为A特点方程为：45det(A-54=(1)(9)0，E)=54其特点根为11,29.当1y1ta1时,ez1b，此中a,b知足a44a(A-E)=4=0,b4b则有a+b=0取a=1,b=y1t11,则得一特解ez11同理,当2y29t19时，ez21y(t)ete9t因此方程组的解为C1C2z(t)e

5、te9t（2）解方程组的系数阵为A.特点方程为:det(A-E)=()220特点根为i.当1ix1eia此中a,b知足时,by1(A-a=ia=0,E)ibbaib0即bai.故有bi0a取a1,bi，于是方程组对应于x1*ei1=etcostisinty1*isinticost故特点根i所对应的实解为x1=etcost,x2tsinty1sin=ecostty2因此方程组的解为x(t)tcostsintC1=esintcostC2y(t)3求解以下方程组：xxy1）y3y2xx2xyz（2）yx2yzzxy2z11（1）解方程组的系数阵为A.23特点方程为:det(A-E)=特点根为12i,

6、21124502=32i当12i时,x1(2i)ta1i1ay1eb此中a,b知足(i=0,11b(1i)ab0即a(1i)b0第一个方程x(1i)有2a(1i)b0令a1，则b1i于是由x(t)e2t(costisint)1y(t)1i解得通解x(t)2tcostsintC1y(t)=ecostsintcostsint.C2211（2）解系数阵为A121112211特点方程为:det(A-E)=121=(1)(2)(3)0.112特点根为11,22,33.x(t)0e2te3tc1通解解为y(t)ete2t0c2.z(t)ete2te3tc34求解以下方程组：dx3xyxyt（1）dt2e（

7、2）xt2dyy3ydt（1）解31方程组的系数阵为A3，其特点方程为：0det(A-E)=31=(3)20.03特点根为123,方程组有以下形式的解:x(r11r12t)e3ty(r21r22t)e3t3(r11r12t)e3tr12e3t3(r11r12t)e3t(r21r22t)e3t代入原方程组有r22t)e3tr22e3tr22t)e3t3(r213(r21消去e3t得r12r21r22tr220令r12r211r110,则xte3tye3t令r12r210r111,则xe3ty0因此方程组的解为x(t)C1te3tC2e3ty(t)e3t0（2）解第一求出相应齐次线性方程组的通解.

8、对应齐次方程的系数阵为A011.0其特点方程为：det(A-E)=1=(1)(1)0.1特点根为11,21当11时，x1eta，此中a,b知足(A-E)a=111a=0,则有ab=0y1bb1b取a=b=1,则得一特解x1et1y11同理,当2x2et11时，1y2因此对应齐次线性方程组的通解为x(t)etc2ety(t)c1eett此后运用常数变易法计算原方程组的一个特解.x(t)c1(t)etc2(t)etc1(t)1t2et2将c1(t)et代入原方程组，得t2et2y(t)c2(t)ec2(t)e2tc1(t)t1t2ettetet解得2.1e2tc2(t)ett22(tetet)2原

9、方程组的特解为x(t)etey(t)etetc1(t)etett1t2ettetet2tc2(t)etet12tt2tt2eet2(tee)tett21et22.1ettet2t2x(t)ete因此原方程组的通解为etey(t)tc1tett21et2t2.c2tet1et2t25已知方程(1lnx)y1y12y0的一个解y1lnx，求其通解xx解由通解公式yc*y1cy112ep(x)dxdx，y1lnx,p(x)1，y1x(1lnx)p(x)dx12e1dxyc*y1y1c*cy1dxcx(1lnx)dx12ey1(lnx)y1c*lnx1y1(c1c2xc1lnxc2xc2dx)(lnx

10、)lnx6试求以下n阶常系数线性齐次方程的通解（1）y9y20y0（2）y(4)y0（1）解特点方程为:29200特点根为:14,25。它们对应的解为:e4x,e5x方程通解为:yc1e4xc2e5x.（2）解特点方程为:410特点根为:22i,221,2223,42i22x22x2x,e2xcos2x,e2xsin2x它们对应的解为:e2cosx,e2sin2222222x2x2x)2x2x2x).方程通解为:ye2(c1cosc2sine2(c3cosc4sin22227试求下述各方程知足给定的初始条件的解：（1）y4y4y0，y(2)4，y(2)0（2）yy0，y(0)2，y(0)5（1

11、）解特点方程为:2440.特点根为:1,22，方程通解为:ye2x(c1c2x)由初始条件有:2c13c20c112e4c12c24e4,解得c28e4.因此方程的初值解为:ye2x(12e48e4x).（2）解特点方程为20.:特点根为:10,21，方程通解为:yc1c2ex由初始条件有:c1c22c17.c2,解得c255因此方程的初值解为:y75ex.8求以下n阶常系数线性非齐次方程的通解：（1）y8y7y327x8x（2）y2y10yxcos2x（1）解因为2870，11,27，故齐次方程的通解为yc1exc2e7x.因为0不是特点根，故已知方程有形如y1Ax2BxC的特解.将它代入原

12、方程，得,A3,B971126，7,C49343所求通解为ycexce7x3x297x1126.12749343（2）解因为22100,112i,212i，yex(c1cos2xc2sin2x).因为i2i不是特点根，故已知方程有形如y1(A1xB1)cos2x(A2xB1)sin2x的特解将上式代入原方程，可得A13,B129,A21,B21，2633813169所求通解为yex(c1cos2xc2sin2x)(3x29)cos2x(1x1)sin2x.2633813169三、证明题1设nn矩阵函数A1(t)，A2(t)在（a,b）上连续，试证明，若方程组dXA1(t)X与dXdtA2(t)

13、X有同样的基本解组，则A1(t)A2(t)dt证明设X(t)为基本解矩阵,因为基本解矩阵是可逆的,X1(t)dX(t)A1(t)故有dt1(t)dX(t)XA(t)dt2于是A1(t)A2(t).2设在方程yp(x)yq(x)y0中，p(x)在区间I上连续且恒不为零，试证它的随意两个线性没关解的朗斯基队列式是在区间I上严格单一函数证明设w(x)是方程的随意两个线性没关解的朗斯基队列式，则xI,w(x)且0，xp(t)dtxx0I,有w(x)=w(x0)ex0，w(x)xp(x)w(x0)e0p(t)dt.又因为p(x)在区间I上连续且恒不为零,进而对xI,p(x)0或p(x)0,因此,w(x)在I上恒正或恒负,即w(x)为严格单一函数.3试证明：二阶线性齐次方程的随意两个线性没关解组的朗斯基队列式之比是一个不为零的常数证明设两个线性的解组的朗斯基队列式分别为xp(t)dtxp(t)dtw1(x)w1(x0)ex0，w2(x)w2(x0)ex0，且w1(x0)0,w2(x0)0，因此有w1(x)w1(x0)0.w2(x)w2(x0)四、应用题1一质量为m的质