数分大一第一学期版上第一章

1、第一华中师范大October第一华中师范大October17,第一1教学目掌握实数1教学目掌握实数的概念, 建立起实数集确界的清晰概念理解并熟练运用实数的有序性、稠密性与封闭性; 掌握邻域的概念; 牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等理解实数确界的定义及确界原理, 并在有关命题证明中正确地加单调函数和初等函数的定义, 熟悉函数的各种表示方法;牢记基本初等函数的定义、性质及其图象，会求函数的定义域，会分析函数的复合关系.教学重、难函数、确界的概念及其有关性质23第一第一实数学分析第一实数学分析研究的基本对象是定义在实数集上的函数, 为此, 先简要叙第一1教学目1教学目理解并熟练运

2、用实数的有序性、稠密性和封闭性牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式它们是分析论证的重要工具;教学难实数集的概念及其应用23第一一、实数及其性实数定有理一、实数及其性实数定有理有限十进制小数或者无限十进制循环小数, 能表pq,pq为整数q0.有理数和无理数的合称无理实了近似和过剩近似的表示第一封闭三歧任意两个实封闭三歧任意两个实数们的和差积与商都为实数;有序性, 任意实数 ab 必满足下面之一a有理数理数都具有. 任意两个有理无理数)Archimedes 性:ba0存在自然数n得na实数ab等等价0有|ab|稠密存在一个数相第一二、重要不等绝对|a| = 二、重要不等绝对|a|

3、 = maxa,二、重要不等绝对|a|=maxa,+均值 任意 a1a2二、重要不等绝对|a|=maxa,+均值 任意 a1a2 an R , 有nnun1ainn1二、重要不等绝对|a|=maxa,+均值 任意 a1a二、重要不等绝对|a|=maxa,+均值 任意 a1a2 an R , 有nnun1ainn1贝努利 Bernoulli不等式任意x1(1+x)n 1+nx,n 二、重要不等绝对均|a| = maxa,+任意a1a2 an R , 有nn二、重要不等绝对均|a| = maxa,+任意a1a2 an R , 有nnun1nainn1Bernoulli不等式任意x1(1+x)n1+

4、nx,n 对任意h R二项n nn23(1+) =1+nhhh +h第一第二确界原第二确界原数学分析的一个基本概念: 确界. 确界原理是极限理论第一1教学目掌握确界原1教学目掌握确界原理立起实数确界的清晰概念;掌握邻域的概念理解实数确界的定义及确界原理, 并在有关命题的证明中正确地教学重确界的概念及其有关性质确界原理);确界的定义及其应用234第一一、邻熟悉以下记U一、邻熟悉以下记U(a, Uo(a, U+(a, U(a, Uo(a,Uo(a,+第一有界集定义SR. 若存在常数有界集定义SR. 若存在常数M(L) 使得xSxM (x则称S有上界(下界数集称常数M(L) S一个上界(下如果集 S

5、 有上下界, 则称 S 是有界集. 如果集S是有界集称S无界集.二、有界集和确界原有界集定义SR二、有界集和确界原有界集定义SR存在常数M(L) 使得xSxM (x则称S有上界(下界数集称常数M(L) S一个上界(下如果集S上下界称S有界集如果集S是有界集称S集1: 下面集合哪些是有界的? 并求相应的上下界1 1 (1)S= 0,(2)1, , , ,.2 3 (2)S=x1,x2,.,xn; (4)S=(0,1)(2,3)(7,(6)S: x(0,1(5) R,Z,Q,(a,+),(,x第一二、有界集和确界原有界集定义SR二、有界集和确界原有界集定义SR存在常数M(L) 使得xSxM (x则

6、称S有上界(下界数集称常数M(L) S一个上界(下如果集S上下界称S有界集如果集S是有界集称S集1: 下面集合哪些是有界的? 并求相应的上下界1 1 (1)S= 0,(2)1, , , ,.;只有(5),(6)2 3 (2)S=x1,x2,.,xn; (4)S=(0,1)(2,3)(7,(6)S: x(0,1(5) R,Z,Q,(a,+),(,x第一上确界: 设 SR. 称数 S上确上确界: 设 SR. 称数 S上确界(1)(上界性)xS,x(2)(最小性). 0存在 S,得 此时记上确界为 = sup上确界: 设 SR. 称数 S上确界上确界: 设 SR. 称数 S上确界(1)(上界性)xS

7、,x(2)(最小性). 0存在 S,得 此时记上确界为 = sup下确界: 设 SR. 称数 S下确界(1) (下界性). xS,x(2) (最大性). 0存在 S,使得此时记下确界为 = inf确上确界: 设 SR. 称数 确上确界: 设 SR. 称数 S上确界(1)(上界性)xS,x(2)(最小性). 0存在 S,得 此时记上确界为 = sup下确界: 设 SR. 称数 S下确界(1) (下界性). xS,x(2) (最大性). 0存在 S,使得此时记下确界为 = inf提示：在习题中存在需要证明的第一例 2：求下面集合的上下确界(1) (0,例 2：求下面集合的上下确界(1) (0,(2

8、)0,(3) 2,3n(4)S=1; (5)S=y: y=sinx,x(0,ninf(0,1) = inf0,1 = 0, sup(0,1) sup0,1=例 2：求下面集合的上下确界(1) (0,例 2：求下面集合的上下确界(1) (0,(2)0,(3) 2,3n(4)S=1; (5)S=y: y=sinx,x(0,ninf(0,1) = inf0,1 = 0, sup(0,1) sup0,1=(3)确界为2,确界为例 2：求下面集合的上下确界(1)(0,例 2：求下面集合的上下确界(1)(0,(2)0,(3) 2,3n(4)S=1; (5)S=y: y=sinx,x(0,ninf(0,1)

9、 = inf0,1 = 0, sup(0,1) sup0,1=(3)确界为2,确界为(4)infS=0,supS=32第一例 2：求下面集合的上下确界(1)(0,例 2：求下面集合的上下确界(1)(0,(2)0,(3) 2,3n(4)S=1; (5)S=y: y=sinx,x(0,ninf(0,1) = inf0,1 = 0, sup(0,=sup0,1=(3)确界为2,确界为(4)infS=0,supS=32(5)infS= 0,supS= 第一1确界若1确界若存在则唯一1确界若存在则唯一1确界若存在则唯一2确界supS,infS必属于S,未必不属于1确界若存在则唯一1确界若存在则唯一2确界

10、supS,infS必属于S,未必不属于3 infSsupS在infS sup1确界若存在则唯一21确界若存在则唯一2确界supS,infS必属于S,未必不属于3 infSsupS在infS sup4 S上下S上下界确界性1确界若存在则唯一确界性1确界若存在则唯一2确界supS,infS必属于S,未必不属于34infSsupS在infS supS上下S上下界第一确界性1确界若存在则唯一2确确界性1确界若存在则唯一2确界supS,infS必属于S,未必不属于34infSsupS在infS supS上下S上下界1由定义直.第一确界性1确界若存在则唯一2确界确界性1确界若存在则唯一2确界supS,in

11、fS必属于S,未必不属于34infSsupS在infS supS上下S上下界12由定义直.如: 实数1(01) 01 的上确界1属于(01)0第一确界性1确界若存在则唯一2确界确界性1确界若存在则唯一2确界supS,infS必属于S,未必不属于34infSsupS在infSsupS上下S上下界12由定义直.如: 实数1(01) 01 的上确界1属于(01)0任意xS,infSxsup3第一确界性1确界若存在则唯一2确界sup确界性1确界若存在则唯一2确界supS,infS必属于S,未必不属于34infSsupS在infSsupS上下S上下界12由定义直.如: 实数1(01) 01 的上确界1属

12、于(01)034任意xS,infSxsup确界原理上证明第一3：设S3：设SR 有上确界=supSS =max第一确界原确界原理：设 = SR. 若 S 有上 (下) 界, 则 S 有上（下）确界原确界原理：设 = SR. 若 S 有上 (下) 界, 则 S 有上（下）确界原确界原SR.S下界S有上（下）界确界原确界原SR.S下界S有上（下）界思路. 第一步, 先找 S 的一个整数上界n1, 要求此上界不能 大要求Snn1) 非空第二步缩小上界nn+1) 十等分n.1n.1+ 1 要求此上界不能太大要 + 中找S一个上界,1 .n,n.n).11无限进行下去, 得到唯一一个数 = n.n1n2

13、nk第三步. 再证此数 满足上确界定义的两个条件: 上界性和 小性第一4：设AB4：设ABR. 如果xAyB,xy,supAinf5ABR 的非空子集. 记 S= AB. 证明infAinf存在时infS= mininfA,inf作业: P4:4,8;P9: 第一第三函数概数学分析主的是函数第三函数概数学分析主的是函数及其性质. 本节详函数概念历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它不仅有助提高对函领悟数学概念对数参考资料

14、第一1教学目1教学目深刻理解函数的定义及复合、反函数和初等函数的定义, 熟悉其牢记基本初等函数定义、性质及其图象, 会求初等函数存在域,教学重、难重点是: 函数的概念难点是：初等函数复合关系的分析23第一一、函数定D,MR 为一、函数定D,MR 为非空集. 若存在对应法则 f, 使得任x存在唯一yM之对应称fDMf: DxD定义域f(Dyf(xM: xD为值域提示：本书函数的定义域和值域都是实数第一一、函数定D,MR 为非空一、函数定D,MR 为非空集. 若存在对应法f,得任x存在唯一yM之对应称fDMf: DxD定义域f(D) = yf(xM: xD为值域若D,M为数集,f称为函数,x称为自

15、变量,y称为因从变量提示：本书函数的定义域和值域都是实数第一数集M用数集M用R 代替DR 上的函数f记y=x第一数集M用数集M用R 代替DR 上的函数f记y=x自然域在域: 使函数表达式有意义的自变量取值范围. 此时存在域到实数上的函数 f 可简记为y或者 函数第一数集M用数集M用R 代替DR 上的函数f记y=x自然域在域: 使函数表达式有意义的自变量取值范围. 此时存在域到实数上的函数 f 可简记为y或者 函数像与原像: xD,f(x) 称为x像x为f(x) 的一个原像第一数集M用R数集M用R 代替DR 上的函数f记y=x自然域在域: 使函数表达式有意义的自变量取值范围. 此时存在域到实数上

16、的函数 f 可简记为y或者 函数像与原像: xD,f(x) 称为x像x为f(x) 的一个原像单多值函数. 每个 x D, 只有唯一 y M 与之对应, 则称 为单值函数则称f多值函数多值函数:f(x)=x(,第一二、函数表示公式法);二、函数表示公式法);图像法分段函数: 在不同定义域使用不同表示式的函数符号函数xsgnxx=1, x 0a= 1); 对数函数: ylogax(a0a1);基本初等函常值函数y幂基本初等函常值函数y幂函数yxa(a为实数指数函数: yax(a0a= 对数函数: ylogax(a0a= 三角函数y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cot基本初等函常

17、值函数y基本初等函常值函数y幂函数yxa(a为实数指数函数: yax(a0a= 对数函数: ylogax(a0a= 三角函数ysinx, ycosx, ytanx, ycotx;y=arcsinx, y=arccosx, y=arctanx, y=六、初等函基本初等函常值六、初等函基本初等函常值函数y幂函数: yxa(a为实数指数函数yax(a0a对数函数ylogax(a0a三角函数ysinx, ycosx, ytanx, ycotx;y=arcsinx, y=arccosx, y=arctanx, y=2提示：形的数未定义第一指数函指数函数定义：设a0a指数函指数函数定义：设a0a1x/ Q

18、 时ra: rQ, aaxra: rQ, 0a第一2：(1) yf(uuug(2：(1) yf(uuug(x1x2(fg)(x)=的定义域()11(2) 设fx=x ,求2x(3) 去绝对值 f(x3|2x第一第四具有特性函第四具有特性函本节的函数特性将在以后各章中使用第一具有特性函1教学目具有特性函1教学目熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语教学重周期函数周期的计算、验证23第一定义：设f定义在D的函数. 如存定义：设f定义在D的函数. 如存在常数M(L) 使得每个x都f(x)M f(x)L则称fD有上界(下界M(L) 称为fD的一个上界(下定义：设f定义在D的函数. 如存在常定义：设f定义

19、在D的函数. 如存在常数M(L) 使得每个x都f(x)M f(x)L则称fD有上界(下界M(L) 称为fD的一个上界(下定义有界)：设f定义在D的函数. 如果存在正数M,得xD则称fD的有界函数|f(x)|一、有界函定义：设f定义在D的一、有界函定义：设f定义在D的函数. 如存在常数M(L) 使得每个x都()f(x)L)则称fD有上界(下界). 数 M(L) 称为fD的一个上界(下定义有界)：设f定义在D的函数. 如果存在正数M,得xD则称fD的有界函数|f(x)|思考: 如何给出fD的定义第一在 R 上有界1：证明在 R 上有界1：证明f(x2x2+P17 例 只要求出 |f(x)| 的一个

20、上界即可在 R 上有界1：证明在 R 上有界1：证明f(x2x2+P17 例 只要求出 |f(x)| 的一个上界即可在 R 上有界1：证明f(x2x2+在 R 上有界1：证明f(x2x2+P17 例 只要求出 |f(x)| 的一个上界即可 |f(x)|5x2+一、有界函1：证明f(xR 上有界2x一、有界函1：证明f(xR 上有界2x2+P17只要求出|f(x)| 的一个上界即可 15)| 55x2+22第一一、有界函1：证明f(xR 上有界2x2一、有界函1：证明f(xR 上有界2x2+P17只要求出|f(x)| 的一个上界即可 15)| 55x2+22 故 f(x) 有界第一二、单调函定义

21、 (单二、单调函定义 (单调性)：设 f 为定义在 D 上的函数. 若对任何 1x2 x1x2 时第一二、单调函单调二、单调函单调性f当 x1 x2 时有为定义D上的函数. 若对任1x2 (i) f(x1) f(x2), 则称 f 为 D 上的增函数第一二、单调函单调性二、单调函单调性f当 x1 x2 时有为定义D上的函数. 若对任1x2 (i) f(x1) f(x2), 则称 f 为 D 上的增函数当严格不等f(x1f(x2) 成立, 称 f 为 D 上的严格增函数第一二、单调函单调性f二、单调函单调性f当 x1 x2 时有为定义D上的函数. 若对任1x2 (i) f(x1) f(x2), 则称 f 为 D 上的增函数当严格不等f(x1f(