高三数学一轮复习：第2章第2节函数的单调性与最值

1、第二节 函数的单调性与最值考纲传真1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数 的性质.抓基础自主学习|理教材双基自主测评知识模理*.增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I,区间D? I,如果对于任意xi, X2D,且X1X2,则都有：(1)f(x)在区间D上是增函数？ f(X!)f(X2).单调性、单调区间的定义若函数y= f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性, 区间D叫做y= f(x)的单调区间.函数的最值前提设函数y= f(x)的止义域为I,如果存在实数M ?两足条件对于任意的xC I

2、,都有f(x)&M;存在Xo I ,使得f(xo) =M对于任意的xI,都 有f(x)M;存在X0 e I,使得f(xo)二M结论M是y= f(x)的最大值M是y=f(x)的最小值学情自测 * TOC o 1-5 h z .(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“，”，错误的打X”)(1)对于函数 f(x), xCD,若对任意 X1 , X2.D, X1 WX2且(X1 X2)f(X1) f(X2)0,则函数 f(x)在区间 D 上是增函数.()(2)函数y= 1的单调递减区间是(一8, 0)U(0, +oo).()X(3)函数y=冈是R上的增函数.()(4)所有的单调函数都有最值.()答

3、案(1)，(2)X (3)X (4)X. (2016北京高考)下列函数中，在区间(一1,1)上为减函数的是(A.y=A.y=y=cos xy=ln(x+ 1)y=2 x. 一11D 选项A中，y=在(一00, 1)和(1, +8)上为增函数，故y=-在(- 1,1)上为增函数;1 x1 x选项B中，y=cos x在(1,1)上先增后减；选项C中，y=ln(x+1)在(1, +8)上为增函数，故y= m(x+ 1)在(1,1)上为增函数；11V选项D中，y=2 例U (1)函数f(x) = log2(x21)的单调递减区间为 . k (2)试讨论函数f(x) = x+-(k 0)的单调性.例U

4、(1)函数f(x) = log2(x21)的单调递减区间为 .k(2)试讨论函数f(x) = x+-(k 0)的单调性.(1)( 0, 1)由 x21。得 x 1 或 x - 1,即函数 f(x)的定义域为(一oo, - 1)U (1 , +oo).令t=x2 1,因为y= log2t在tC(0, +oo)上为增函数，t = x21在xC (8, 1)上是减函数，所以函数f(x)= log2(x21)的单调递减区间为( 8, -1). 2x3.(教材改编)函数f(x)=在1,2上的取大值和取小值分别是 .x I 12x2fx+1，一 22 . 4, 1 f(x)=x+1 = x+1= 2-x+

5、1 在1,2上正用函数， f(x)max=f=3, f(x)min=f=1.函数y=(2k+1)x+b在R上是减函数，则k的取值范围是.【导学号：01772025】100, -2)由题意知 2k+10,得 k-2.5. f(x) = x22x, xC 2,3的单调增区间为 , f(x)max=.1,3 8f(x)=(x1)21,故 f(x)的单调增区间为1,3, f(x)max= f( 2) = 8.|*K1 1|函数单调性的判断明考向|*K1 1|函数单调性的判断(2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(一8, 0)U(0, +oo),在(0, +oo)内任取xi, X2,令0 x1x2,那

6、么 f(x2)f(X1)= & + X2卜)= (X2刈)十卜：Xi 1= (X2-X1)X1X2x2 k.2 分因为 0X10, X1X20.故当 Xi, X2C(#, +8)时,f(Xi)f(X2),即函数在(0,通上单调递减.考虑到函数f(x) = x+ k(k0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在 (一, X#)上单调递增，在(侏，0)上单调递减.综上，函数f(x)在(8,休)和(班，+8)上单调递增，在(限 0)和(0, Jk)上单调递减.12分法二：f (x)= 1 4.2 分x令f (x)0得x2k,即xC (一 0,水)或乂(小，+00),故函数的单调增区间

7、为(8,邓)和(#, + O).6 分令f (x)0得x2k,即xC (亚，0)或xC (0, Jk),故函数的单调减区间为(-瓜 0)和(0,班).10分故函数f(x)在(8, #)和(#, +8)上单调递增，在(木,0)和(0, #)上单调递减.12分规律方法1.利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底.2.利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确.易错警示：求函数的单调区问，应先求定义域，在定义域内求单调区问，如本题 (1). TOC o 1-5 h z 变式训练1 (1)(2017深圳二次调研)下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是 (

8、)A. y = x3By=WC. y = xD.y= (,x1(2)函数f(x)=log2(x2 4)的单调递增区间是()A. (0, +oo)B.( 00, 0)C. (2, +00)D.(-, - 2)(1)C (2)D (1)选项A, B中函数在定义域内均为单调递增函数，选项 D为在定义域内为单调递减函数，选项C中，设X1X2(X1, X2*0),则y2 丫1 =1一.=x一x2,因为X1-X20, J 0,当Xi, X2异号时X1X20,所以函数y=!在定义域上不是单调函数，故 X2 XiX2 XiX选C.(2)由 X2 40 得 x2 或 x0包成立，试求实数a的取值范围.思路点拨(

9、1)先判断函数f(x)在1, +8)上的单调性，再求最小值；(2)根据f(x)min0求a的范围, 而求f(x)min应对a分类讨论.解(1)当 a = 2时，) = x+ 2X+ 2, f，(x) = 1亲0, x1, +却，17即 f(x)在1, +oo)上是增函数，f(x)min = f(1)=1+2=7.4 分2 A |2a(2)f(x) = x+；+ 2, x 1, +oo). X法一：当a00时，f(x)在1, +oo)内为增函数.f(x)min= f(1) = a+ 3.要使f(x)0在xC 1, +oo)上恒成立，只需a+ 30, 3 a0 0.7 分当00, a 3,.00,

10、 vx1, /.x2 + 2x+a0, 8 分 X；a(x2+2x),而一(x2+2x)在x= 1时取得最大值一3,. 一 32)的最大值为x 11,2 法一：./(x) =.x2 时，f (x)0 包成立，XTf(x)在2, +oo)上单调递减，f(x)在2, +8)上的最大值为f(2) = 2.法二:法二:x x1+11.f(x)=口=1+x1abcA.C.bacD.bcaB玛上扫一招abcA.C.bacD.bc2, . x- 11, -0 xZW1,因为函数y= 0.6x是减函数，因为函数y= 0.6x是减函数，00.61.5,例3-2f(x)是定义在(0, +oo)上的单调增函数,满足

11、f(xy) = f(x) + f(y), f(3)=1,则不等式f(x) + f(x所以 仁。6。(2015 山东高考)设 a = 0.60.6, b=O.6(2015 山东高考)设 a = 0.60.6, b=O.61 * * *.5, c=1.50.6,则 a, b, c 的大小关系是(B.acb+ 00)上是增函数，110.6= 1,即 c1.综上，bac.?角度2解不等式-8)0,+ 00)上的增函数，所以有x x 80, 解得81,(1)D (2)(2,3当a = 0时，f(x)=2x3,在定义域R上是单调递增的，故在(8, 4)上单调递 增；当aw0时，二次函数f(x)的对称轴为x

12、= -1,a因为f(x)在( 8, 4)上单调递增，所以 a4,解得1&a 1,fa1,则有a 20,即a2,f1 产 0,a-2-10,解得2a3,即实数a的取值范围是(2,3.规律方法1.比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函 数的单调性解决.解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将f符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.利用单调性求参数.视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区问， 与已知单调区间比较求参数.易错警示：(1)若函数在区间a, b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.名师微博目思想与方法.判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论.(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数.(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单 调性.(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性.求函数最值的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)换元法：对比较复杂的函数可