单相正弦交流电路

1、第 4 章单相正弦交流电路【教学提示】本章是全书的重点内容之一，首先介绍了正弦交流电的三个要素，然后主要介绍相量法，并以相量法为工具分析单一参数的正弦交流电路、阻抗、RLC 串联交流电路和串联谐振现象，最后讨论正弦交流电路的功率及功率因数。【教学要求】理解正弦交流电的三要素；掌握正弦交流电的相量表示法；理解电路基本定律的相量形式；掌握单一参数的正弦交流电路的计算；理解阻抗的概念，掌握阻抗的计算；掌握用相量法和相量图分析和计算正弦交流电路的方法；掌握有功功率、无功功率、视在功率和功率因数的含义及计算了解串联谐振的条件及特点。4.1正弦交流电的基本概念在日常生活和生产实践中广泛使用交流电，其中又以

2、正弦交流电应用最普遍。正弦交流电是指大小和方向均随时间按正弦规律作周期性变化的电量，包括正弦交流电压u、正弦交流电流i等。下面以正弦电流为例来说明正弦量的三要素，正弦电流的波形如图所示，49im0t（ rad）T图正弦电流的表达式为iI m sin( t)式中， i 表示正弦电流在任一瞬间的值，称为瞬时值； I m 为正弦电流的最大值，也称为幅值；为正弦电流的相位角，简称相位或相角。幅值、角频率和相位是确定正弦量的三个量，称为正弦量的三要素。周期、频率和角频率正弦量的每个值在经过一定的时间后重复出现，重复出现一次所需要的时间称为周期，用 T表示，单位为秒（s）。周期的倒数即每秒内重复出现的次数

3、称为频率，用f 表示，单位为赫兹（HZ ），简称赫。f1T在高频电路中常用千赫（103HZ ）、兆赫（ 106HZ ）为单位。我国和大多数国家的电力标准频率为 50HZ ，这种频率应用广泛，称为工频。通常的交流电动机和照明线路都采用这种频率。有些国家的工频采用 60HZ ，如美国、日本等。为什么将工频定为50HZ?人眼对光的感觉是有惯性的（视觉暂留现象）。如果用 5HZ 的交流电来照明，那么白炽灯泡将是一灭一暗地闪烁，给人一种错乱的感觉。也就是说，5HZ 的交流电其变化时间已经大于人眼的惯性时间。如果把频率提高到20 30HZ 时，人眼就不会感觉到灯泡的闪烁了。从这一点上来说， 30HZ 是一

4、个合适的下限频率。频率的上限也并非越高越好，太高了也会引起麻烦。比如用2000HZ ，一切电机中的铁损将增加 40 1600 倍，输电线将对电话线产生感应噪声，使通话受到干扰。1900 年，英国当地规定的电力系统中发电机的最高转速是3000r/min ，对应的频率就是50HZ 。50HZ 是一个整齐的数字，便于记忆、运算。后来，随着科技的发展，采用的频率有升高的倾向。如美国根据欧洲的经验采用了60HZ 。倘若现在允许重新选择频率的话，也许人们要选择70HZ 或 80HZ 了。工业领域还是用其他的频率，如有线通信的频率为3005000HZ ；低频信号发生器发出的音频信号频率为20 20000HZ

5、, 飞机用电的频率为400HZ 。正弦量的变化快慢还可以用角频率表示，正弦交流电每变化一个周期，对应的角度就会变化 2弧度，因此5030 kHz - 3 104 MHz300 - 5000 Hz22 fT角频率的单位为弧度/秒（ rad/s）。工程中常用的一些频率范围：中频电炉的工作频率为5008000Hz ；高频电炉的工作频率为200300kHz ；无线电工程的频率为10430 1010Hz 。低频电子工程的频率为2020 103Hz 。有线通讯频率：无线通讯频率：幅值和有效值正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值，用小写字母表示，如i 、 u。瞬时值中的最大值，称为幅值，用大写字母加小写下标m 表

6、示，如 I m 、 U m 。瞬时值是随时间变化的，不便于反映它的实际效果，在电工技术中，常用有效值来衡量正弦电压和电流的大小，有效值用大写字母表示，如I、U。交流电的有效值是根据电流的热效应原理来规定的。在数值相同的电阻R 上分别接通一个正弦电流 i和一个直流电流I，如果在一个周期T 内所消耗的电能相等，则这个直流电流I 值就是正弦电流 i 的有效值。TRI 2TRi 2 dt0由此，正弦电流的有效值为1T2dtIiT0设 iI m sin(t) ，则其有效值为1Ti2dtI m2T2( tI m2T 1cos 2( t)I m2TI mITsin) dtdtT22T00T02即I m2I同

7、理，U m2UEm2E可见，正弦量的最大值是有效值的2 倍。51工程上一般所讲的正弦电压或电流的大小，都是指它的有效值。如电压表、 电流表测量出来的电压、电流值；电气设备的额定电压、额定电流均是指有效值。相位和初相位在上述正弦量中，t为正弦电流的相位角，简称相位或相角，相位的单位为弧度，工程上常用度作单位。正弦量在不同的瞬间，有着不同的相位，当t=0 时， iI m sin。其中，反映了正弦电流初始值的大小，称为初相位，简称初相。不同的相位对应不同的瞬时值，因此，相位反映了正弦量的变化进程。在正弦交流电路中，经常遇到同频率的正弦量，如图所示。设 i1I 1m sin(t1 ) 和 i2I 2m

8、 sin(t2 )i1i20t21图它们的相位角之差简称相位差，用表示。(t1 )( t2 )12即相位差是两个正弦量的初相角之差，下面来讨论两个同频率正弦量之间的相位关系：当120 ， i1 与 i 2 同相。当120， i1 超前 i 2 或 i 2 滞后 i1 。当1-2180， i1 与 i 2 反相。当1290 ， i1 与 i 2 正交。i1i1i2i2O tO t（a） i 1 与 i 2 同相（b） i1 超前 i252i1i1i2i2O tO t（c） i 1 与 i 2 反相（d）i1 与 i2 正交图【例 4.1】已知正弦电压的频率f50 HZ ，初相角，电压的有效值U2

9、20 V ，试求：41）电压的最大值；2）写出电压瞬时值的表达式；（3）求出 t0.0075 s 和 t0.0025 s 时的瞬时值。解：（1） U m2U2 220311 V（2）2f 250 100 （ rad/s）u311sin（100 t) V4（3）当 t0.0075 s 时， u311sin（1000.0075)311sin0 V4当 t0.0025s 时， u311sin（1000.0025)311sin 0.5311V44.2正弦量的相量表示法在分析正弦交流电路时，需要进行正弦量之间的运算，如加、减、乘、除。上一节我们已学习了两种正弦量的表示法：一是三角函数式，如iI m si

10、n(t) ；另一个方法是波形图，如图所示。但若用两种方法直接进行计算是很困难的，下面来介绍一种简便的方法相量法。相量表示法的基础是复数，即用一个复数来表示一个正弦量，表示正弦量的复数称为相量。复数复数可以在复平面上表示，在图所示的直角坐标系中，横轴为实轴，单位为+1，纵轴为虚轴，单位为+j ，实轴与虚轴构成的平面即为复平面。复平面上的任一个点都对应一个复数。+jbArOa+1图53复数 A 还可以在复平面上用向量OA 表示， r 为复数 A 的模， OA 与实轴参考方向的夹角就是辐角，在实轴上的投影为复数的实部a，记作e ( A)a ；在虚轴上的投影为复数的虚部b，m ( A)b 。由图知：r

11、a 2b 2r cos b r sinarctan ba1.复数的表示形式（1）代数式Aajb其中 j 为虚数单位，j1 。（数学中用i 表示，在电工学中，为了避免与电流混淆，改用 j 表示。）（2）三角函数式由上式 ar cos和 br sin得：Ar cosjr sin（3）指数式根据欧拉恒等式e jcosj sin可得指数式Are j4）极坐标式在工程上，把指数式记作Ar称为复数的极坐标式。【例 4.2】把复数A6j8 化为三角函数式、指数式和极坐标式。解：ra2b 26 28 21054arctan b53a三角函数式：A 10 cos53j10 sin 53指数式：A10e j 53

12、极坐标式：A10532.复数的运算1）复数的相等当两个复数用代数式表示时，若它们的实部和虚部分别相等，则这两个复数相等。当两个复数用极坐标式表示时，若它们的模和辐角分别相等，则这两个复数相等。【例 4.3】已知复数A1a1jb1 ， A2a2jb2 ，当满足什么条件时，A1A2 。解：若 A1A2 ，需满足实部和虚部分别相等。即：a1a2 ， b1b2（2）复数的加减运算当两个复数进行加减运算时， 通常用代数式进行运算， 实部与实部相加减， 虚部与虚部相加减，得到一个新的复数。由此可得：e ( A) =e ( A1 ) + e ( A2 ) =a1+a2m ( A) =m ( A1 ) +m

13、( A2 ) =b1+b2【例 4.4】已知复数 A13j 4， A2 2 j ，求 A A1A2解：A A1A2(3j4) ( 2 j ) (3 2)j (4 1) 5 j53）复数的乘除运算当两个复数进行乘法运算时，通常用极坐标式进行运算，模与模相乘，辐角与辐角相加，得到一个新的复数。当两个复数进行除法运算时，通常也用极坐标式进行运算，模与模相除，辐角与辐角相减，得到一个新的复数。【例 4.5】已知复数 A16j8 ， A2 4A1j3 ，求 AA255解：A16j810532 90A4j3537A2注意：求辐角时，先看复数在哪个象限，这样求出的辐角不易出错。正弦量的相量表示法1.相量一个

14、正弦量是由幅值、角频率和相位三个要素确定的，在分析正弦交流电路时，正弦电压和电流的激励和响应都是与电源同频率的正弦量，频率是不需要再分析了，只需确定幅值 （或有效值）和相位（或初相位）即可，而复数由模和辐角两个要素确定，所以正弦量就可以用复数来表示。复数的模即为正弦量的幅值（或有效值） ，辐角即为正弦量的初相位。为了与一般的复数相区别，在电工学中把表示正弦量的复数称为相量。用大写字母上打?表示，相量包括最大值的相量（I m 、 U m ）和有效值的相量（I 、 U ），加下标 m 相区分。如正弦电流 iI m sin(t)2 I sin( t) ，则最大值的相量为I mI m有效值的相量为II

15、两者之间的关系为I m2I需要注意的是： 相量只表征出了正弦量的两个要素， 而正弦量表征出了三个要素。 相量仅仅是表示正弦量的方法，但它并不等于正弦量。即I i2.相量图电压相量 U 和电流相量 I 是一个复数， 因此可以将相量在复平面上用有向线段来表示。相量在复平面上的表示图为相量图，其中有向线段的长度为其有效值或最大值，线段与横轴之间的夹角为其初相位。相量图中一般把与实轴方向相同的相量作为参考相量，其辐角为零。I I 0为使相量图中各相量间的关系更清楚，坐标轴往往不必画出， 参考相量仍然画在图中。如在4.2.2 所示图中电压相量 U 和电流相量 I的相量图。56UIuiO图只有同频率的正弦

16、量才能画在同一个相量图中进行运算与比较，不同频率的正弦量无法进行运算和比较。【例4.6】在图所示的相量图中,已知 U=20V ， I 152 ， I 2 =10A ，它们的角频率是W,试写出各正弦量的瞬时表达式及相量。I1060UI2图解：电压为参考相量，则U200VI 1超前于 U 90 ，因此I 152 90AI2 滞后于 U 60，因此I 21060A各瞬时值表达式为：u202 sinti110 sin( t90 )i 210 2 sin(t60 )【例 4.7】已知正弦量 i 141.4sin(314t) A 、 u 311.1sin(314t) V ，求 i 、 u 有效36值的相量

17、，并画出相量图。解：（1）由 I m2I 得57I141.4100 A2则I10060 A由 U m2U 得U311.1220 V2则U22030 V（2）画相量图U2203060100I图4.3KCL 、 KVL 的相量形式KCL 、 KVL 是分析各种电路的基本依据，在正弦交流电路中也是如此，本节将讨论KCL 、KVL 的相量形式。KCL 的相量形式在正弦交流电路中，在任一瞬间，通过任一节点电流的代数和恒等于零，即nki k01则所对应的相量的和也为零nI k0k1nik 0 即 i1 i 2.i n 0证明：因k1因I m ej ( t)（t）（t）I m cosjI m sin58所以

18、 i I m sin(t) 是上式的虚部，记作i I m sin(t) =m I m e j (t)设i1I 1m sin( t) ， i2I 2 m sin(t) . inI nm sin( t)则：i1m I 1m ej ( t1 ) ， i 2m I 2 me j ( t2 ) ， . i nm I nm e j ( tn )因此i1 i 2.i nm I1 mej ( t1)+mI 2m ej ( t2)+m I nm ej ( tn )=m I1m ej ( t1)I 2m ej ( t2 )I nm ej ( tn )=m I 1m e j t e j=j t1m ejm e （I

19、1I 2 m e jt e j 2 .I nm e j t e j n1I 2 me j 2.I nm e j n ）j tI.I ）=m e （I1m2mnm因为 i1 i 2 . i n0 ，因此I1mI 2m.I nm0对于有效值的相量同样满足I 1I 2.I n0即nI k0k 1KVL 的相量形式在正弦交流电路中，若在任一瞬间，沿任一回路各支路电压的代数和恒等于零即nuk0k 1则所对应的相量的和也为零nU0k 1【例4.8】已知， i1 8 2 sin(t90 ) A， i24 2 sin t A， i3 10 2 sin( t180 ) A，若i i1 i 2i3 ，求总电流 i

20、 。解：59由各电流的表达式的写出其最大值的相量，则有I 1m8290AI 2m420AI 3m102180 A因 i i1 i 2i 3 ，则由 K CL 的相量形式得：I mI 1mI 2mI 3 m代入数据得I m8 290420102 180I mj8 2 4 2 10 26 2 j 8 210810 21 2 72 arctanc6则总电流i102 sin(t127 )A元件伏安关系的相量形式实际电路中有三种参数： 电阻、电感和电容。 当一个实际元件中只有一个主要参数起作用时，可以把它看作是单一参数的理想电路元件。 只要掌握了单一参数交流电路中电压与电流及功率的关系，就可以方便地分析

21、计算复杂交流电路， 因此掌握单一参数的正弦交流电路的分析与计算是非常重要的。在以下的推导过程中， 设元件两端的电压和流过元件的电流均采用关联参考方向。 并设电压、电流的瞬时表达式分别为：u2U sin(tu )i2I sin( ti )则代表它们的相量分别为：UUuIIi1、电阻元件的正弦交流电路iR+uu、iuiIU u= iOt（a）电路（b）电压电流波形（ c）相量图60图电阻元件的正弦交流电路在图（a）所示电阻元件，电压电流方向如图，下面分析电压与电流及功率的关系。1.瞬时值关系由欧姆定律得uRi则uR iR2I sin( ti )2RI sin(ti ) V因u2U sin(tu )

22、V则UR Iui2.有效值关系由上式可得其有效值的关系为UR I4.相量关系由电压电流的相量UUuIIi得其相量关系为UUuUIIi因ui ，所以IuiUU0RII该式为电阻元件的电压与电流的关系。4.相位关系电压与电流的相位差用表示ui0由此可以看出，电阻元件的电压和电流同相位，电压电流波形如图（ b），相量图如图61（c）所示5.功率关系（1）瞬时功率电路中任一瞬间吸收或发出的功率称为瞬时功率， 用小写字母 p 表示。它等于瞬时电压 u和瞬时电流 i 的乘积。p ui2U sin( tu ) 2I sin( t（i）i ) UI cos UI cos 2 t u对于电阻电路，因此还可进一步

23、化简为：uipUI 1cos（2tu）由上式可知 p 总为正值， 所以电阻元件消耗电能。电阻的瞬时功率是由两部分组成的，一部分是常量 UI ，另一部分是幅值为UI ，并以 （t）UI cos（2 tu），2u角频率变化的周期量其曲线如图 4.4.2 所示。u、 iui0tpUI0t图电阻瞬时功率曲线2）平均功率（ mean power）：瞬时功率随时间变化， 负载消耗的功率通常用其平均功率来说明， 平均功率是指一个周期内瞬时功率的平均值。11（）2TTI2UPpdtTUI 1 cos 2t udt UIRT00R可见，平均功率与直流电路中功率计算公式完全相同。 它代表电阻实际消耗的功率， 又称

24、为有功功率。通常所说的灯泡、电熨斗及电烙铁等的功率都是指有功功率。【例 4.9】已知一个电阻R=440 ，将其接在电压U=220 V 、 50HZ 的交流电路上，试求1）电流 I 和功率 P；2）如将电源的频率改为 100HZ ，试问此时电流变不变？解：1）电流为U220I0.5AR44062功率为 P=UI =220 0.5=110W（2）因为电阻元件与频率无关，故电流不变。2、电感元件的正弦交流电路u、iuUIiiLui+u-0tiu（ a）电路（b）电压电流波形（ c）相量图图电感元件的正弦交流电路在图（ a）所示电感元件，电压电流方向如图，下面分析电压与电流的瞬时值关系及功率的关系。1

25、.瞬时值关系在关联参考方向下，L di dt因i2I sin( ti )则diI cos(t i )u LL 2dt2 LIsin( t 90i )又因u2U sin(tu )则ULIui 902.有效值关系由上式可得其有效值的关系为ULIL 单位为欧姆。电压 U 一定时L 越大电流I 越小，可见它对电流起阻碍作用，称为感抗X Linductiv e r ectance）。X LL 2 fL63由该式可知感抗X L 与电感 L、频率 f 成正比。对于直流电路，f =0， X L0 ，因此电感在直流电路中相当于短路。4.相量关系电感元件的电压与电流的相量关系为UUuUIIiI因ui90 ，所以U

26、Uui90jX LI该式为电感元件的电压与电流的相量关系。4.相位关系ui90由此可看出，正弦交流电路中电感元件两端的电压比电流相位上超前90o，电压电流波形如图（ b），相量图如图（ c）所示5.功率关系1）瞬时功率（ instaneous power ）电感瞬时功率为puiUI cos UI cos(2t ui )对于电感电路ui90，因此还可进一步化简为：p UI sin 2( ti )由此可知，电感的瞬时功率是是以两倍电流角频率作正弦变化的，幅值为UI ，其曲线如图4.4.4 所示。uu、ii0tiu64pUI0t图电感瞬时功率曲线2）平均功率（ mean pow er）：电感元件电路

27、中的平均功率即有功功率：1T1Ti ) dt 0PpdtUI sin 2( tT0T 0由此可见，电感元件不消耗有功功率，而只有与电源之间进行能量交换。（3）无功功率（ power）电感与电源之间的能量交换规模用无功功率QL 来衡量，并规定其数值等于瞬时功率的最大值。QLUII2XLU2X L为了与有功功率相区别，单位为乏（var）或千乏（ kvar ）。【例 4.10】已知一电感 L = 80 mH ，外加电压 uL = 100 2 sin(314t 65 ) V 。试求：（1）感抗 XL ；（2）电感中的电流 I L；（3）电流瞬时值 iL 。解：（1）电路中的感抗为（2）电感中的电流XL

28、 =L = 314 0.0825I LU L100X L4 A25（3）电感电流 iL 比电压 uL 滞后 90，则i L5.7 sin( 314t 25) A653、电容元件的正弦交流电路u、iiIuUiCiu+uCOtui（ a）电路（b）电压电流波形（c）相量图图电感元件的正弦交流电路在图（ a）所示电容元件，电压电流方向如图，下面分析电压与电流的关系及功率的关系。1.瞬时值关系在关联参考方向下，iduCCdt因u2U sin(tu )则i CduCC 2U cos(tu )C 2U sin t u 90dt又因i2I sin(ti )则CUu902.有效值关系由上式可得其有效值的关系为

29、U11IC2 fC1 单位为欧姆。 电压 U 一定时1越大电流 I 越小，可见它对电流起阻碍作用，称为容抗CCX C （ capacitiverectance）。11X C2 fCC66由该式可知容抗X C 与电容 C、频率 f 成反比。对于直流电路，f =0， X C ，因此电容在直流电路中相当于开路。4.相量关系电容的电压与电流的相量关系为UUuUIIi因iu90 ，所以IuiUU90jX CI该式为电容元件的电压与电流的关系。4.相位关系ui90由此可看出，正弦交流电路中电容元件两端的电压比电流相位上滞后90o，电压电流波形如图（ b），相量图如图（ c）所示5.功率关系（1）瞬时功率p

30、uiUI cos UI cos(2t ui )对于电容电路ui90，因此还可进一步化简为：p（）UI sin 2 tu由此可知，电容的瞬时功率是是以两倍电流角频率作正弦变化的，幅值为UI ，其曲线如图4.4.6 所示。u、 iiuOtui图电容瞬时功率曲线2）平均功率（ mean power）：电容元件电路中的平均功率即有功功率：1T1TPpdtTUI sin 2( tu ) dt0T0067由此可见，与电感一样电容元件不消耗有功功率，而只有与电源之间进行能量交换。（3）无功功率（power）电容与电源之间的能量交换规模用无功功率QC 来衡量，QCUI I 2XCU 2X C由上述可知， 电感

31、元件和电容元件都是储能元件，它们只与电源之间进行能量交换，而元件本身并不消耗能量。【例 4.11】已知一电容器的电容为2 F ，加在电容器两端的电压为10 V ，初相为 30，角频率为 106 rad / s。试求流过电容器的电流，写出其瞬时值表达式，并画出相量图。解：电容器两端的电压的相量U1030V流过电容器的电流IUj CU = j 106106210 30 20 120 AjX c其瞬时值表达式i28.3 sin(106 t120 ) A4.4串联交流电路4.4.1 电阻、电感、电容的串联电路由电阻、电感、电容相串联构成的电路叫做RLC 串联电路，本节主要分析RLC 串联交流电路电压和

32、电流的关系、串联电路的阻抗以及电路的性质。电路如图 4.5.1（ a）所示，由于通过三种元件的电流均相等，所以设电流为参考相量i2I sinti+ u R I+UR -+R+R+uLu LUjXLU LCjXC- uC +U C- +（ a）RLC 串联电路（b） 相量模型图681.RLC串联电路的电压、电流的关系（1）瞬时值的关系在图（a）中，由KVL 得：uu R u L uC则根据 R、 L、 C 的基本特性可得各元件的两端电压uR2 IR sintuL2IR sin( t90 )uC2 IR sin(t90 )则瞬时值关系为u2IR sint2 IR sin(t 90 )2 IR si

33、n( t 90 )（2）相量的关系因为瞬时值的关系 uuRu LuC ，根据 KVL的相量形式得UU RU LU C其中U RRIU LjX L IU CjX C I因此U U RU LU CI R j（ X LX C）（3）有效值的关系有效值的关系可以用相量图来求解，利用相量图可求出总电压与各元件电压、总电压与总电流的关系。 这里不给出具体数值，只在复平面上定性地画出，设 UL UC ，相量图如图 4.5.2 所示。U LUL UCUU RIU C图 4.5.2RLC 串联交流电路的相量图由相量图可得：U22（ U L2I2 R2（ X L2U RU C）X C）从相量图中可以看出，电压相量

34、UR、ULU C 、 U 组成直角三角形，称为电压三角形。69UULUCUR图电压三角形2.RLC串联电路的阻抗根据阻抗的定义可得RLC 串联电路的阻抗为：（）2（2XL XCZRjX LRX LX C）arctanR其中，UR2（X L2ZX C）Iuiarctan X L X CRUR2（ X L2因为 ZXC） 即I2R2（ X L2ZX C）可见， Z、R、XLX C 三者之间也满足直角三角形关系，称为阻抗三角形。ZX LX CR图阻抗三角形4.RLC串联电路的性质根据总电压与电流的相位差（即阻抗角）为正、为负、为零三种情况，将电路分为三种性质。当0时，即当0时，即当 0时，即状态（见

35、）。X LX C ，电压超前电流，电路呈感性；X LX C ，电压滞后电流，电路呈容性；X LX C ，电压电流同相，电路呈电阻性。电路处于这种状态时，叫做谐振【例 4.13】在 RLC 串联电路中， 交流电源电压 U = 220 V ，频率 f = 50 Hz ，R = 30，L = 382mH ， C = 40F。试求：1）电路中的电流大小 I ；2）总电压与电流的相位差；70（3）各元件上的电压U R、 UL、 UC。解：（1）电感的感抗X L 2 fL 23.1450 382 10 3120电容的容抗X C1802fC 23.14 50则电阻的阻抗模为：ZR2( X LXC )250因

36、此IU4.4 AZ（2）总电压与总电流的相位差为arctanX LX Carctan40R53.130即总电压比电流超前 54.1 ，电路呈感性。（3）各元件上的电压U RRI304.4132VU LX L I1204.4528VU CX C I804.435V2本例题中电感电压、 电容电压都比电源电压大，在交流电路中各元件上的电压可以比总电压大，这是交流电路与直流电路特性不同之处。对于 RL 串联电路，只要将 RLC 串联电路中的电容C 短路去掉，即令XC= 0，UC = 0，则有关 RLC 串联电路的公式完全适用于RL 串联电路。对于 RC 串联电路，只要将RLC 串联电路中的电感L 短路

37、去掉，即令XL = 0，UL = 0，则有关 RLC 串联电路的公式完全适用于RC 串联电路。【例 4.14】在 RC 串联电路中，已知：电阻R = 30 ，电容 C = 250 F，外加电压为u 141.2sin 100tV ，试求：（1）电路中的电流I ；（2）各元件电压UR、 U C；（3）总电压与电流的相位差。解：（1）电容的容抗为：X C1140C100250串联电路的阻抗模71ZR2X C250则总电流为U2 AZ（2）各元件上的电压U RRI 30260VU CX C I402 80V显然 UU R2UC2 。（3）arctan( X C )arctan( 80 )53.1，即总

38、电压比电流滞后54.1 ，电路呈容性。R604.4.2阻抗的连接（1）串联在（ a）所示的相量模型图中，有n 个阻抗串联，通过每个阻抗的电压为U 1Z1 I 1 ， U 2Z2 I 2 ， U 3Z 3 I 3 .U nZ n I n总电压为ZI在串联电路中，总的电压等于每个阻抗的电压的和。UU 1U 2U 3 .U n即ZIZ1 I 1Z 2 I 2Z3 I 3.Z n I n通过每个阻抗的电流与总电流相等，即II1I 2I 3.I n则ZZ1Z 2Z 3.Z n由此可得多个阻抗串联时，总的阻抗的值等于每个阻抗的和。+IZ1+II 1I 2U 1UUZ1Z2Z2+U 2（ a）两个阻抗串联（

39、 b）两个阻抗并联图 4.4.2（2）并联在 4.4.2（ b）所示的相量模型图中，有n 个阻抗并联，通过每个阻抗的电流为72I 1U1， I 2U2， I 3U3. I nU nZ1ZZZ n23总电流为IUZ在并联电路中，总的电流等于每个阻抗的电流的和。II1I 2I 3. I n即UU1U 2U 3.U nZZ1Z 2Z3Zn通过每个阻抗的电压与总电压相等，即UU 1U 2U 3.U n则1111.1ZZ1Z2Z 3Z n由此可得多个阻抗并联时，总的阻抗的倒数等于每个阻抗的倒数和，可见阻抗的连接与电阻的连接类似。【4.12】图 4.4.3所示电路，已知： I S490， Z1j 30，

40、Z 2 30 ， Z 3 j 30，Z 4j 15 。求： I和 U 1Z3I+II s+U OCZ4 -Z4Z1 U1Z2-Zi（ a）（ b）图解：先求图中虚线框内的戴维南等效电路：U OCI SZ1Z2j 3030Z1Z 24 90j 303060 j 6084.8545V戴维南等效复阻抗Zi 为：73Z iZ 3Z1Z 2j 30(15j15)15j15 Z1Z 2组成等效电路如图4.4.3（ b），则 I为：IU OC84.85455.745AZ iZ 415 j15 j15再由图（ a）可得：U 1I (Z3 Z4)5.7 45( j 30j15)84.85135 V4.5并联交流

41、电路前面讲述了单一参数的正弦交流电路，但在实际电路中，往往是由两个或两个以上参数的元件所组成的电路，本节主要讨论由R、 L 、C 三种元件组成的串联和并联交流电路的电压与电流的关系。由电阻、电感、电容相并联构成的电路叫做RLC 并联电路，并联结构的形式很多，下面就以 RLC 并联交流电路为例来分析并联电路的电压和电流的关系、并联电路的阻抗以及电路的性质。II+IRILIC+IRI LI CURjXL- jXCURj XL- jXC-（a）RLC 并联电路图（b）相量模型图电路如图（ a）所示，由于通过三种元件的电压均相等，所以设电压为参考相量u2U sint1.RLC串联电路的电压、电流的关系

42、（1）瞬时值的关系在图（a）中，由KCL 得：ii Ri LiC则根据 R、 L、 C 的基本特性可得各元件的电流i R2 U sintRi L2 U sin(t)X L2i C2Ut)sin(X C274则瞬时值关系为i i Ri Li C2Ut2Ut)U)sinsin(2sin( tRX L2X C2（2）相量的关系因为瞬时值的关系ii Ri Li C ，根据 KCL 的相量形式得II RIL IC其中I RURI LUjX LI CUjX C因此I111U j ()RX CX L（3）有效值的关系有效值的关系可以用相量图来求解，利用相量图可求出总电流与各元件电流、总电流与总电压的关系。这

43、里不给出具体数值，只在复平面上定性地画出，设ILIC ，相量图如图4.5.5 所示。I LI LI CII RUI C图RLC 并联交流电路的相量图由相量图可得：I2I2（I L2RI C）从相量图中可以看出，电压相量IR、 ILI C 、 I 组成直角三角形，称为电流三角形。II LI CI R图电流三角形上式称为电流三角形关系式。752.RLC并联电路的导纳在 R、L 、C 并联电路中，有I RUGUI LUBLU ， ICUR，X LBCUX C其中 BL1 叫做感纳、 BC1叫做容纳，单位均为西门子(S)。于是X LX CII2( ICIL) 2U G2(BCB )2RL令Y I，则U

44、YG2(BCBL )2G2B2上式称为导纳三角形关系式，式中 | Y| 叫做 R、L、C 并联电路的导纳， 其中 B = BC BL 叫做电纳，单位均是西门子 (S)。导纳三角形的关系如图4.5.7所示。YBLBCG图 4.5.7导纳三角形电路的等效阻抗为ZU11IY22GB由相量图可以看出总电流i 与电压 u 的相位差为arctan I CI Larctan BCBLarctan BI RGG式中 叫做导纳角。由于阻抗角是电压与电流的相位差，因此有BarctanG4.RLC并联电路的性质同样是根据电压与电流的相位差（即阻抗角）为正、为负、为零三种情况，将电路分为三种性质：当 B0时，即 BC

45、 XL ， 0 ，电压 u 比电流 i 超前，称电路呈感性；当 B0时，即 BCBL，或 XCXL ， R，Q0 叫做谐R振回路的空载Q 值，实际电路一般都满足该条件。（2）并联谐振电路的特点电路的总阻抗最大，总电流最小。谐振阻抗和电流分别为Z0R(1Q02)Q02RLCRI 0UZ 0谐振时两支路可能产生过电流谐振时 XLXC，则电感支路电流与电容支路电流为85IL ICUUQ0I 0X CX L即谐振时各支路电流为总电流的Q0 倍，所以 LC 并联谐振又叫做电流谐振。（3）并联谐振电路的应用并联谐振电路主要用来构造选频器或振荡器等，广泛用于电子设备中。电路对电源E 某一频率谐振时，谐振回路

46、呈现很大阻抗，因而电路中电流很小。这样在内阻R 的压降也很小。于是在 A 、B 两端就得到一个高电压输出，而对于其他频率，电路不发生谐振，阻抗较小，电流就较大，在内阻 R 的压降也较大，使这些不需要的频率信号在A 、B 之间所形成电压很低。这样便起到了选择信号的作用。收音机、电视机中的中周变压器就是由并联谐振电路构成的。谐振是电路的一种特殊情况，这时电路会出现一些特殊现象，只有充分认识这些现象，才能在实际应用中做到趋利避害。【例 4.16】某一收音机的调谐电路中，天线电感L =500 F，可变电容器为 20 270PF。求对 560kHz 和 990kHz 电台信号谐振时的电容值。解：1由 f

47、 0可得2LCC12 f 02 L41）当 f0=560kHz 时，C11161PF4 2 f 02 L4 3.142(5.6 105 ) 2500 10 62）当 f0=990kHz 时，C1152PF2 f2 L4 3.14 2(9.9 105 ) 2500 10 6404.9非正弦周期信号前面讨论的是正弦交流电路， 其中电压和电流都是正弦量。 但在实际的应用中我们还常常会遇到非正弦周期的电压或电流。 如电子电路中广泛应用的方波信号、 锯齿波信号、 全波整流信号等都是非正弦周期信号。86图非正弦周期信号非正弦周期信号非正弦周期信号产生的原因主要有：1.电路中所加的电源或信号源的电压或电流是

48、非正弦周期信号时， 电路各处产生的电压或电流一般是非正弦的。 2.电路中有几个不同频率的电源同时作用时，则电路中各处产生的电压或电流一般是非正弦的。3.电路中存在非线性元件，即使在正弦电源的作用下，电路中各处产生的电压或电流也是非正弦的（如二极管整流电路） 。在电工电子技术中有时会遇到非正弦周期信号，非正弦周期信号可以用一个周期函数来表示，即： f t f t kT k 0,1,2,3,4,其中， T 为非正弦周期信号的周期。根据数学中傅立叶级数理论， 任何满足狄里赫利条件的周期函数都可以展开成三角级数， 即傅里叶级数。f (t)A0A1m sin( t1 )A2 m sin(2 t2 )Ak

49、m sin(ktk )A0Akm sin( k tk )k 1其中 Aa，称为恒定分量或直流分量，也是一个周期内的平均值；Asin( t1) 的频001m率与非正弦周期函数的频率相同，称为基波分量或一次谐波分量；A2m sin(2t2 ) 的频率是非正弦周期函数的频率的二倍，称为二次谐波分量；其余各项的频率为周期函数的频率的整数倍，分别为三次、四次、 k 次谐波等等。除恒定分量和基波外，其余分量统称为高次谐波。常见非正弦周期函数的傅里叶级数如下：正弦波：f (t )Am sint梯形波：4Am111三角f (t )a(sin a sin t9sin 3a sin 3 t )25sin 5a s

50、in 5 tk 2 sin ka sin k t)波：87k1f (t)8Am(sin t1 sin 3 t1 sin 5 t(1)2sin k t)2925k 2矩形波：f (t)4 Am(sint1t11t)sin 3sin 5 tsin k35k锯齿波：f (t)AmAm (sint1sin 2t1sin 3 t .1sin kt.)(k1,2,3.)223k半波整流：f (t )2 Am1cost1t1cos4t(cos23241351cos kt2 coskt.)( k2,4,6.)5cos6k 271全波整流：2 Am ( 111cos kf ( t)3cos 2tcos 4tk

51、22cos k t.)(k2,4,6.)21351为直观地表示非正弦周期信号分解后各次谐波分量相对大小随频率改变的关系，可以用长度与直流分量和各次谐波分量幅值大小相对应的线段，按频率的高低依次排列起来，构成频谱图，如图所示。AkmA1mA2m A3m A4mA5m0k2345图 5.1.2 频谱图图中的每一条竖线代表一个谐波分量的幅值，称为谱线， 各谱线在横坐标上的位置是相应谐波的角频率。 将非正弦周期信号分解，各次谐波的幅值及初相表示后，各次谐波分量幅值的大小一目了然。非正弦周期信号的有效值、平均值、平均功率1、 非正弦周期信号的有效值非正弦周期信号的有效值等于其瞬时值的方均根值，即：1 T

52、 i 2 dt T 0该式不仅适用于正弦量，也适用于非正弦的周期量。88若某非正弦的周期电流已分解成傅立叶级数iI 0I km sin( ktk )k 1则其有效值为I10TI 0I km sin(ktk ) 2 dtTk 1II021I02I12I 22由正弦函数的正交性，可求得I km22 k 1其中，I1I1m ,I2I 2m ,I 1， I2 等 分别为基波、二次谐波等的有效值，它们本身都是正弦波。可22见各有效值等于1其相应幅值的。同理，非正弦周期电压的有效值为2UU02U12U22由此可得，非正弦周期信号的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。2、非正弦周期信号的平均值

53、非正弦周期电流和电压在一个周期的平均值，等于其恒定分量：I 01TidtT 0U 010T udtT3、非正弦周期信号的平均功率非正弦周期电流电路的功率是由瞬时功率的平均值来确定的，P10T pdt10T uidtTT设非正弦周期电压和电流如下：uU 0U km sin ktkuk 1iI 0I km sin k tkik 1由平均功率的公式可得平均功率为：89PU 0 I 0U k I k coskk 1U 0 I 0U 1I 1 cos 1U 2 I 22其中 U kU km ， I k I km 分别为第 k 次谐波电压、电流的有效值。kkuki 为第 k 次22谐波电压、电流的相位差。由此可得，非正弦周期信号电路的平均功率是直流分量和各次谐波单独作用时所产生的平均功率的总和。非正弦周期电路的计算前已