妙用平几知识解决解几高考试题

1、高中数学精品资料群 284110736妙用平几知识解决解几高考试题众所周知,圆锥曲线试题是高考的一大“拦路虎”.不管是教师还是学生,在解决方法上往往过分强调“纯代数”的解法.即通过引进坐标系,建立点与坐标,曲线与方程之间的对应关系,将几何问题转化为代数问题,从而用代数方法研究几何问题.这些方法属于通性通法,固然是必须重点讲解和掌握的,但是它们的计算量偏大,很多考生就是因为冗长的计算半途而废.因此,如何另辟蹊径,减少运算量是高三一线老师必须认真思考的问题.圆锥曲线属于解析几何的内容,几何是学生在初中就已经接触到的知识.学生在初中就已经学习了平面几何的一些性质,再加上高中几何知识的补充与强化,学生

2、有了较为全面的平面几何知识,较好的应用平面几何的能力.因此,在解决圆锥曲线的相关问题中,如果我们能够将平面几何的知识应用上去,抓住解析几何问题的本质特征“几何性”,结合圆锥曲线的知识进行求解,那么可以使问题的解决变得清爽简明,自然简约,收到事半功倍的效果.二举例类型1:三角形或梯形中位线的性质例1:2019年浙江卷理科第15题已知椭圆的左焦点为,点在椭圆上且在轴的上方.若线段的中点在以原点为圆心,为半径的圆上,则直线的斜率是图1解析:如图1,设椭圆的右焦点为,线段的中点为,连接.由已知有,.由可得.故.作,则,所以直线的斜率是.分析:观察图形不难发现是三角形的中位线,结合中位线的性质和椭圆的性

3、质,将直线的斜率转化成例2.2017年全国II卷第16已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点若为的中点，则 图2解析:如图2所示,不妨设点位于第一象限,设抛物线的准线与轴交于点,作 于点,于点,由抛物线的解析式可得准线方程为,则,在直角梯形中,中位线,由抛物线的定义有,结合题意有 ,故分析:借助梯形中位线的性质,充分运用平几知识,结合抛物线性质求解.类型2:等腰三角形的性质或判定例3:2019年江苏卷理科第17题如图3,在平面直角坐标系中,椭圆:()的焦点为,.过作轴的垂线,在轴的上方,与圆交于点,与椭圆交于点.连接并延长交圆于点,连接交椭圆于点,连接.已知.(1)求椭圆的标准方程;(

4、2)求点的坐标. 图3解析:由(1)知椭圆方程为.如图3,连接.由于,所以,故.又,所以,故有,所以,故轴,所以点.分析:充分挖掘图形中隐含的几何关系,紧扣三角形和是等腰三角形,等量代换得到,从而有例4:2016年全国I卷理科解几压轴试题设圆的圆心为,直线过点且与轴不重合.交圆于,两点,过作的平行线交于点.(1)证明为定值,并写出点的轨迹方程.(2)略.图4解析:显然圆的圆心为,半径为.如图4所示,由于,故为等腰三角形,所以.又,所以,因此有,故.此时为定值.因为,为定点,为动点,根据椭圆的定义,点的轨迹是以,为焦点,为长轴长的椭圆.即,点的轨迹方程为.分析:本题既运用等腰三角形的性质,又运用

5、等腰三角形的判定,结合椭圆性质求解.类型3:圆的性质例5:2019年全国I卷文科第21题已知关于坐标原点对称,圆过点且与直线相切.(1)略.(2)是否存在定点,使得当运动时,为定值?并说明理由.解析:设.由已知有,.在直角三角形中,由得.故圆心的轨迹是抛物线,轨迹方程为.分析:对于第二问,解决的关键在于求出动圆圆心的轨迹方程.要抓住题目所给的几何特征.由题目条件可知两点是圆直径的两个端点,是运动的.由于圆经过所以圆心必定在线段的垂直平分线上.又圆与直线相切,所以动圆必须满足以下三个条件:1圆心在线段的垂直平分线上;2圆过点;3圆与直线相切.例6.2018年江苏卷第12题在平面直角坐标系中,为直

6、线:上再等一象限内的点,以为直径的圆与直线交于另一点.若,则点的横坐标为 图5解析:如图5所示,由已知可得.设直线的倾斜角为,则且,故,因而直线方程为,与直线:联立得点的横坐标为3.分析:结合图形运用平几知识可知为等腰直角三角形.观察图形发现直线的倾斜角与直线的倾斜角满足关系式,从而巧妙求出直线方程.本题充分运用平几知识,解题思路十分简洁,大道至简.类型4:三角形内角平分线定理例7:2013年山东高考理科第22题椭圆的左,右焦点分别是,离心率为,过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.()求椭圆的方程()()点是椭圆上除长轴端点外的任一点,连接,设的角平分线交的长轴于点,求的取值范围; 图6

7、解析:如图6所示,在中,因为平分,所以由三角形内角平分线定理可得解得又点是椭圆上除长轴端点外的任一点,所以即,解得分析:抓住图形特征,将几何中的“内角平分线定理”,“合分比定理”,“椭圆上的点到焦点的距离范围”巧妙地联系起来.类型5:正弦定理或余弦定理例8:2012年辽宁高考理科第20题设椭圆 的右焦点为,过点的直线与相交于,两点,直线的倾斜角为,求椭圆的离心率.(2)如果,求椭圆方程(略)图7解析:设为椭圆的左焦点.由已知有,=设,则在中,由余弦定理有,解得在中,由余弦定理有,解得故,解得分析:本题巧妙地在两个三角形中运用余弦定理,得到和的关系式,从而求出.整个解题过程避开了复杂的坐标运算,

8、联立直线方程与椭圆方程等等,给人一种耳目一新,清新脱俗的感觉.这就启发我们,当用常规解法比较难以入手时,不妨转而观察图形的几何特征,将几何元素研究清楚,运用相关的几何知识加以解决,这样往往会有出其不意的效果.类型6:三角形三边长的关系例9:2012年四川高考理科第19题已知椭圆的左焦点为,直线与椭圆相交于点,当的周长最大时,的面积是 图8 解析:设椭圆的右焦点为,根据椭圆的定义有,解得的周长=观察图形,有,当且仅当直线过右焦点时取等号.故,即的周长的最大值为.此时,因此面积为分析:本题用到几何中“三角形的两边之和大于第三边”这个重要结论来做.整个过程没有很复杂烦琐的计算,但是却处处洋溢着思维的

9、火花. 整个过程自然明了,大道至简. 类型7:综合性问题例10.2017年全国I卷第15题已知双曲线的右顶点为,以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点.若,则的离心率为 . 图9 解析:如图9所示,作,因为圆与双曲线的一条渐近线 交于两点,则为双曲线的渐近线上的点,且， ,而,所以,点到直线的 距离.在中，代入计算得， 即,由得,所以.例11:2013年全国卷高考理科第21题已知双曲线的左右焦点分别为,离心率为,与的两个交点间的距离为.（1）求,(略)（2）设过的直线与的左右两支分别相交于,两点,且.证明:成等比数列图10解析:由第一步可知,双曲线的方程为.根据双曲线的定义,有,(1)+(2)得.观察图形可知.作,则为中点.故由(1)有=在直角中, =即,解得故=显然,得证.分析:本题涉及众多几何元素,将平面几何元素的特征发挥得淋漓尽致.求解过程精彩纷呈,环环相