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1、对一道三角形题的再思考 题目 如图1，ABC中，C90，BC2AC，AD是BAC的平分线，求证：AB2BD5AC 这道题虽然已过去几年，但掂量起来仍很耐人寻味，发人深思，确是一道考察基础知识和应用能力的好题本题结论看起来令人望而生畏，但只要会分析，其实并不难 思考一 涉及的知识和方法 本题以直角三角形、角平分线、线段的2倍关系为出发点，涉及到的知识有勾股定理、角的对称性、全等三角形、相似三角形，涉及的解题方法主要是构造法解题的关键之一是要充分利用角平分线和BC2AC等条件解题以代数方法为主 思考二 本题的五种证法 1、从角平分线的对称性入手构造全等三角形 证法一 如图2，过点D作DEAB于点E

2、 EADCAD AEDACD，ADAD， ADEADC DCDE，AEAC在RtABC中，根据勾股定理，得 证法二 如图3，延长AC到点F，使AEAB，连结DF， 2、从角平分线构造等腰三角形入手证法三 如图4，过点D作DCAC交AB于点G，证法四 如图5，过点D作DHAB，交AC于点H，DHAH3、应用角平分线定理证法五 参见图1，AD平分BAC，BD：DCAB：AC 思考三 原题的推广与运用 1、推广 参见图1，ABC中，C90，BCkAC，AD是BAC的平分线求证ABkBD（k21）AC 这个命题不难证出，略 当k1时，就可得到新题： 在RtABC中，C90，ACBC，AD是BAC的平分线，求证： ABBD2AC （*） 2、运用 (1) 如图6，在ABC中，ACBC，C90，AD是BAC的平分线，求证：ABACCD (2) 如图7，在等腰RtABC中，C90，ACBC，AD平分BAC，交BC于点D，DEA

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