最新论文正文打印版

1、高等代数中，在讲到线性空间和线性变换时，一个主要内容是讨论矩阵对角化, 即在什么条件下矩阵与对角矩阵相似. 而矩阵对角化的原始问题是：设V 是有限维复线性空间 , A是 V 上的线性变换，能否在 V 中找到一个基 , 使得 A 在这个基下的矩阵比较简单 . 作为纯粹的几何问题就是 V 能否分解成一些不变子空间的直和 . 讨论这个几何问题的证明对于了解线性空间有很大好处. 本文将对 V 分解成所谓根子空间的直和给出一种较为初等的证明，并由根子空间分解定理推出线性变换( 或 n 阶方阵 ) 可对角化的充要条件 . 把这些充要条件与其他线性变换（或n 阶方阵）可对角化的充要条件进行汇总比较，从而得到

2、线性变换的矩阵对角化的方法的优劣，便于学习和研究根据具体情况选用.1 预备知识1.1 有关定义定义 1.1.1 1线性空间 V 一个变换 A 称为线性变换，如果对于V 中任意的元素和数域 P 中任意数 K 都有A(+)=A（）+A（）A ( k） = k A ()定义 1.1.2 1设 A 是数域 P 上的线性空间 V 的线性变换， W 是 V 的子空间，如果 W 中的向量在 A 下像仍在 W 中，换句话说，对于W 中任一向量，有 AW ,我们就称 W 是的 A 不变子空间，简称A -空间 .定义1.1.31 设V1 ,V2 线性空间V 的子空间，如果和V1 +V2 中每个向= 1 +2 ,

3、1V1,2V2 是唯一的 ,这个和就称为直和 .定义 1.1.4 1如果数域 P 上的 n 阶矩阵 A 相似于对角阵，则A 可对角化定义 1.1.5 1设 A 是数域 P 上的 n 阶矩阵，如果数域 P 上的多项式fx 使得 fA = 0,则称 fA 以 A 为根 .在以 A 为根的多项式中次数最低且首相系数为1 的多项式称为A 的最小多项式 .1矩阵对角化问题定义 1.1.6设 A 是数域 P 上的 n 维线性空间 V 的线性变换，如果存在非零向量V ,数P , mN,使得 ( A) m0 ，那么称为属于的根向量 . 线性变换 A 的属于特征根的根向量的全体，再添上零向量所组成的V 的 子集

4、是 V 的一个子空间，称 V 的这个子空间为 A 的属于特征值的根子空间 .Sylvester不等式设 A, B 均为 n 阶矩阵，秩（ A ） +秩 ( B )n +秩（ AB ）1.2线性空间根子空分解定理引理 设 A 是 n维复线性空间 V 的线性变换 ,1 , 2.s 是 A 的所有不同的特征值 , 且VV 1V 2.V s 其中 V 1 ,V 2,., V s 是V 的全部根子空间 , 则 Ai在 V i上为幂零线性变换 , 而在 V1V 2.V i 1V i 1.V s上为可逆线性变换 .证明 不失一般性 ,只证明 A1在 V 1 上为幂零线性变换 ,而在V2V 3.V s上为可逆

5、线性变换 . 在 V 1 中取一个基1,2. t ,则有正整数 p1, p2 . pt, 使(A1) pii0,i =1， 2， , t , 取 p = maxp1, p2 .pt,有 Ap0 ,i =1 ,2 t,于是对任意V 1 ，1it1 ) p1 ) pt)=t1 ) P,即在V1令ki i , 则 ( A=(A(ki iki ( Ai0i 1i1i 1上,( A1 ) p =(为零变换 ) ,所以 A1在 V 1上为幂零线性变换 .令 W= V 2.V s,若(A1 )W不可逆 ,则(A1) W 一定有一个特征根是0,因而A1在 W 上有属于特征根 0 的特征向量 0(0W) ,即有

6、(A1)W0= ( A1 )0 =0, 亦即 A(0 )1 0(00).又 因0 W=V 2.V s, 所以有0 = 23. s , 其中 iV i( i =2 , ,s)于是有正整数 mi , 使 ( Ai)mii0, i =2 , ,s ,令A2m2 . Asms , 则 (i )=A2m2. Asmsi = 0 , i =2 , , s, 从而( 0 ) = (2) + + ( s)0 = 另一方面,因为,A()=( A)ms )m=m2.ms001 0， 又012 .( As0121s这就导致了矛盾 . 所以 A1在 V2. Vs上为可逆线性变换 .2定理 1.2.1 ( 根子空间分解

7、定理 )设 A 是 n 维复线性空间 V的线性变换 ,1 ,2. s 是 A的所有不同的特征值 ,V是属于i的根子空间,i = 1 ,2 ,则 VVV.Vi, s ,12S .证明 设 A 的特征多项式为 f ( x)(x1 ) 1 ( x2 ) 2 .( xs) s令 gi( x)f ( x)i = 1 ,2 , , s , 则 g1( x), g2 (x),., gs( x)互素 , 于是有多项式)( xiis1,将 A代入上式 ,s,( 为u1 ( x), u2 (x),., us( x) ,使gi ( x)ui ( x)得gi (A)ui ( A)i 1i 1单位变换 ),任给 V ,

8、ss(A) ), 记有 = ( ) =giA uiA=i 1( gi ( A)uii 1i gi ( A)ui ( A), i = 1 ,2 , , s , 于是12.s .下面证明iVis, i = 1 ,2 , ,因为 f ( x)(xi ) i gi(x) , 由哈密尔顿 -凯莱定理 ( Ai) igi (A)f ( A)(为零变换 ),于是有 (Ai ) ii = ( Ai ) igi ( A)ui( A)（为零变换）即 iV i ,i = 1 ,2, , s , 所以 VV 1V 2.V S,又显然 VV 1V 2.V S,故V V 1V 2.V S .再证明上面的和是直和 , 设

9、12. s0,iV i,i =1 ,2 , ,s由引理知 Ai 在 V i上为幂零变换，所以存在正整数ni, 使得在 V i上 (Ai) ni(为零变换 ) , 又由引理 ，Ai在 V 1.V i 1V i 1.V s 上为可逆变换 ,所以 (Ai)ni在V 1.V i 1V i1 .V s 上也是可逆变换 ,于是0 =(Ai)ni (0) = ( Ai)ni（ 12.s ）=( Ai)nii + ( Ai ) ni（ 12i 1i 1.s ）= ( Ai)ni（ 12i1i 1.s ）从而 12i1i 1 .s =0 , 于是 i12 .i1i 1.s0,i =1 , 2, s,由零向量的表

10、法唯一知 VV 1V 2.V S根子空间分解定理全部证完.3矩阵对角化问题运用根子空间分解定理可以推出一些矩阵对角化的充要条件. 对角矩阵可以认你为是矩阵中最简单的一种，一些复杂的矩阵可以通过适当的方法化为对角阵. 通过相应对角阵的研究学习 , 可以推知这些复杂矩阵的性质 , 促进对复杂矩阵的了解 , 简化很多复杂工作 , 给学习和研究带来很大方便 . 下面就矩阵对角化的充要条件作一详细论述 .2. 矩阵可对角化的一些充要条件及矩阵对角化方法2.1特征向量法定理 2.1.1 设 A 是 n 维线性空间 V 的一个线性变换 , A 的矩阵可以在某一组基下为对角阵充要条件是 ,A 有 n 个线性无

11、关的特征向量.1证明 设 A 在基 1, 2.n 下具有对角阵.即 A iii i=1,2 nn因此 , 1, 2 ,., n 就是 A 的 n 个线性无关的特征向量 .反过来 ,如果 A 有 n 个线性无关的特征向量 ,那么就取 1 ,2 ,.,n 为基 .显然 ,A 在这组基下的矩阵是对角阵 .证 毕.122310例 1. 设线性变换 A 在基1, 2 ,., n 下的矩阵是 (1) A212,(2)A410 ,221482问 A是否可以对角化 ?解 (1)因为特征多项式为1 2 2E A212 =125221所以 A 的特征值是 -1( 二重 )和 51 x12x22x30把特征值 -1

12、 代入齐次方程组得2x11 x22 x30(1)2x12x21 x30410解得基础解系是0和 111因此属于 -1的两个线性无关的特征向量是112,2231把特征值 5代入 (1)得基础解系 1,所以属于 5的全部特征向量为 3 1 2 31100则 A 在基 1, 2, 3 下的矩阵为 B=010005310(2) E A=4120 =12 ，所特征值为 1(二重 )和-2.482对应特征值 1 的特征向量为对应特征值 -2 的特征向量为13162 20323由此知 A 有两个线性无关的特征向量，由定理1 知 A 不能对角化 .运用此定理判定一个线性变换的矩阵是否可以对角化的方法简单易懂,

13、但是过程比较繁琐 .先计算一个行列式求出A 的特征值 ,再利用方程组和特征向量的有关理论及求法计算出 A 是否有 n 个线性无关的特征向量 .计算过程容易出错 .下面利用最小多项式给出一个线性变换的矩阵可角化的充要条件 .此定理比定理 2.1.1 简洁实用2.2 最小多项式法引理 设 A 是一个对角阵 A=A1，并设 A1 ,A2 的最小多项式为 g1( x), g2 (x) ，那么A2A 的最小多项式为 g1( x), g2 ( x) 的最小公倍数 g1 (x), g2 ( x) .证明g (x)=，首先g( A1 )因此能被的最小多g1( x), g2 (x)g( A)=0.g (x)Ag

14、( A2 )项式整除 .其次 h( A)0.那么 h( A)h( A1 )h( A1 ) =0, h( A2 ) =0,因而 g1 ( x) h1( x) ，=0,h( A2 )5矩阵对角化问题g2 ( x) h2 ( x) .并由此得 g( x) h( x) .这样就证明了 g( x) 是 A 的最小多项式 .这个结论可以推广到 A 为若干矩阵组成的准对角阵的情形 .A10即如果 A=.， Ai 的最小多项式为gi ( x) ， i=1,2, ,s.那么 A 的最小多项式为0ASg1( x), g2 (x),., gs (x) .定理 2.2.1数域 P 上 n 级矩阵 A 与对角阵相似的充

15、要条件为A 的最小多项式是 P 上互素的一次因式的乘积 .证明根据引理的推广形式，条件的必要性是显然的.下面证明充分性 .根据矩阵和线性变换之间的关系，我们可以定义任意线性变换A 的最小多项式，它等于其对应矩阵 A 的最小多项式 .所以只需证明 ,若数域 P 上某线性空间V 的线性变换 A 的最l小多项式 g( x) 是 P 上互素的一次因式的乘积g (x)( xai ) ，则 A 有一组特征向量做成Vi1的基 .实际上，由于g( A)V0 . 由定理1.2.1 同样的步骤可证VV1V2.Vl ，其中Vi( Aai)0,V,把 V1 ,V2 .Vl 各自的基合起来就是V 的基，而每个基向量都属

16、于某个 Vi ，因而是 A 的特征向量 .证毕 .推论 复数矩阵 A 与对角阵相似的充要条件是A 的最小多项式无重根 .不利用定理 2.2.1,该推论也可证明 .下面给出令一种证明 .证明 必要性设 A相似diag ( 1, 2 . n ) ，所以存在可逆矩阵T 使T 1AT,( 为对角阵 ), 从而T 1 Ai Ti ,不妨1, 2 .k 是 A 的互不相同的特征根 (kn)记 g( )12.kka1k 1 .ak 1ak因而T 1g A TT 1( Aka1 Ak 1.ak 1Aak E)T6= T 1 AkTa1T 1 Ak1T.ak 1T 1 ATakT 1 ET=ka1k1 .ak

17、E = g而 gka1k 1 .ak E= diag (k1 ,k2.k)diag (a1k1, a1k 1k 1).diag ( ak , ak .ak )n12.a1 nka1k1.ak11=.ka1k.aknn=diag g( 1 ), g2.gn=0所以 gA =0.于是 mAg，但是 g没有重根，因而 mA没有重根 .充分性 设 1,2 . n为 最小 多 项 式 mA的 互 不相 同的 根 , 则由 mA无 重 根mA=12 .k，于是 mAA=A 1EA2E . Ak E =0令 rank Ai E=i，则 dim V I= n -i ,所以 A 共有 n1n2. nk s 个线

18、性无关的 特 征 向 量 并 且 显 然 sn .另一方面 12.kk1 n . 因 而 又 有s n1n2 . nkn ，故 sn .这就说明了 A 有 n 个线性无关的特征向量由定理2.1.1 知 A 可对角化 .证毕 .例 2. 判下列矩阵是否可以对角化 .00 131311313（1） 010（2）313111 01313解（1）可求的 A 的特征多项式为01EA01 012110由于 A的最小多项式为2的因式，计算得A E 0,A E 0.而11AEA E=0.因此 A 的最小多项式为11 .显然 A 的最小多项式是实数域上互7矩阵对角化问题素的一次因式的乘积，从而由定理2.2.1

19、知 A 可对角化 .3131（2）可求得 A 的最小多项式为13134E A =13=311313由于的最小多项式为4 的因式，计算得 A 0 ,A2 =0.因此 A 的最小多项式为2 .从而由定理 2.2.1 知 A 不可对角化 .例 3 Ak =E,则 A 与对角阵相似 .(k=1，2 )证明由 AkE 知 A 为多项式fxk1 的零点，即fA =0.因 A 的最小多项式mAf，而 f无重根，所以 mA无重根，故由推论知A 与对角阵相似 .对于单纯的判断一个线性变换的矩阵能否对角化运用定理2.2.1 及其推论是很简洁方便的，它部避免了运用定理2.1.1 的繁琐过程 .但是对于既要判定某个数

20、域上的线性变换的矩阵是否可对角化，对于可对角化的矩阵又要求出相似变换矩阵及矩阵特征值的题目来说运用定理 2.2.1 及推论是达不到要求的.而运用定理2.1.1 虽然能达到要求但方法却很繁琐.下面给出的方法仅需利用矩阵的乘法运算便可判定一个矩阵是否相似与对角阵，并且在判定的过程中简洁的构造出相似变换矩阵完全不需解性方程组.2.3 矩阵的乘法运算法定理 2.3.1 设 1, 2 ,., s 为 n 阶矩阵 A 的全部相异特征值，其重数分别为n1 , n2 ,., ns ，ssnin ,则 A 与对角阵相似的充要条件是( i EA) =0.(i=1,2,s)i1i1证明 必要性1 E若 A 相似于阵

21、对角阵 ，则存在可逆矩阵 P 使得 A = P.P1其中Ei为ni,s E阶单位矩阵（ i=1,2, ,s）于是i1 E1( i E A) = P i EP 1 = P.P 1,于是is Es8si1E1ssi 1P1= PP 1(i EA) =P i E.i 1i 1sis Esi 1s由于ijE j =0（ j=1,2, ,s）.所以( iEA) =0.ii1充分性因为对于任何 n 阶矩阵 A 都存在可逆矩阵 P，使得J1A=PJ 2P 1 ,其中 J j 为 jordan 块 (j=1,2,.,s).因此要证 A 可对角化，只要证.J SJ j=j Ej（ j=1,2, ,s）,由于i

22、E1J1( i E A) = Pi E J P 1 =Pi E2J 2P1.i Esjsi E1J1ii EAPi1E2J21iP.i EsJsi所以若i EA0.则因 P 可逆而有i E jJ j0 （ j=1,2, ,s） . 又当 ij 时iiij0 ，i E jJ j 可逆，所以i E jJ j0 ，即 J jj Ej (j=1,2, ,s)定理 2.3.2设1 , 2,., s 时 n 阶矩阵的全部相异特征根， 其重数分别为 n1, n2 .ns ，则 A 于对角阵相似的充要条件是 Wji E A 的秩为 R Wjn j （j=1,2, ,s）.i j证明 必要性9矩阵对角化问题i1

23、E1i jWji E A P.P 1ijis ESi01.P 1= Pij E jij0s其中 0j, E j 分别是 n j 阶的 零矩阵和单位矩阵（j=1,2, ,s） .由于 P 满秩且 ij .所以R Wj= RijE j= R E jnj .ij充分性 用反证法假设 RijE j不可对角化，则因几何重数代数重数5 ，必至少存在一整数 k 使ij得 Rk EA R( E j )3，于是 jk 时.由 sylvester 不等式知n jRk E ARi E A s 2 n n n js 2 nijiji j=s1 ni jnis2 n nnn jn j 矛盾 .所以 A 可对角化 .推论

24、 1设 1, 2 ,.,s 为 n 阶矩阵 A 的相异的特征根，其重数为n1 ,n2 ,., ns ，则矩阵Wjijk EA的列向量中由对应于j的 nj 个线性无关的特征向量 .证明因 A 可对角化，由定理2.3.1 得i E，A =0i jj EAiEA=j EA Wj=0. 由 此 ， Wj 中 每 一 列 非 零 向 量 都 是 方 程 组i ji EAX=0 解向量 ,即 j 的特征向量 .又有定理 2.3.2 知 R Wj n j，所以 Wj 的列向量组中有恰好对应于j 的 nj 个线性无关的特征向量 .上述的结论表明，要构造可对角化矩阵A 的相似变换矩阵 P ,完全可以不像传统的方

25、法那 样解 方程 组k EA X=0 ，而只 需对 每一 特征 值j（ j=1,2,s）从矩阵乘积10k EA 中直接找出 n j 个与j 对应的线性无关的特征向量，这样所得的nnj 个特ij征向量为列作一n 阶矩阵即可 .推论 2若 n 阶可对角化矩阵A 只有两个相异特征值 1 （ k 重）和2 （ nk 重），则矩阵1EA（或 2E A 的 n k(或 k )个线性无关列向量就是对应2 （或1 ）的特征向量的极大无关组 .这一结论进一步表明，在可对角化矩阵A 只有 2 个相异特征值的情况下，不仅不需要解方程组，而且不需要计算矩阵的乘积就可以把对应于不同特征值的特征向量立即求出.例 4 求下

26、列矩阵 A 相似变换矩阵 .12207412120(1)A=471（2）A=22104440001解 （1） A 的特征值1 =12， 2 =3（二重）5414W21E A4 51 ,W12 E A448441由于1 E A2 EA0 ,所以 A 可对角化，有推论2 知1 的一个特征向量11,1, 1（取W1的第 3列）2 的 2 个线性无关的特征向量24,5,4,3 1,1,8141故相似变换矩阵 P =1,2,3= 151，PAP 1diag (12,3,3)14884（2）A 的特征值1 =-1(二重 )，2 =5，3 =1，而 W148 *2EA3EA=440008 0 8*1 E A

27、3 EA,*3808011矩阵对角化问题由推论 2 可得1 的特征向量 1， ，2，-4，0 .844 0482， 3 的特征向量分别为30，0，0，8，4 8，88，08408于是相似变换矩阵为 P=1，2，3，4-4808=408400 80P A P 1 =diag(-1,-1,5,-1).上文讨论了矩阵是否可对角化的判定及矩阵对角化方法问题，给出了简便易行的判定和求法 .区别于传统的方法， 定理 2.3.1 定理 2.3.2 及推论把矩阵对角化问题归结为矩阵的乘法运算，不需要解方程组就可以得到特征向量及相似变换矩阵,但是上述方法都没有达到特征值，特征向量，相似变换矩阵同步求解的效果.下

28、面引入- 矩阵，改进在一般情形下矩阵对角化的方法，使判定和求解一步到位并得到矩阵对角化十分简单的方法，主要依据下面两个定理 .2.4 引入- 矩阵推出数字矩阵可对角化的充要条件定理 2.4.1设 A 是数域 P 上的 n 阶方阵， AEA 为其特征矩阵 E 为 n 阶单位阵 .如果 A经过初等变换化为对角阵D,则 A 的特征值为 D的对角线上元素的乘积的多项式的根 . （证明略）定理 2.4.2 在定理 2.4.1 的假设下，如果AT, D经初等变换化为D, P,且 D为对角阵，则（1） 对于 A 的每个特征值i ， Pi中与 Di的零行对应的行向量生成属于i 的特征子空间 .（2） 若 A

29、的特征值都在 P 内，设1, 2 ,., s 为 A 的全部不同的特征值，其重数分别为1 , 2 ,.,s ，则 A 可以对角化的充要条件是Di中零行的数目=i 的重数ii=1,2, ,s）证 明(1) 因为 D与 AT的秩为 n ，则 总有可逆 的- 矩 阵 P, Q, 使12PATQdiag (d1, d2,., dn)D.即对 AT施行 P对应的一些行初等变换和Q对应的一些列初等变换可使AT化为对角阵 D，有 PATQ, ED, P(1)这里相当于初等列变换的Q右乘作用在 AT而不作用于 E.因为 PATQ= D，所以 QTAPTDT= D.于是对 A 的每个特征值i 有 QTAiPTi

30、=diag( di, d2i,., dni)i1设 Di中 有 mi个 零 行 ， 相 应 的 mi个 为 0的对角元记为di1idi 2i.dimii01 min，取 PTi中对应的列向量Pi1,Pi 2 ,., Pimi, 则QTii EAPi1, Pi2 ,., Pimi=0.因为 QTi可逆，所 以 i EAPi1, Pi 2 ,., Pimi=0（ 2）TTTTTTT由于Pi可逆，故Pi1 , Pi 2 ,., Pimi列满秩，从而由（2）知 Pi1, Pi2 ,., Pimi 正是 A 属于 i的 mi 个线性无关的特征向量，再从（ 1）式，注意到 Di 中 nmi 个非零行是行满

31、秩的 .由 7中定理 1 知 A 属于 i的线性无关的特征向量就是 Pi中与 Di 的零行对应的行向量，他们生成i 对应的特征子空间 .(2)A 可对角化秩i EA= ni = nmi ,即 mi =i （i=1,2, ,s）证毕 .基于以上讨论我们不难得到矩阵对角化的简单方法，其步骤如下：(1)对i EAT,E作初等变换化为D, P,其中Ddiag( d1，d2,., dn)，则 A的特征值恰是 d1d2.dn=0 的根.(2) 如果 A 的特征向量全在 P 内，且对每个i 有 Di 中零行数目 =i 的重数，则 A 可以对角化，否则不可对角化 .(3) 对于每个i ，在 Pi 中取出与 D

32、i 中零行对应的行向量Pi1, Pi2,., Pi 得 A 属于i 线im性无关的特征向量 .(4)若A可以对角化，作可逆矩阵i1ims1sm， 则TP, Pi 2 ,., P1 ,., P,., P s13矩阵对角化问题T1 ATdiag ( 1 E1 ,2E2 ,.,sEs) ， Ei 为 i 阶矩阵 .例 5判定下列矩阵可否对角化，若可以求可逆矩阵T，使 T1 AT 为对角阵 .011321(1)A =111(2)A = 2220113611010001210解AT, E111 010020 11011 10 011100111100110000101211101211102011020

33、01110000101011100122321故 P 的特征值是10,21(二重), 因 D 1中的零行数目2的重数,故 P不可对角化 .323100121001(2)AT, E2260100224012121 0010242210310000110000102240120200120 2422103024241031000010200120024121故 A 的特征值为12 （ 2重根） ,24.又 D2 中零行数 =2=1 的重数； D4 的零行数=1=2 的重数 , 故 P 可对角化，且由100001D2,P2 =0000 12000123可得出 ， ，是 A 属于 2 的线性无关特征向

34、量14100001由 D4， = 060012得1, 2,3 是 A 属于 -4 的线性无关000123的特征向量 .0112令T= 122 ,则T 1AT2233415矩阵对角化问题参考文献1 北京大学数学系 . 高等代数 . 北京：高等教育出版社，第88 版， 1988.许以超 . 代数学引论 M . 上海：社会科学技术出版社， 1966钱吉林 . 矩阵及其广义矩阵 M . 武汉：华中师范大学出版社 .王心介 . 高等代数与解析几何M . 北京：科学出版社 ,2002.张远达 . 线性代数原理 . 上海：上海教育出版社， 1980.彭海明 . 对“矩阵特征值与特征向量同步求解方法探讨”的改

35、进意见J . 数学通报，1993(2):45-47.7刘国洪 . 王宝智 . 利用矩阵的初等行变换对矩阵的特征值和特征向量同步求解, 数学通报 ,1996,2.16致谢四年的大学生生活转眼见结束，在即将毕业之际有太多的不舍与留恋！在大学四年的学习过程中，我得到了数科院各位领导、老师及班级同学的热心帮助和支持，使我能够在以优异的成绩完成学业之余 , 自身综合能力也得到了极大限度的提高在此谨向他们表示我最衷心的感谢！感谢我的指导老师王俊俊，她严谨细致、一丝不苟的作风是我工作、学习的榜样；她循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪感谢和我一起走过大学四年的好朋友们 , 是她们一路的陪伴与爱护

36、, 才有了我现在的成绩她们是我成长的见证 , 有着值得我永远珍惜的友情她们的待人处事 , 治学态度将会影响我的一生在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的老师、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！再次对指导老师表示最诚挚的谢意和祝福！05级数本一班王新慧2009年3月17矩阵对角化问题赠送以下资料学院本科生毕业论文（设计）开题报告姓名*性别女学号*院系教师教育学院专业小学教育（文科方向）年级2006 级论文题目浅论小学语文课堂教学情境的创设教师推荐题目自拟题目18题目来源教育教学题目类别理论研究指导教师*选题的目的、意义( 理论意义、

37、现实意义):选题的目的：本文通过对教学情境及语文课堂教学情境的定义、教学情境在小学语文课堂中的作用的分析和阐述，提出创设有效语文课堂教学情境的措施及创设时应注意的问题， 目的是为小学生营造一个较好的学习环境，让小学生在愉快的课堂情境中，学会思考、陶冶情操、调动学生学习的积极性，让学生真正成为学习的主人，变“要我学”为“我要学”。同时也便于教师充分发挥主导作用，达到最佳的教学效果。选题的意义：在新课程改革理念的指导下，如何营造自主、合作、探索的空间无疑显得很重要。而创设课堂教学情境，实现师生互动是营造这一空间的有效方法。语文课程标准中指出：语文教学应激发学生的学习兴趣，注重培养学生自主学习的意识

38、和习惯，为学生创设良好的自主学习情境。苏联心理学家赞可夫说：“教学法一旦触及学生的情绪和意志领域，触及学生的精神需要，这种教学法就会产生高度有效的作用。”因此，创设一个积极、和谐、融洽的教学情境，不仅可以有效地提高教学效果，还可以促进学生的个性发展，也符合语文课程标准的要求。创设教学情境有利于学生循着知识产生的脉络去准确把握学习的内容；有利于激发学生的学习兴趣。3. 有利于激发学生的思想感情。积极健康的学习心态是儿童开展智力活动的助推器，也是优化课堂教学的催化剂，而语文课堂教学的情景创设则是调动学生内心情感的基本手段。在语文课堂教学中创设教学情境，不仅可以优化语文教学过程，使学生产生浓厚的兴趣

39、，而且可以获得比传统教学更明显的教学效果。选题的研究现状（理论渊源及演化、国外相关研究综述、国内相关研究综述）：国外的相关研究：情境教学的教学模式在教学实践中的运用不是现在就有的。在西方古希腊罗马时期的教育思想里，就有情境教学思想的萌芽。三百多年前，捷克教育家夸美纽斯在大教学论中写道：“一切知识都是从感官开始的，假如有一个东西能够同时在几个感官上面留下印象，它便应当和几个感官去接触。 ”而且夸美纽斯认为这是教学中的 “金科玉律” 。情境教学不仅能让学生在愉悦轻松的氛围中学习，促使学生始终情绪饱满，而且能使学生如临其境，激发学生的学习情绪和学习兴趣，使学习活动成为学生主动的自觉的活动。 5 在苏

40、霍姆林斯基的教学思想中， 就十分重视自然情境的教育作用。他在帕夫雷什中学一书里说到： “大自然是美育的重要源泉。 ” 6 他经常带领孩子们到大自然中去，细心地观察、体验大自然的美，从而使学生在轻松愉快的气氛中学习知识，激发学生的学习兴趣，发展学生的想象力和审美能力。国内的相关研究：高俊霞在 新课程周刊 中发表的“情境教学：创设充满智慧和情趣的空间”一文中对情境教育的探索始于 20 世纪 70 年代末以及时任语文教师的李吉林开始了语文情境教学的探索进行了阐述 7 ，范凤兰在运城高等专科学校学报发表了“浅谈课堂教学情境的创设”中对课堂教学情境的含义、 课堂教学情境创设作用、做法都进行了阐述。8 朱

41、丽荣在 吉林省教育学院学报发表的 “浅谈语文课堂教学中的情境创设”中对教学情境的概念、怎样创设有效地教学情境、创设课堂教学情境要注意的问题进行了相关的阐述。9 王丽萍在 成才之路 发表的 “浅谈小学语文课堂教学中的情境创设”一文中阐述了如何在语文教学中进行情境创设。（后面还有一页，略）19矩阵对角化问题论文 ( 设计 ) 主要内容（提纲） ：一、引言：（一）教学情境的定义及语文课堂教学情境的定义二、语文课堂教学情境的作用三、创设小学语文课堂教学情境的对策（一）小学语文课堂教学情境特征（二）小学语文课堂教学情境原则（三）小学语文课堂教学情境方法生动讲述法游戏法实物演示图画音乐课件展示7、实际生活

42、四、创建情境需要注意的问题拟研究的主要问题、重点和难点:主要问题：通过了解小学语文课堂教学情境的作用、特征和原则之后，怎样去创设有效的小学语文课堂教学的情境。重点和难点 :怎样去创设有效的小学语文课堂教学情境及创建情境时需要注意的问题。20研究目标：通过从教学情境的及语文课堂教学情境的定义、教学情境在小学语文课堂中的作用的研究，提出创设有效地语文课堂教学情境的对策及创设时应注意的问题，为小学生营造一个较好的学习环境，让小学生在愉快的课堂情境中，学会思考、调动学生学习的积极性，让学生真正成为学习的主人，同时也便于教师充分发挥主导作用，达到最佳的教学效果提供帮助。研究方法、技术路线、实验方案、可行性分析：研究方法：采用文献研究法，通过广泛地查阅相关资料和文献，借鉴别人研究的成果之上，深入分析、思考，形成