西安交通大学线性代数期末考试试题(附标准答案)

1、共共4页第2页共共4页第 页1-123(1)矩阵1-123(1)矩阵A=130101-1-1_1-4-3-2求V的基与维数.线性空间V=bIbGF4方程组Ax二b有解设TgL(R3)，T在R3的基a=(-1,1,a=(1,0,-1)t,a=(0,1,1下的矩123(1阵为A=1.-10，求T在基0二(1,0,0)T,0=(0,1,0)T,0二(0,0,1)T下的1)矩阵.八、（10分）设a,a，,a是n维列向量组，矩阵12nataataata11121nataataata21222nataataata-n1n2nnA二试证明a,a,a线性无关的充要条件是对任意n维列向量b，方程组AX=b12n

2、均有解。西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：线性代数与几何（A）课时：48考试时间：2010年1月15日一.单选题(5分一.单选题(5分x3=15分)1.B2.A3二.填空题(5分x3=15分)1.42.3.C203.k(3,2,l,0)t+(2,2,2,2)t,k为任意常数三.(12分)a=(1,1,1)t,a=(1,1,1)t12取点P(0,0,4)el，点P(0,0,0)el,PP=(0,0,4)112212混合积a,a,pp=8丰0，故i,i异面1212“12l与l的距离d二企J化1二旦二2迈12IIa1xa22屈公垂线l的方向向量l(0,1,-1)含l,l的平面

3、方程为2(x0)+1(y-0)+1(z-4)=0含l,l的平面方程为122(x-0)-1(y-0)-1(z+0)=0故公垂线l的方程为：J2x-y-z+4=02x+y+z=0._k11jk3_11k2-四.(12分)A=1k11210k1(1k)011kj-200(k+2)(1k)3(k1)_当九H-2且k丰1时,r(A)=r(A)=3方程组有唯一解当kH-2时,r(A)=2,r(A)=3方程组无解TOC o 1-5 h z1112_当k=1时,At0000,r(A)=(A)=13方程组有无穷多解，取一个0000特解n=(2,0,0)t,易得导出组的一个基础解系为:g=(1,1,0)T,g=(

4、-1,0,1)t,1b10一五.记A=ba1,D=11114故结构式通解为x故结构式通解为x=n+cg+cg,cc为任意常数112212，有P-1AP=PTAP=D，k=0,k=1,k=41230+1+4=1+a+1,，故a=3,b=1.0 x1x4=1Al=(b1)2对k=0，解(0IA)x=0,得属于k的特征向量(1,0,1)T；11对k=1，解(1/A)x=0,得属于k的特征向量(1,1,1)t；对X3=4，解(41-A)x二0,得属于入3的特征向量(1,1将上述3个特征向量再正交化，单位化，得正交矩阵1_21_2苫丄拆1壽再1V2O丄一2-P六、(12分)由题知(A-1)X=A2-1=

5、(A-1)(A+1),_001_A-1二010可逆100201_故X二(A-1)-1(A-1)(A+1)二A+1二030102七、(12分)1.W的基与维数为A的列向量组的极大无关组和秩记A=aaaa，可计算出A的极大无关组为a,a,a，TOC o 1-5 h z1234123故w的基为a,a,a，维数为31232.基a,a,a到P,P,P的过渡矩阵记为P123123100-110010=1010011-11即PTOC o 1-5 h z-11-2则T在P,P,P下的矩阵为PAP-1=220123302八.(10分)记D=a,a，a12nn由a,a线性无关知IDIh0而|A|=1DtD|=|D|2主0，即A可逆，故对任意n维列向量b，方程组AX=b均有解X=A-1b。u