工程力学第九章

1、第九章刚体的平面运动第一节 刚体平面运动的概述和运动分解教学时数： 1 学时教学目标：1、 明确刚体平面运动的特点2、 把握讨论平面运动的方法3、 能够正确判定机构中作平面运动的刚体教学重点：把握讨论平面运动的方法 教学难点：把握讨论平面运动的方法 教学方法： 板书 PowerPoint一平面运动的概念引例 1：汽车沿直线行驶时,车轮的运动（图 10.1 ）车轮的运动 随着车身的平动 +相对车身的转动；引例 2曲柄连杆机构的连杆 AB的运动O B引例 3板擦在黑板上的任意运动A 1SB 1ABB 2A2上述运动有何共性？平面运动定义： 刚体运动时其上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变,也就

2、是说刚体内的各点都在平行于固定平面的某一平面内运动；2力学模型简化如下列图, 刚体作平面运动时,刚体上全部与空间某固定平面距离相等的点所构成的平面图形就保持在它自身所在的平面内运动；A 点代表A 1A 2线段的运动B 点代表线段的运动B 1B2平面图形 S 代表刚体运动结论：刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身平面内的运动；3、运动方程yx确定平面图形 S 在 Oxy 坐标系内的位置只需确定任一线段 AB 在 Oxy 中的位置确定 AB线段的位置,需确定坐标 x Ay A , ,A 点称为基点；所以平面运动的运动方程：x A x A t y A y A t （1）A t 上式称为刚体的平面

3、运动方程；分析运动方程可知,平面运动包函了平动和定轴转动这两种基本运动形式,即：平面运动是平动和转动的合成运动；4、运动的分解及分解运动的特性分析特例分析：在方程（1）中,如C 就“S” 作平动,如x AC 1就“S” 作定轴转yAC2动一般情形下,平面运动可以看成为由平动和定轴转动的合成；运动分解：讨论对象：平面图形S y相伴 A 作平动 ,是虚构的一坐标系） ；静系：固定平面Oxy ；动系：A xy（其中 A 是“ S” 上一点,Ax牵连运动：动系Axy随 A 点平动；相对运动：绕A 点转动所以,平面运动随基点 A 平动 +相对基点 A 转动；分解运动特性：平动：随基点的不同而不同转动：相

4、对不同基点转过的角位移、角速度和角加速度都是相同的,即转动与基点挑选无关；证明 1：证明 2：A YY Y MXBA XBO XB A 常量B A B AB A B A其次节 求平面图形内各点速度的基点法教学时数： 1 学时教学目标：1、 能娴熟地应用基点法求平面图形上任一点的速度；1、课本习题 9-1、 9-3；2、 速度投影法求平面图形上任一点的速度；教学重点：以运动的分解与合成为动身点,讨论求平面图形上各点的速度的基点法,以求速度为主,速度投影发从基点法推导出来；教学难点：正确懂得平面运动分解为随基点的平动和饶及点的转动时,动的运动特点 教学方法： 板书 PowerPoint教学步骤：1

5、基点法（合成法）选基点的意义和相对基点转平面运动随基点平动+相对基点的转动设已知A 点速度v 和角度求图形上任一点B 的速度；vBAvBvABvAvBABBAv AvAAv AA2 个求知vBA（1）B 点的速度为：vB式中vAve,其中vBAABvBAAB,式（ 1）只能求量,通常的已知量为v和vBA的方向；BOrBrAAr Br AAB其中 AB 是常量；式（ 1）也可用矢量求导得到,rBrAvBABvA,ABvBA,也即vBvAvBA其中rB,rA2速度投影法将式（ 10.3）向 AB 连线和 AB 连线的正垂向投影,有v B AB v A AB（ 2）v B v A v BAv B v

6、 A（3）AB式（ 2）称为速度投影定理,是刚体不变形的属性,式（3）中的正垂向投影过 B 点作逆时针转 90 的射线为正方向,如图中的 v BA 所指的方向；例 1、如下列图,在曲柄连杆机构中,已知曲柄 OA 长为 R,绕 O 轴以 0逆时针转动,求45 ,15 时,滑块 B 的速度 v B 及连杆 AB 的角速度 AB；v Av AO 0 v BABv B图 10.11解： 1. 分析运动：OA 杆定轴转动, AB 杆作平面运动2分析速度OA 杆：v AR0,AB 杆：vBvAvBAv BvAvBA只有 2 个未知量,可求解,由速度合成图11,有45sin60sin75sin求得vBvAs

7、in600.897R0,vBAvAsin45sin75sin75而ABvBAvAsin150. 2680ABsin75Rsin45另解：用速度投影法：v A30A y /C0 v BO BAB ：图 10.12设 v方向如图 10.12 所示AB：v A cos 30 v B cos 15v B v A cos 300 . 897 R 0（负号说明与假设相反）cos 15:（ y 轴指向为正）cos 30 sin 15v B v A v B sin 15 v A sin 30 v A cos 15 sin 30 ABAB AB ABv A sin 150 . 268 0 负号说明 AB是顺时针

8、转向的 AB cos 15问题,如求 v C .（C 点是 AB 杆的中点）例 2、在图所示的平面机构中,已知 OA AC r,O 1 B 2 r,30 ,OA 杆以 0绕O 轴匀速转动,在图示位置时,OA 、CB 沿水平方向,O1 B、AC 沿铅垂方向,试求此瞬时（1）O1 B 杆的角速度 O1 B；（2）板上 C 点速度 v C .；O1v AO1O 0O 0v A v BA v Av CAC v BC 图 13.b解： 1.分析运动OA 杆,O1B杆定轴转动ABC 作平面运动2分析速度OA ：vABrv0vBAABC ：vA由速度合成图：3v B v A t a n r 03v BA v

9、 A 2 3 r 0 AB vBA 30c o s 3 AB 3O1 B：O 1 B vB 30O 1 B 63求 v C v C v A v CA 其中 v CA AC AB由图 10.13：v cx v cA 3 r 0 v cy v A r 033vC i j r 03问题：如不分析 B 点速度,求出 AB,能否求出 v？例 3、图 10.14 中给出一种平面铰接机构,已知杆 O1 A 的角速度是 1,杆 O2 B 的角速度是2,转向如图 10.14 所示；在图示瞬时,杆 O1 A 铅直,杆 AC 和 O2 B 水平,而杆 BC 对铅直线成偏角 30 ,又 O 2 B l,O 1 A 3

10、 l；试求该瞬时点 C 的速度；B O 2B O2230；2 C v BA C A v Av B vv CB A1 O 1 1 v CA v CO1 图 10.14b解： 1 分析运动O1 A、O2 B 杆作定轴转动,AC、BC 杆作平面运动；O2B2 分析速度3l1（a）O1A：v A：v Bl2AC：vCvAvCABC：vCvBvCB（b）由式（ a）、（b）得：vCl31i12j课堂小结：总结以上例题,基点法解题步骤如下：1、 分析构件中各刚体的运动,判定各刚体分别作什么样的运动；2、 讨论作平面运动的刚体上哪一点的速度大小和方向为已知；基点就选在该点上,作图时 必需说明基点的挑选,但在

11、图中可以不画动坐标轴；3、 画速度合成图,作图时要使肯定速度在平行四边形的对角线上,并依据三个速度所涉及 的六个要素中分析出四个要素；4、 依据基点法公式vBvAvBA的合成公式及利用平行四边形中的几何关系求解未知量；作业布置：1.课本习题 9-1、9-3；2. 课本习题 9-5 第三节 求平面图形上各点速度的瞬心法教学时数： 1 学时教学目标：能娴熟地应用瞬心法求平面图形上任一点的速度；教学重点：以运动的分解与合成为动身点,讨论求平面图形上各点的速度瞬心法,从基点法推导出来；教学难点：速度瞬心的概念；教学方法： 板书 PowerPoint教学步骤：引言：vBvAvBA,如vA0,就vBvBA

12、vBABBv此时图形上各点速度分布如图 10；15 所示速度瞬心： 某瞬时平面图形上速度为零的那一点称为该瞬时平面图形的瞬时速度中心,简称为速度瞬心,通常用“P” 表示；定理：一般情形下,每瞬时平面图形上速度瞬心是唯独存在的；Nv PMPv MMv M证明：设已知平面图形上任一点 M 的速度 v M 和平面图形的角速度,过 M 点作 MN v M 如图 10.16 所示, MN 上一点 P 的速度为：v P v M v PM v M 与 v PM 方向相反 . vPvMPMv当PMvM时,vP0MN 直线上有满意此条件的当0 时,PMM只有一个确定的值,且只能在点,所以定理得证；找瞬心的几种方

13、法：1）已知两点速度方向a vvBvBBvAAvAAv BBPb vv且vAvB瞬时平动v的大小（图10.19 ）cvAv且vAAB 时,需知v、vAv AvAAv BvBBv B图10.19 2）已知平面图形沿某一线或面纯滚,接触点瞬心（图 10.20）图 10.20例 1、在平面机构中,直角三角板ABD 的两直角边长为AD5 cm,AB10 cm,A 、B为光滑铰接,O 、O 为两固定铰支座,O1A杆以O 12rads绕O 轴匀速转动,设O 1A10cm,O 1 O25 cm,图示瞬时O 、A、D 在同一铅垂线上,求该瞬时D 点的速度和杆的角速度；Dv DADvBv AAO11O2图10.

14、21b1O1O 2P解： 1分析运动O1A、O2B杆作定轴转动,ABD 作平面运动 2 分析速度O1A：v AO1A120cmsuB 沿水平方向抽出之速度为u,使轮ABD ：ABDvA201radsAP20vDPDABD25cmsvBPBA B D2 O2BA B DO2B：O2BvBO2B例 2、绕线轮半径为R,其凸沿半径为r,绕线之线点沿水平线纯滚动；试求滚轮上1、2、3 点的速度；2213B13AA解： 1 分析运动2 速度分析vAvBuO 向左滚动？（演示不断转变线头B 与水平RrRrRrvDRRurv12RR2Ruv3rv22 urR问：线头与水平线夹角为多少度时,轮线夹角拉轮子滚动

15、）例 3、平面机构如图10.23 所示,已知O1Ar,以0匀速转动,O2BBCl,图示时O1A水平,O1B在铅直方向,、均为已知,求该瞬时,O2B杆的角速度和滑块C 的速度；O 20O1CO 2vAO2B0O1v BCvC图10.23b 解： 1 分析运动O1A、O2B定轴转动AB 、BC 杆平面运动 2分析运动O1A: v AAr0Bcos0AB ：vBvAvBAAB:vcosvcosvBrcosO2B：OvBr0cos2BO2BlcosBC：CBCvBvBlsinO2BBC2 r0cossinBP BClvCPBCBC2cos第四节 用基点法求平面图形内各点的加速度教学时数： 1 学时教学

16、目标：会应用基点法求平面图形上任一点的加速度教学重点：以运动的分解与合成为动身点,讨论求平面图形上各点的加速度的基点法教学难点：正确懂得平面运动分解为随基点的平动和绕基点的转动时,动的运动特点 教学方法： 板书 PowerPoint教学步骤：平面图形的角加速度及图形上各点的加速度分析基点法选基点的意义和相对基点转设已知 A 点加速度aA和图形的角速度,角加速度,求任一点 B 的加速度； 平面运动随 A 点平动 +相对 A 点转动aBABaAan BAanaA2aBABan BAaAaAan BAAAB 点加速度：aBaAaBA（1）其中a BAAB,方向垂直于AB ,AB,方向由 B 指向 A

17、；BA式（ 1）也只能求解 2 个未知量；式（ 1）也可用矢量求导的方法得到,参看图,有 r B r A AB求一次导 r B r A AB求二次导 r B r A AB AB 其中 r B a B,r A a A,AB a BA AB v BA a BAna B a A a BA a BA例 1 靠在直角墙上的杆 AB 长为 l 1 m,由铅垂位置在铅垂面内滑下,如下列图；当 60时,vA 2 3 m s,a A 2 m s 2方向如下列图；求该瞬时 B 点的加速度及 AB 杆的角加速度；BaBAaBaAPBan BACAv AaAAaA解： 1. 运动分析2. 分析速度AB 作平面运动,由

18、瞬心法求得60 ：v Al234 rads APsin603分析加速度aBaAaBAan（方向如图）2 sBA其中aBAAB216ms2AB：aBcos30aAcos60anBAaB1aAcos 60an19 . 63mBAcos 30 x：0aAaBAcos30ancos60BAaBA1aAancos 60cos 30BAa BA11. 55rads2l问：如求 AB 中点 C 的加速度呢？例 2、半径为 R 的圆盘沿直线轨道作纯滚动,如图 26 所示,设图示瞬时轮心的速度为 v ,加速度为 a ,方向如下列图；试求该瞬时轮沿上 A、B、C、D 点的加速度；. a 0 v 0. . . a 0 v 0. O a 0 a BOn.a BOO na AO. a 0 a AO解： 1 分析运动 轮 O 作纯滚动,图示时 v A 0,A 点为速度瞬心v00R由于轮运动过程中,轮心 O 到瞬心点距离始终为定长 R,如把、v看成时间t的函数关系, 上式仍成立, 因而有 t v t 对此式求导有 d t 1 dv t ar dt R dt Ra0当 a a 0 时,转向为逆时针R2分析加速度aAaOaAOanAO其中a AOR0a 0,anR22 v 0（速度瞬心的加速度不为零）AO0RaBaOaBOan BOnR22 v 0aBOR0a 0,a其中BO0RvBX