考研数学三必背知识点概率论与数理统计

1、概率论与数理统计必考知识点一、随机事件和概率1、随机事件及其概率运算律名称表达式交换律A+B=B+AAB=BA结合律(A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C(AB)C=A(BC)=ABC分配律A(B土C)=AB土ACA+(BC)=(A+B)(A+C)德摩根律A+B=ABAB=A+B2、概率的定义及其计算公式名称公式表达式求逆公式P(A)=1-P(A)加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)条件概率公式P(BA)=P(AB)P(A)乘法公式P(AB)=P(A)P(BA)P(AB)=P(B)P(AB)全概率公式P(B)=P(A.)P(BA.)i=1贝叶斯公式（逆概率公式）P(A.)P(

2、BA.)P(a.|b)=jp(a.)p(Ba.)J.i=1伯努力概型公式P(k)=Ckpk(1-p)n-k,k=0,1,Annn两件事件相互独立相应公式P(AB)=P(A)P(B)；P(BA)=P(B)；P(b|a)=P(BA)；P(BA)+P(BA)=1；P(B|A)+P(BA)=1二、随机变量及其分布1、分布函数性质P(Xb)=F(b)P(aXb)=F(b)-F(a)2、离散型随机变量分布名称分布律0-分布B(1,p)P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1二项分布B(n,p)P(X=k)=Ckpk(1-p)n-k,k=0,1,A,nn泊松分布P).九kP(X=k)=e-,k=0,1

3、,2,Ak!几何分布G(p)P(X=k)=(1-p)k-1p,k=0,1,2,A超几何分布H(N,M,n)CkCn-kP(X一k)一NM,k一l,l+1,A,min(n,M)CnN3.连续型随机变量分布名称密度函数分布函数均匀分布U(a,b)f(x)=f1,axbb-a0,其他F(x)-0,xax-a,axb指数分布E(九)f(x)-0、0,其他F(x)一0,x0正态分布N(卩Q2)1(X-Q2f(x).e2b2-tox+xJ2兀o1(t_口)2F(x)一，ixe2o2dtJ2兀o-to标准正态分布N(0,1)1-x29(x)；e2-tox+to1(t-p.)2F(x)-,Le2o2dtJ2兀

4、o-to三、多维随机变量及其分布ijij1、离散型二维随机变量边缘分布vp.=P(X=x.)=ZP(X=x.,Y=y.)=Lp./J2、离散型二维随机变量条件分布pj=p(Y=”工P(X=x.，Y=”工iiP(X=x,Y=y)p1J=乩,i=1,2ATOC o 1-5 h z丿P(Y=y.)P.j-jP(x=x,Y=y)ppi=P(Y=yX=x)=E(C)=C,C为常数E(C)=C,C为常数EE(X)=E(X)E(CX)=CE(X)J.JiP(X=x)Pii-3、连续型二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)=fxf(u,v)dvdugg4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数分布

5、函数：FV4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数分布函数：FV(x)=JxJ+8/(u,v)dvdu密度函数：fv(x)=J/(x,v)dvXX+g+gggFY(y)=JJf(u,v)dudvgg5、二维随机变量的条件分布g+g+gfY(y)=Jf(u,y)dugfYx(曲=制，gY+fxY(山)=特，gX0有P|X-E(X)|乂或pX-E(X)|1-丄ZXD丄ZXD-ZE(X.)ninii=1i=12、大数定律：若XAX相互独立且nTa时,1n(1)若XAX相互独立，E(X)=p,D(X)=Q2且b2a)i若XAX相互独立同分布，且E(X)=卩则当nTg时：丄ZXpT卩1niini

6、i=13、中心极限定理(1)独立同分布的中心极限定理：均值为卩，方差为b20的独立同分布时，当n充分大时有:n乙Xk_nPY=iN(0,1)nnQ拉普拉斯定理：随机变量耳(n=1,2A)B(n,p)则对任意x有：nlimPx=Je2dt=0(x)xt+8np(1一p)_8：2冗57工Xk_np近似计算：P(aZxb)=P(3心3)7(3)-(叱)k=1k皿咖VnQVnQVnQ1、总体和样本六、理统计总体X的分布函数F(x)样本(X,XAX)的联合分布为F(1、总体和样本六、理统计总体X的分布函数F(x)样本(X,XAX)的联合分布为F(x,xAx)=冇尸(x)12nkk=12、统计量(1)样本

7、平均值：X=1工X.(2)样本方差:nii=11-S2=(XX)2=n_1ii=1古(Xf_nX2)i=1(3)样本标准差：S=沽(兀_X)2样本k阶原点距:1i=1A=1Xk,k=1,2Aknii=1V-样本k阶中心距：B=M=(X_X)k,k=2,3Akknii=1(6)次序统计量：设样本(X,XAX)的观察值(x,xAx)，将x,xAx按照由小到大的次序重新排列，得到12n12n12nxxAx，记取值为x的样本分量为X，则称XXA2)limt(n)=N(0,1)=ns1.(x-口)2202F分布：设随机变量U%2(n),V%2(n)，且U与V独立，则随机变量F(ni,n2)=i所服从的分

8、布称为自121V：n2由度(竹,n2)的F分布，记为FF%,n2)性质：设XF(m,n),则丄F(n,m)七、参数估计1、参数估计定义：用0(X,X，人X)估计总体参数0，称令(X,X，人X)为9的估计量，相应的令(X,X，人X)为总体0的12n12n12n估计值。当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的最大似然估计值离散型样本均值：丄工ni=离散型样本均值：丄工ni=1连续型样本均值：X=E(X)=L*f(x,0)dx一8离散型参数：E(X2)=丄工X2nii=13、点估计中的最大似然估计最大似然估计法：X,X，人X取自X的样本，设Xf(x,0)或P(X=X)=P(0)则可得到概率

9、密度:TOC o 1-5 h z12nif(叫，Ax,0)=Hf(x.,0)或P(X=XX小X=x)=HP(X=x.)=Hp.(0)12.12.=1.=1.=1基本步骤：似然函数：L(0)=Hf(x.,0)或HP.(0)i=1i=1取对数：InL=工Inf(X.,0)i=1解方程：0厶=0,A,=0最后得：01=(xxAx),A,0k=0k(xxAx)80801112nkk121k(2)E(X土Y)=E(X)土E(Y)E(aX土B)=aE(X)土BE(CX+ACX)=CE(X)+ACE(X)11nn11nn若XY相互独立则：E(XY)=E(X)E(Y)(4)E(XY)2E2(X)E2(Y)3、方差：D(X)=E(X2)E2(X)