江苏省苏州市第五中学高考数学总复习 第6讲 不等式的证明课件

1、第6讲不等式的证明2021/8/8 星期日1知 识 梳 理1基本不等式(1)定理：如果a，bR，那么a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立 ab 2021/8/8 星期日22三个正数的算术几何平均不等式 abc 不小于 不小于 a1a2an 2021/8/8 星期日32021/8/8 星期日44证明不等式的方法(1)比较法求差比较法知道abab0，ababb，只要证明 即可，这种方法称为求差比较法ab0 2021/8/8 星期日5 (2)分析法从所要证明的结论入手向 反推直至达到已知条件为止，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明

2、过的不等式)，推出所要证明的结论，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式 的假设；第二步：从 出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立；使它成立的充分条件 相反 条件和假设 2021/8/8 星期日6(5)放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地 ，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立(6)数学归纳法设Pn是一个与正整数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P1(或P0)成立；(2)在假设Pk成立的前提下，推出Pk1也成立，那么可以断定Pn对一切正整数成立

3、放大或缩小 2021/8/8 星期日72021/8/8 星期日82021/8/8 星期日92021/8/8 星期日102021/8/8 星期日112021/8/8 星期日122021/8/8 星期日13规律方法 分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆2021/8/8 星期日14【训练1】 已知a、b、cR，且abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8(1a)(1b)(1c)证明a、b、cR且abc1，要证原不等式成立，即证(abc)a(a

4、bc)b(abc)c8(abc)a(abc)b(abc)c，也就是证(ab)(ca)(ab)(bc)(ca)(bc)8(bc)(ca)(ab)2021/8/8 星期日152021/8/8 星期日16考点二用综合法证明不等式【例2】 已知实数a，b，c，d满足abcd，2021/8/8 星期日17规律方法 证不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上(或减去)一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以(或除以)一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧2021/8/8 星期日182021/8/8 星期

5、日19考点三利用柯西不等式求最值【例3】 设x2y3z3，求4x25y26z2的最小值2021/8/8 星期日20规律方法 柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等应用时，通过拆常数，重新排序、添项，改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式2021/8/8 星期日21【训练3】 (2012盐城市期末考试)已知a，b，c为正数，且a2b2c214，试求a2b3c的最大值解由柯西不等式，得(a2b3c)2(a2b2c2)(122232)142，当且仅当a2b3c时等号成立，所以a2b3c14，即a2b3c的最大值为14.2021/8/8 星期日22答题模板16利用算术、几何平均不等式求最值2021/8/8 星期日232021/8/8 星期日24反思感悟(1)利用算术、几何平均不等式证明不等式或求最值问题，是不等式问题中的一个重要类型，重点要抓住算术、几何平均不等式的结构特点和使用条件(2)在解答本题时有两点容易造成失分：