概率论与数理统计汪红霞6

1、第六章 抽样分布6.1 数理统计中的基本概念6.2 数理统计中的三个重要分布6.3 正态总体中统计量的分布6.1 基本概念一、总体: 在统计学中, 我们把所研究的全部元素组成的集合称作母体或总体, 总体中的每一个元素称为个体。 然而在统计研究中，人们往往只关心每个个体的一项（或几项）数量指标和改数量指标在总体中的分布情况。这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体。二、样本: 设总体X具有分布函数F(x),若X1, X2,Xn是具有分布函数F(x)的相互独立的随机向量，则称其为总体F（或总体X）的简单随机样本, 简称样本, 它们的观察值x1,x2, , xn称为样本观察值, 又称为X的n个独立

2、的观察值。三、统计量: 统计量是样本的函数,它是一个随机变量，如果x1, x2, , xn是样本观察值, 则g(x1, x2, , xn)是统计量g(X1, X2, , Xn)的一个观察值. 设X1, X2, , Xn是来自总体X的一个样本, g(X1, X2, , Xn)是一个与总体分布中未知参数无关的样本的连续函数，则称g(X1,X2,Xn)为统计量。 四、 常用的统计量:注：4.样本的联合分布：2) 若总体X是离散型随机变量，其分布律为 px=P(X=x) , x=x1,x2,则样本X1, X2, , Xn的联合分布:例1：XU(0,), X1, X2, , Xn是来自X的样本， 求（X

3、1, X2, , Xn）的联合密度函数。定理: 设X1, X2, , Xn是来自总体X的一个样本, 并设总体二阶矩存在,EX=,DX=2,则有6.2 统计分布与抽样分布 统计量T(X1,X2,Xn)的分布称为抽样分布。 一、统计中常用的分布:(一)2-分布定理：2. 分布与2(n)分布的关系：3. 2(n)分布的性质：0yf(y)(二) t-分布:说明f(t)t0(三) F分布:y0例题二、正态总体中统计量的分布(抽样分布):例1、总体XN(3.4 , 62)，X1,X2,Xn是来自X的样本，要使样本均值落在(1.4 , 5.4)中的概率达到0.95，求n。例2、设X1,X2,X10是来自总体

4、N(0, 0.52)的样本，求：例3、设X1,X2,X16是来自总体N(, 2)的样本，求：例4、设X1,X2,X16是来自总体N(, 2)的样本，未知，S220.8，求：第七章 参数估计7.1 问题的提出7.2 两种常用的参数估计方法7.3 评选估计量的标准7.4 区间估计的概念7.5 单个正态总体参数的置信区间7.6 两个正态总体均值差和方差比的置信区间7.1 点估计一. 问题的提法:二、矩估计法: 它是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计方法。是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的。其基本思想是用样本矩估计总体矩。由辛钦定理可知：样本的原点矩依概率收敛到总体的原点矩，即据此，我们来定

5、义一种参数的估计方法。定义： 样本原点矩依概率收敛于相应的总体原点矩, 而样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩的连续函数，所以所有的矩估计都有依概率收敛这一性质（相合性）。说明三、极大似然估计方法:说明理论依据定义：极大似然估计的求解方法:2、直接根据定义计算。1、求解对数似然方程：若驻点唯一，即为极大似然估计。例8、设总体X服从0 , 区间上的均匀分布, 求的极大似然估计。例9、设总体X服从,+1区间上的均匀分布,求的极大似然估计。极大似然估计的性质:例如，例8中参数的方差DX的极大似然估计为：7.2. 估计量的评选标准 1、无偏性:例1、设X1, X2, , Xn是来自总体X的一个样本

6、, 并设总体二阶矩存在,EX=，DX=2，证明：例2、X1,X2,Xn是来自XU(0,)的样本， 证明： 都是的无偏估计。2、有效性: 所有无偏估计中方差最小的无偏估计称为最小方差无偏估计，或称为有效估计。上例中，n1时，例3、对任何总体X，EX=，DX=2 ,X1 ， X2, ,Xn 是来自X 的样本，证明： 比 有效。3、相合性（一致估计）:由辛钦定理知：故所有的矩估计都是相合估计。7.3 区间估计 定义:说明2、置信区间长度越短，估计越精确，所以一般我们是对称的取；可以证明此时的置信区间长度最短。1、所以置信区间并不唯一。求置信区间的一般思路（枢轴量法）1、设法构造一个随机变量Z=Z(X

7、1,X2,Xn; ),除参数 外, Z不包含其他任何未知参数,Z的分布已知(或可求出),并且不依赖于参数 ,也不依赖于其他任何未知参数。（Z即称为枢轴量）7.4.正态总体参数的区间估计一、单个正态总体参数的区间估计:用表格表示如下：被估 条件 选用 分布 1 的置信区间参数 统计量 说明1、我们讲的都是双侧的置信区间，实际中还有单侧的置信区间，如书上的定义。2、若函数g(x)单调增，则： 若函数g(x)单调减，则：二、两个正态总体的区间估计:用表格表示如下： 参数 条件 1 的置信区间第八章 假设检验8.1 假设检验的基本概念8.2 单个正态总体参数的假设检验8.3 两个正态总体参数的假设检验

8、8. 4 总体分布的卡方拟合优度检验8.1 基本概念一、原理:例、甲乙两种名酒各4杯，从中任取4杯，若取 出的都是甲种酒称试验成功（A），求：1.试验一次成功的概率； 2.某人称能区分这两种酒，让他做了10次试验，结果成功了3次，试判断此人是否真的有区分这两种酒的能力。 假设检验所采用的方法类似与高数中的反证法: 先假设某个结论成立, 然后在这个结论成立的条件下进行推导和运算, 如果得到矛盾, 则推翻原来的假设, 结论不成立；这 里的矛盾是与实际推断原理的矛盾, 即如果 “ 小概率事件在一次试验中发生了”, 则认为原假设不成立, 因此, 假设检验是一种带有概率性质的反证法.基本思想二、假设检验

9、的一般步骤：三、假设检验的两类错误:1. 第一类错误: 如果原假设H0成立,而观察值落入拒绝域,从而作出拒绝H0的结论,称作第一类错误,又称“弃真”的错误.由定义知, 显著性水平恰好是犯第一类错误的概率；2. 第二类错误: 如果原假设H0不成立, 而观察值却落入接受域,从而作出接受H0的结论,称作第二类错误, 又称“取伪”的错误,通常记作。 检验时当然是两类错误越小，检验结果越精确，但是在样本容量确定的条件下，我们不可能使得两类错误都减小。说明 一般按照控制犯第一类错误的原则进行检验,而不考虑犯第二类错误（保护原假设的原则）, 这种检验问题,称为显著性检验问题。8.2 单个正态总体参数的检验一、2已知，检验 :二、2未知，检验 :H0真时统计量的分布拒绝H0的区域三、已知，检验 2 :四、未知，检验 2 :H0真时统计量的分布拒绝H0的区域8.3 两个正态总体参数的检验二、 未知，检验 :一、 已知，检验 :H0真时统计量的分布拒绝H0的区域四、 未知，检验 :三、