近世代数不变子群商群

1、近世代数课件不变子群商群第1页，共17页，2022年，5月20日，18点44分，星期三10.1 定义这一节里要讲到一种重要的子群，就是不变子群 给了一个群 ，一个子群 ，那么 的一个右陪集 未必等于 的左陪集 ，这一点我们在上一节的例里已经看到第2页，共17页，2022年，5月20日，18点44分，星期三一个不变子群 的一个左(或右)陪集叫做 的一个陪集. 意味着: 吗? 反过来呢? 在元素间意味着什么?不变子群又称为正规子群注1.注2.注3.注4. 定义一个群 的一个子群 叫做一个不变子群,假如对于 的每一个元 来说,都有 第3页，共17页，2022年，5月20日，18点44分，星期三10.

2、2 例子例一个任意群 的子群 和 总是不变子群，因为对于任意 的元 来说，例 刚好包含群 的所有有以下性质的元 ， ，不管 是 的哪一个元证明: 是 的一个不变子群第4页，共17页，2022年，5月20日，18点44分，星期三证明: . 的每一个元 可以同 的每一个元 交换，所以 ，即 是不变子群(1) 是子群.因为 ，所以 是非空的这就是说， 是一个子群 ， 又这个不变子群 叫做 的中心第5页，共17页，2022年，5月20日，18点44分，星期三例 一个交换群 的每一个子群 都是不变子群因为 的每一个元 可以和任意一元 交换， ，所以对于一个子群 来说， 例 那么， ， 是一个不变子群从这

3、个例子可以总结出一般性结论吗?注5.第6页，共17页，2022年，5月20日，18点44分，星期三10.3 等价条件现在复习一下群 的子集的乘积: 设A，B是群 的两个非空子集,规定，容易证明:，由于结合律成立, ， ， 的乘积用符号 来表示第7页，共17页，2022年，5月20日，18点44分，星期三定理 一个群 的一个子群 是一个不变子群的充分而且必要条件是：对于 的任意一个元 都对证明 证完 注5. 可以换成 ?第8页，共17页，2022年，5月20日，18点44分，星期三证明这个条件的必要性是显然的，是定理的直接结果我们证明它也是充分的定理一个群 的一个子群 是一个不变子群的充分而且必

4、要条件是：，条件 意味着（） 因为 也是 的元，在（）中以 代 ,证完第9页，共17页，2022年，5月20日，18点44分，星期三 要测验一个子群是不是不变子群，用定理的条件一般比较方便注6.用定理的条件可以改写成，注7.等价于 注8.等价于？注9.第10页，共17页，2022年，5月20日，18点44分，星期三小结:群 的一个子群 , ， .下面条件等价:1. 2.3. 4.注意: 不变子群不具有传递性.第11页，共17页，2022年，5月20日，18点44分，星期三10.4 商群 不变子群所以重要，是因为这种子群的陪集，对于某种与原来的群有密切关系的代数运算来说，也作成一个群 我们看一个

5、群 的一个不变子群 的所有陪集作成一个集合第12页，共17页，2022年，5月20日，18点44分，星期三 相对 :是一个元素, 相对 :是一 个子集.(2) 有不同的表示方式. 的子集的乘积,计算两个陪集 和 的 成绩 定理一个不变子群的陪集对于上边规定的乘法来说作成一个群第13页，共17页，2022年，5月20日，18点44分，星期三证明我们证明群定义的条件， 能被满足显然 是单位元,因为 有逆元 ,因为证完第14页，共17页，2022年，5月20日，18点44分，星期三 定义一个群 的一个不变子群 的陪集所作成的群叫做一个商群这个群我们用符号 来表示 因为 的指数就是 的陪集的个数，我们显然有，商群 的元的个数等于 的指数当 是有限群的时候，第15页，共17页，2022年，5月20日，18点44分，星期三从商群的角度重新认识剩余类加群第一，回忆剩余类加群。第二，重