材料力学05 弯曲应力

1、第五章 弯曲应力材料力学1第五章 弯曲应力 51 引言 52 纯弯曲时的正应力53 横力弯曲时的正应力54 弯曲切应力55 提高弯曲强度的措施25 引言弯曲应力1、纯弯曲与横力弯曲的概念（1）纯弯曲即梁发生弯曲变形时横截面上只有弯矩，而无剪力的情况。（此时横截面上只有正应力，而无切应力。）（2）横力弯曲即梁发生弯曲变形时横截面上既有弯矩，又有剪力的情况。（此时横截面上既有正应力，又有切应力。）3弯曲应力CD段为纯弯曲AC段和BD段为横力弯曲FSMxx4弯曲应力AB段为纯弯曲PPaaABCDFSxPPMxPaAC段和BD段为横力弯曲5弯曲应力2、弯曲变形的平面假设6弯曲应力各纵向线由直线变成弧线

2、；各横向线仍保持为直线，发生相对转动；各横向线仍然垂直于变形后的弧线。（1）实验前：绘纵向线，横向线；在纵向对称面内施加一对外力偶 。（2）实验后：7弯曲应力变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍垂直于变形后的梁的轴线。平面假设横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。对于纯弯曲，认为各纵向纤维之间无挤压，仅承受拉应力或压应力。即纵向纤维间无正应力，只有横截面上有正应力。（4）推论：（3）结论：8弯曲应力4、中性层与中性轴（1）中性层（2）中性轴即当杆件发生弯曲变形时，沿轴线方向既不伸长又不缩短的一层。即中性层与横截面的交线。中性层纵向对称面中性轴9弯曲

3、应力52 纯弯曲时的正应力1. 变形几何关系bdacabcdMM10弯曲应力)O1O1)abcdABOOydxA1B1O1O1dqry 可见，纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比。rey=112. 物理关系弯曲应力 可知，纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正比。在横截面上，任意点的正应力与该点到中性轴的距离成正比。即沿截面高度，正应力按线性规律变化。 纵向纤维之间无正应力，所以每一纤维都是单向拉伸或压缩。当应力小于比例极限时，由胡克定律：12弯曲应力3. 静力学关系即中性轴（z 轴）一定通过截面形心。zxyzydAOM13弯曲应力其中，EIz 称为梁的抗弯刚度。因 y 轴是对称轴，上式自然

4、成立。zxyzydAOM14弯曲应力联立以上几式，可得梁纯弯曲时横截面上正应力的计算公式为：其中，为拉应力还是压应力可由梁的变形确定。公式适用条件：（1）纵向对称面内的纯弯曲；（2）应力小于比例极限（线弹性范围内）。正应力的正负号：由变形直接判断：以中性层为界，梁在凸出一侧为拉应力为正；在凹入一侧为压应力为负。15弯曲应力53 横力弯曲时的正应力1.计算公式2.弯曲正应力强度条件（以等截面梁为例）工作正应力最大值许用正应力对于细长梁(l / h 5)，有：16弯曲应力引入记号：称为抗弯截面系数则弯曲正应力强度条件可改写为：3.弯曲正应力强度条件的应用（以等截面梁为例）校核强度：设计截面尺寸：确

5、定许可载荷：17弯曲应力弯曲正应力强度条件的几点说明：（1）对于非等直梁，危险点的应力max应由 确定。（2）对于抗拉压性能相同的材料，只要绝对值最大的正应力不超过许用应力即可；对于抗拉压性能不同的材料，则拉和压的最大正应力都不应超过各自的许用应力。4.抗弯截面系数Wz的计算讨论（1）矩形截面危险点：矩形顶边和底边上的所有点。hbz18弯曲应力（2）实心圆形截面（3）空心圆形截面其中为内外径之比，即：危险点：在圆周外缘上下两个点A和B上。zDABzdDAB危险点：在大圆周外缘上下两个点A和B上。19例1 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）11截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的

6、最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求11截面处中性层的曲率半径。弯曲应力q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax解：画M图求截面弯矩12120180zy3020弯曲应力q=60kN/mAB1m2m11求应力12120zy18030 xM+M1Mmax21求曲率半径弯曲应力q=60kN/mAB1m2m111212018030 xM+M1Mmax22解：画弯矩图并求危面内力弯曲应力画危面应力分布图，找危险点P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kN.m4kN.mMy1y2GA1A2A4A3例2 T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的L=30MPa

7、，Y=60 MPa，其截面形心位于G点，y1=52mm， y2=88mm，Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？423校核强度T字头在上面合理。弯曲应力y1y2GA3A4y1y2GA1A2A4A3x2.5kN.m4kN.mM2454 弯曲切应力一、矩形截面梁横截面上的切应力1、两点假设： 切应力与剪力平行；切应力沿截面宽度均匀分布。2、研究方法：分离体平衡。弯曲应力图a图bFS(x)M(x)M(x)+d M(x)FS(x)dxy在微段上取一块如图c，平衡在梁上取微段如图b；dxxxzyb图c25弯曲应力dxx图a由切应力互等，得：图bFS(x)M(x)M(x)+d

8、 M(x)FS(x)dxyxzyb图c26弯曲应力FS方向：与横截面上剪力方向相同；大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h按抛物线规律变化。最大切应力为平均切应力的1.5倍。二、其它截面梁横截面上的切应力1、研究方法与矩形截面同;切应力的计算公式亦为：其中，FS为截面剪力； 为距中性轴距离为y的横线以下的面积对中性轴之静矩； Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b 为截面宽度。272、几种常见截面的最大弯曲切应力弯曲应力工字形截面：。maxA FStf结论： 翼缘部分tmax腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。 铅垂切应力主要腹板承受（95-97%），且tmax tmin 故工字钢最大切应力Af

9、腹板的面积。;maxA FStf圆截面：28弯曲应力三、梁的弯曲切应力强度条件工作最大切应力许用切应力圆截面：矩形截面：工字形截面：一般说，最大切应力发生在剪力绝对值最大截面的中性轴处。29铆接、焊接或胶合而成的组合梁，其焊缝、胶合面、铆钉等一般要校核切应力强度。梁的跨度较短，M 较小，而FS较大时，即指短粗梁，又叫深梁，一般要校核切应力强度。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，一般要校核切应力强度。弯曲应力需要校核弯曲切应力强度的几种特殊情况：30弯曲应力 在梁的弯曲强度计算中应注意：（1）对受弯曲的梁来说，一般弯矩是主要的，所以无论强度校核还是设计截面，首先按正应力强度条件进行，然后进行

10、切应力校核。（2）对塑性材料而言，由于材料的抗拉和抗压的性能相同，因此对等截面直梁来说，危险截面仅一个，即弯矩值最大的截面。截面上的危险点也仅此截面上一点，即 所在的点。（3）对脆性材料而言，由于材料的拉伸强度极限和压缩强度极限不相等，因此对等截面直梁来说，危险截面有两个，正弯矩最大的截面和负弯矩最大的截面。而每个危险截面上危险点有两个，即 所在点，因此要满足全梁强度，必须这4点的强度均满足。31弯曲应力（4）无论什么材料，对等截面直梁而言，切应力强度条件仅一个，在 的截面中性轴处。（5）强度条件中的许用应力，是在轴向拉伸（压缩）条件下得出，实际上弯曲时的许用应力要大于轴向拉伸（压缩）时的许用

11、应力，这是因为弯曲时横截面上应力并非均匀分布，因此一般弯曲计算中用轴向拉伸（压缩）的是偏于安全的。32解：画内力图求危面内力例3 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，=7MPa，=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大切应力之比,并校核梁的强度。弯曲应力q=3.6kN/mABL=3mFS+xxM+Mmax33求最大应力并校核强度应力之比弯曲应力q=3.6kN/mFS+xxM+Mmax34弯曲应力55 提高弯曲强度的措施弯曲正应力是控制梁强度的主要因素，故弯曲正应力强度条件是设计梁的主要依据。对于等直梁，有：对于非等直梁，有：由此可知，要提高梁的承载能力，应从以下三方面考虑：1. 合理安排梁的受力，降低Mmax。2. 采用合理截面形状，提高Wz。3. 采用等强度梁。35一、合理安排梁的受力(降低Mmax)弯曲应力1、合理布置梁的支座xx36弯曲应力372、合理布置载荷弯曲应力xx38二、采用合理截面形状（提高Wz ）弯曲应力常用Wz / A衡量截面形状的合理性和经济性。 Wz / A越大，截面形状的经济合理性越强。1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面形状。39弯曲应力（1）矩形优于圆形（3）