工程力学 截面的几何性质

1、工程力学 截面的几何性质2022/9/161第1页，共29页，2022年，5月20日，3点50分，星期三 A-1 截面的静矩和形心一、截面的静矩和形心1.基本概念OxdAyyxC微面积对y轴的静矩微面积对x轴的静矩整个平面图形对y轴的静矩整个平面图形对x轴的静矩常用单位：m3 或mm3 。数 值：可为正、负或 0 。2022/9/162第2页，共29页，2022年，5月20日，3点50分，星期三2.形心坐标公式3.静矩与形心坐标的关系推论：截面对形心轴的静矩恒为0，反之，亦然。2022/9/163第3页，共29页，2022年，5月20日，3点50分，星期三1.组合截面的静矩 根据静矩的定义：整

2、个平面图形对某轴的静矩应等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和，即：二、组合截面的静矩和形心2022/9/164第4页，共29页，2022年，5月20日，3点50分，星期三组合截面静矩组合截面面积组合截面的形心坐标公式为：2.组合截面的形心坐标公式2022/9/165第5页，共29页，2022年，5月20日，3点50分，星期三例A-1 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x轴的静矩。 解：取平行于x轴的狭长条，所以对x轴的静矩为Ozyb(z)ydyhb2022/9/166第6页，共29页，2022年，5月20日，3点50分，星期三例A-2 试计算图示截面形心C的位置。解：将截面分为1、2两

3、个矩形。建立坐标系如图示。各矩形的面积和形心坐标如下：Oxyy112010 xx8010yC(y,x)矩形I矩形II2022/9/167第7页，共29页，2022年，5月20日，3点50分，星期三代入组合截面的形心坐标公式解得：2022/9/168第8页，共29页，2022年，5月20日，3点50分，星期三设任意形状截面如图所示。1.极惯性矩（或截面二次极矩）2.惯性矩（或截面二次轴矩）（为正值，单位m4 或 mm4)所以（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。） OzyyzrdA A-2 截面的极惯性矩、惯性矩、惯性积 2022/9/169第9页，共2

4、9页，2022年，5月20日，3点50分，星期三3. 惯性积（其值可为正、负或0，单位:m4 或 mm4)截面对于包含对称轴在内的一对正交轴的惯性积为0。结论：4. 惯性半径（单位m 或 mm）OzyyzrdA2022/9/1610第10页，共29页，2022年，5月20日，3点50分，星期三5.主惯性轴:当平面图形对某一对正交坐标轴y0、z0的惯性积 =0时，则坐标轴 y0、z0称为主惯性轴。7.形心主惯性轴:过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。可以证明:任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴。8.形心主惯性矩:平面图形对任一形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。6.主惯性矩:平面图形

5、对任一主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。推论：具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是平面图形的主惯性轴。2022/9/1611第11页，共29页，2022年，5月20日，3点50分，星期三例A-3 试计算图a所示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）x和y的惯性矩。 解：取平行于x轴的狭长条，则 dA=b dy同理yhCx dyyb(a)2022/9/1612第12页，共29页，2022年，5月20日，3点50分，星期三 若截面是高度为h的平行四边形（图b），则其对形心轴x 的惯性矩同样为hxyb(b)C2022/9/1613第13页，共29页，2022年，5月20日，3点50分，星期三例A-4 试计算

6、图示圆截面对于其形心轴（即直径轴）的惯性矩。 zDyyz解：由于圆截面有极对称性，所以所以2022/9/1614第14页，共29页，2022年，5月20日，3点50分，星期三A-3 平行移轴公式1.平行移轴公式推导 左图是一面积为A的任意形状的平面，c为其形心，yc，zc为形心坐标轴。与该形心坐标轴分别平行的任意坐标轴为xy ,形心c在oxy坐标系下的坐标为(a , b) 任意微面元dA在两坐标系下的坐标关系为：aycyzczCObdAzcycyx2022/9/1615第15页，共29页，2022年，5月20日，3点50分，星期三同理，有：注：式中的a、b代表坐标值，有时可能取负值。2022/

7、9/1616第16页，共29页，2022年，5月20日，3点50分，星期三例A-5：求图示直径为d的半圆对其自身形心轴Zc的惯性矩。（1）求形心坐标解：zyb(y)ycCdzcy（2）求对形心轴xc的惯性矩由平行移轴公式得： 2022/9/1617第17页，共29页，2022年，5月20日，3点50分，星期三思考题A-1：O为直角三角形ABD斜边上的中点，y、z轴为过点且分别平行于两条直角边的两根轴，关于惯性积和惯性矩有四种答案(已知ba)： （A）Iyz （B） Iyz ( C ) Iyz= （D） Iz=IyzABDyOab（思考题A-1）思考题A-2：等腰直角三角形如图所示，y、z轴是过

8、斜边中点的任意一对坐标轴（即图中为任意值），该图形的:(1)惯性积Iyz (2)惯性矩Iz 、 Iy。yzaa（思考题A-2）目录2022/9/1618第18页，共29页，2022年，5月20日，3点50分，星期三一、转轴公式 任意面元dA 在旧坐标系ozy和新坐标系oz1y1的关系为：代入惯性矩的定义式：zyOzyazya11ABCDEdAzy11A-4 转轴公式、截面的主惯性轴和主惯性矩2022/9/1619第19页，共29页，2022年，5月20日，3点50分，星期三 利用二倍角函数代入上式，得转轴公式 ：2022/9/1620第20页，共29页，2022年，5月20日，3点50分，星期

9、三注：上式中的 的符号为：从旧轴z至新轴z1逆时针为正，顺时针为负。（上式表明，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩 ）将前两式相加得2022/9/1621第21页，共29页，2022年，5月20日，3点50分，星期三 由惯性积的转轴公式可知，当坐标轴旋转时，惯性积将随着角作周期性变化，且有正有负。因此，必有一特定的角度0，使截面对于新坐标轴x0、y0的惯性积等于零。二、截面的主惯性轴和主惯性矩(1) 主惯性轴:截面对其惯性积等于0的一对坐标轴。(2) 主惯性矩:截面对于主惯性轴的惯性矩。(3) 形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点

10、与截面的形心重合时。(4) 形心主惯性矩:截面对于形心主惯性轴的惯性矩。2022/9/1622第22页，共29页，2022年，5月20日，3点50分，星期三(5)确定主惯性轴的位置 设0是旧轴x 逆时针转向主惯性轴x0的角度，则由惯性积的转轴公式及主惯性轴的定义，得可改写为（注：将负号置于分子上有利于确定2 0角的象限）2022/9/1623第23页，共29页，2022年，5月20日，3点50分，星期三(5) 由上面tan20的表达式求出cos20、sin20后，再代入惯性矩的转轴公式 ，化简后可得主惯性矩的计算公式：极大值Imax极小值Imin2022/9/1624第24页，共29页，202

11、2年，5月20日，3点50分，星期三(6) 几个结论若截面有一根对称轴，则此轴即为形心主惯性轴之一，另一形心主惯性轴为通过形心并与对称轴垂直的轴。若截面有二根对称轴，则此二轴即为形心主惯性轴。若截面有三根对称轴，则通过形心的任一轴均为形心主惯性轴，且主惯性矩相等。2022/9/1625第25页，共29页，2022年，5月20日，3点50分，星期三zyC10b10b40120a2080CCa 例：试计算截面的形心主惯性矩。解：作与上、左边平行的形心坐标轴xcyc 。（1）求形心坐标：（2）求对自身形心轴的惯性矩。（3）由平行移轴公式求整个截面的2022/9/1626第26页，共29页，2022年，5月20日，3点50分，星期三xc0yc0a=113.8（4）由转轴公式得zyC10b10b40120a2080CCa 2022/9/1627第27页，共29页，2022年，5月20日，3点50分，星期三 利用三角函数整理上式，得转轴公式 ：同理得：20