届步步高大一轮复习讲义

1、2022 高考会这样考 模拟方法 概率的应用 2. 和平面几何,函 1.以小题形式考查与长度或面积有关的几何概型； 数,向量相结合考查几何概型,题组以中低档为主 复习备考要这样做 1.精确懂得几何概型的意义,会构造度量区域； 2.把握与古典概型的联系 和区分,加强与数学其他学问的综合训练 b5E2RGbCAP 1 几何概型 假如每个大事发生的概率只与构成该大事区域的长度 面积或体积 成比例,就称这样 的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型 p1EanqFDPw 2 几何概型中,大事 A 的概率运算公式 PA 错误 . .DXDiTa9E3d 3 要切实懂得并把握几何概型试验的两个基本特点 1

2、 无限性：在一次试验中,可能显现的结果有无限多个； 2 等可能性：每个结果的发生具有等可能性 难点正本 疑点清源 1几何概型的试验中,大事 A 的概率 PA只与子区域 A 的几何度量 长度,面积或体积 成正比,而与 A 的位置和形状无关 RTCrpUDGiT 2求试验中几何概型的概率,关键是求得大事所占区域和整个区域 的几何度量,然后 代入公式即可求解 3几何概型的两种类型 1 线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量把握时 2 面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量把握时,一般是把两个变量分别作为 一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区 域解决 5P

3、CzVD7HxA 1在区间 1,2 上随机取一个数 答案 错误 . x,就 x 0 , 1 的概率为 解读 如图,这是一个长度型的几何概型题,所求概率 P错误 . 错误 . .jLBHrnAILg 2点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点,如在该圆周上随机取一B,就劣弧 错误 . 点 的长度小于 1 的概率 xHAQX74J0X 为 1 / 12 第 1 页,共 12 页答案 错误 . 3, 解读 如图可设 l 错. 1,就由几何概型可知其整体大事是其周长 误 就其概率是 错误 . . 3已知直线 yx b, b 2,3 ,就直线在 y 轴上的截距大1 的概5,2.故所求概率 P 于 率

4、是 答案 错误 . 解读 区域 D 为区间 2,3 , d 为区间 1,3 ,而两个区间的长度分别为 错误 . . 4一个路口的红绿灯,红灯的时间为 30 秒,黄灯的时间5 秒,绿灯的时间40 秒,就人到达路口时观看的是红灯的概率是 为 LDAYtRyKfE 为 某 A. 错误 . B.错误 . C.错误 . D.错误 . Zzz6ZB2Ltk 答案 B 解读 以时间的长短进行度量,故 P错误 . 错误 . . 湖 O 5 2022 北 如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别OA, OB 为直径作两个半圆在扇以 形 AB 内随机取一点,就此点取自阴影部分的概率dvzfvkwMI1 是 A

5、 1错误 . B. 错误 . 错误 . C.错误 . D. 错误 . rqyn14ZNXI 答案 A 解读方法一 设分别以 OA, OB 为直径的两个半圆交于点 接 OC, DC. 不妨令 OAOB2, 就 OD DADC 1. C, OA 的中点为 D,如图,连 在以 OA 为直径的半圆中,空白部分面积 S1 错误 . 错误 . 1 1 错误 . 1 , EmxvxOtOco 所以整体图形中空白部分面积 S2 2. 2 / 12 第 2 页,共 12 页2 又由于 S 扇形 OAB 错误 . 2 , 所以阴影部分面积为 S3 2. 所以 P错误 . 1 错误 . . 方法二 连接 AB,由

6、S 弓形 AC S 弓形 BCS 弓形 OC 可求出空白部分面积 设分别以 OA, OB 为直径的两个半圆交于点 C,令 OA 2. 由题意知 C AB 且 S 弓形 AC S 弓形 BCS 弓形 OC, 所以 S 空白 SOAB 错误 . 2 2 2. 又由于 S 扇形 OAB 错误 . 2 , 所以 S 阴影 2. 所以 P错误 . 错误 . 1 错误 . .SixE2yXPq5 题型一与长度有关的几何概型 例 1在集合 A m|关于 x 的方程 x 2mx错误 . m 10 无实 中随机地取一元素 m,恰使式子 lgm 有意义的概率 6ewMyirQ 根 为 FL 思维启示： 通过转化集

7、合 A 和 lgm 有意义将问题转化成几何概型 答案 错误 . 解读 由 m 2 4 错误 . 0 得 1m4.kavU42VRUs 即 A m|1 m0 ,即使 lgm 有意义的范畴是 0,4 , 故所求概率为 P错误 . 错误 . . 探 究 提 高 解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范畴当考察对象为点 ,点的活动范畴在线段上时,用线段长度比运算；当考察对象为线时,一般用角度比计 算事实上,当半径确定时,由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比,所以角 度之比实际上是所对的弧长 曲线长 之比 y6v3ALoS89 在半径为 1 的圆内一条直径上任取一点,过这个点作垂

8、直于直径的弦,就弦长超过圆 内 接等边三角形边长的概率是 M2ub6vSTnP 答案 错误 . 解读 记大事 A 为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”,如图,不妨在 过等边三角形 BCD 的顶点 B 的直径 BE 上任取一点 F 作垂直于直径的 弦,当弦为 CD 时,就是等边三角形的边长 此时 F 为 OE 中点 ,弦长 3 / 12 第 3 页,共 12 页大于 CD 的充要条件是圆心 O 到弦的距离小于 OF,由几何概型公式得： 0YujCfmUCw PA 错误 . 错误 . . 题型二与面积有关的几何概型 例 2 设有关于 x 的一元二次方程 x 2 2axb 2 0. 1 如 a 是从

9、 0,1,2,3 四个数中任取的一个数, 方程有实根的概率； eUts8ZQVRd b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数,求上 述 2 如 a 是从区间 0,3 任取的一个 数, b 是从区间 0,2 任取的一个数,求上述方程有实 根 的概率 思维启示： 1 为古典概型,利用列举法求概率 2 建立 a b 平面直角坐标系,将问题转化为与面积有关的几何概型 解 设大事 A 为“方程 x 2 2ax b 2 0 有实根” 当 a 0, b 0 时,方程 x 2 2ax b 2 0 有实根的充要条件为 a b. 1 基本事件共有 12 个： 0,0 , 0,1, 0,2 , 1,0 , 1,1

10、 , 1,2, 2,0 , 2,1 , 2,2 , 3,0, 3,1, 3,2 其中第一个数表示 a 的取值,其次个数表示 b 的取值事 件 A 中包含 9 个基本事件,大事 A 发生的概率为 PA 错误 . 错误 . .sQsAEJkW5T 2 试验的全部结果所构成的区域为 a, b|0 a3,0 b2 ,构成大事 A 的区域为 a, b|0 a 3,0 b2, a b ,所以所求的概率为 PA 错误 . 错误 . .GMsIasNXkA探 究 提 高 数形结合为几何概型问题的解决供应了简捷直观的解法用图解题的关键：用图形精确 表示出试验的全部结果所构成的区域,由题意将已知条件转化为大事 A

11、 中意的不等在图形中画出大事 A 发生的区域,通用公TIrRGchYzg 式, PA 错误 . . 式： 2022 湖 南 函数 fx sinx 的导函数 y f x的部分图像如以下图,其中, P 为图像与 y 轴的交点, A, C 为图像与 x 轴的两个交B 为图像的最低7EqZcWLZNX 点, 点 1 如 错误 . ,点 P 的坐标错误 . ,就 ； lzq7IGf02E 2 如在曲线段 为 错误 . 与 x 轴所围成的区域内随机取一点,就该点在ABC 内的概率zvpgeqJ1 为 hk 答案 13 2 错误 . 4 / 12 第 4 页,共 12 页解读 1fx sinx , f x

12、cosx 当 错误 . 时, f x cos 错误 . .NrpoJac3v1 又该函数过点 P 错误 . ,故 错误 . cos 错 误 . .1nowfTG4KI 2设 Ax0,0,就 3. x0 错误 . , x0 错误 . 错误 . .fjnFLDa5Zo又 y cosx 的周期为 错误 . , |AC| 错误 . , C 错 .tfnNhnE6e5 误 . 依题意曲线段 错误 . 与 x 轴围成的面积为 S .错误 . 错误 . 错误 . 错误 . 错误 . cosx dx 2.HbmVN777sL |AC| 错误 . , |yB| , S ABC 错误 . . 中意条件的概率为 错

13、误 . . 题型三与角度,体积有关的几何概型 例 3如以下图,在 ABC 中, B 60, C 45,高 AD 错误 . ,在 BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M,求 BM1 的概 率 V7l4jRB8Hs 思维启示： 依据“在 BAC 内作射线 AM ”可知,此题的测度是角度 解 由于 B 60, C 45, 所以 BAC 75, 在 Rt ABD 中, AD 错误 . , B 60, 所以 BD 错误 . 1, BAD 30. 记 事 件 N 为 “ 在 BAC 内 作 射 线 AM 交 BC 于 点 M , 使 BM1” , 就 可 得 BAM 错误 . 错误 . . 提 高 探

14、 究 几何概型的关键是“测度”,如此题条件如改成“在线段 测度变成线段的长度 83lcPA59W9 BC 上找一点 M”,就相应 的 一只蜜蜂在一个棱长为 30 的正方体玻璃容器内随机飞行如蜜蜂在飞行过程中始终保 持 与正方体玻璃容器的 6 个表面的距离均大10,就飞行是安全的,假设蜜蜂在正方体玻 于 璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同,那么蜜蜂飞行是安全的概率为 mZkklkzaaP A. 错误 . B.错误 . C.错误 . D.错误 . AVktR43bpw 5 / 12 第 5 页,共 12 页答案 C 解读 由题意,可知当蜜蜂在棱长为 10 的正方体区域内飞行时才是安全的,所以由几

15、何 概型的概率运算公式,知蜜蜂飞行是安全的概率为 错误 . 错误 . .ORjBnOwcEd 转化与化归思想在概率中的应用 典例： 12 分 已知向量 a2,1 , b x, y 1 如 x 1,0,1,2 , y 1,0,1 ,求向量 a b 的概率； 2 如 x 1,2 , y 1,1 ,求向量 a, b 的夹角是钝角的概率 审题视角 1 向量 a b 转化为 x 2y,而 x, y 的值均为有限个,可以直接列 化为古典概型问题； 2和 1 中条件类似,但 x, y 的值有无穷多个,应转化为几 出,转 何概型问题 2MiJTy0dTT 规范解答 解 1 设“ ab”为大事 A,由 a b,

16、得 x 2y. 基本事件空间为 1 , 1 , 1,0, 1,1, 0, 1, 0,0 , 0,1, 1, 1, 1,0 , 1,1 , 2 , 1 , 2,0 , 2,1 ,共包含 12 个基本事件； 3 分 gIiSpiue7A 其中 A 0,0 , 2,1 ,包含 2 个基本事件 就 PA 错误 . 错误 . ,即向量 a b 的概率为 错误 . .5 分 uEh0U1Yfmh 2 设“ a, b 的夹角是钝角”为大事 B,由 a, b 的夹角是钝角,可得 ab0,即 2x y错误 . 错误 . 错误 . , ooeyYZTjj1 即向量 a,b 的夹角是钝角的概率是 错误 . .12

17、分 温 馨 提 醒 1 对含两个变量把握的概率问题,如两个变量取值有限个,可转化为古典概型；如取 值无穷多个,就可转化为几何概型问题 BkeGuInkxI 2 此题错误的主要缘由是不能将问题化归为几何概型问题,找不到问题的切入点所 以要留意体会和应用转化与化归思想在解决几何概型中的作用 .PgdO0sRlMo 6 / 12 第 6 页,共 12 页方法与技巧 1区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个仍是无限多个 2转化思想的应用 对一个具体问题,可以将其几何化,如建立坐标系将试验结果和点对应,然后利用几何 概型概率公式 失误与防范 1精确把握几何概型的“测度”是解题关键； 2

18、几何概型中,线段的端点,图形的边框是否包含在大事之内不影响所求结果 A 组专项基础训练 时间： 35 分钟,满分： 57 分 一,选择题 每道题 5 分,共 20 分 1 2022 辽 AC, CB 的 长 宁 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一C.现作一矩形,邻边长分别等于线段 点 3cdXwckm15 ,就该矩形面积小于 32cm 2的概率为 A. 错误 . B.错误 . C.错误 . D.错误 . h8c52WOngM 答案 C 解读 设 AC x,CB 12 x, 所以 x12 x32,解得 x8. 所以 P错误 . 错误 . . 2 2022 北 京 设不等式组 错误 . 2

19、的概 表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,就此点到坐标原点的距离大率是 于 v4bdyGious A. 错误 . B.错误 . C.错误 . D.错误 . J0bm4qMpJ9 答案 D 解读 如以下图,正方形 OABC 及其内部为不等式组表示的区域 D ,且区域 D 的面积为 4,而阴影部分表示的是区域 D 内到坐标 原点的距离大于 2 的区域易知该阴影部分的面积为 4因 .此 中意条件的概率是 错误 . .XVauA9grYP 3如以下图,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,就点 P 恰好取自阴影部分的概率 为 7 / 12 第 7 页,共 12 页A. 错误

20、. B.错误 . C.错误 . D.错误 . bR9C6TJscw 答案 C 解读 S 阴影 .错误 . 错误 . xdx 错误 . 错误 . pN9LBDdtrd 错误 . 错误 . 错误 . ,又 S 正方形 OABC 1, DJ8T7nHuGT 由几何概型知, P 恰好取自阴影部分的概率为 错误 . 错误 . .QF81D7bvUA 4在区间 1,1 上随机取一个数 x,就 sin 错误 . 的值介于 错误 . 与 错误 . 之间的概率为 4B7a9QFw9h A. 错误 . B.错误 . C.错误 . D.错误 . ix6iFA8xoX 答案 D 解读 1 x 1, 错误 . 错误 .

21、 错误 . .wt6qbkCyDE 由 错误 . sin 错误 . 错误 . ,得 错误 . 错误 . 错,Kp5zH46zRk 误 . 错误 . 错误 . .Yl4HdOAA61 即 错误 . x 1.故所求大事的概率为 二,填空题 每道题 5 分,共 15 分 5平面内有一组平行线,且相邻平行线间的距离为 3cm,把一枚半径为 1cm 的硬币任意掷在这个平面内,就硬币不与任何一条平行线相碰的概率是 投 ch4PJx4BlI 答案 错误 . 解读 如以下图,当硬币中心落在阴影区域时,硬币不与 任何一条平行线相碰,故所求概率为 错误 . .qd3YfhxCzo p 1 6设 p 在 0,5 上

22、随机地取值,就方x 2 px 错误 . 错误 . 程 0 有实根的概率 E836L11DO5 为 答案 错误 . 解读 一元二次方程有实数根 . 0,而 p 2 4 错误 . p 1p 2,解得 或 p 2,故所求概率为 P 错误 . 错误 . .S42ehLvE3M 7在区间 f xx , 内 随机取两个数分别记为 a, b,就使得函数 22ax b 2 有零点的概率 501nNvZFis 为 答案 错误 . 解读 依据函数 f xx2 2ax b 2 有零点4a 2 4 b 20,即 2 a b ,建立 2得 如以下图的平面直角坐标系,就试验的全部结果构成的区域为正 方形 ABCD 及其内

23、部,使函数 fx 有零点的区域为图中阴影部 8 / 12 2 2 2分,且 S 阴影 4 3.jW1viftGw9 故所求概率为 P错误 . 错误 . 错误 . .xS0DOYWHLP 三,解答题 共 22 分 8 10 分已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长1,在正方体内随机取点 M,求使四棱锥 M为 ABCD 的体积小于 错误 . 的概率 LOZMkIqI0w 解 如图,正方体 ABCD A1B1C1D 1.设 M ABCD 的高为 h, 就 错误 . SABCD h错误 . , 又 SABCD 1, h已知关于 x 的一元二次函 fx ax 2 4bx 1. 数 错误 . 设点

24、a, b是区域 内的随机点,求函数 y fx在区间 1 , 上是增函数的概率 ZKZUQsUJed 解 由于函数 f x ax 2 4bx 1 的图像的对称轴为 x 错误 . ,要使 fx ax 2 4bx 1 在 区间 1 , 上为增函数,当且仅当 a0 且 错误 . 1,即 2b a.dGY2mcoKtT 依条件,可知试验的全部结果所构成的区域为 错误 . .rCYbSWRLIA 构成所求大事的区域为 错误 . .FyXjoFlMWh 由 错误 . 得交点坐标为 错误 . , TuWrUpPObX 所以所求大事的概率为 P 错误 . 错误 . .7qWAq9jPqE B 组专项才能提升 时

25、间： 25 分钟,满分： 43 分 一,选择题 每道题 5 分,共 15 分 2无零点的概率 1在区间 0,1 上任取两个数 a, b,就函数 fxx 2ax bA. 错误 . B.错误 . C.错误 . D.错误 . llVIWTNQFk 为 答案 C 解读 要使该函数无零点,只需 a 2 4b2 a 2b0, a 2b09T7t6eTno 答案 D 解读 如图,在圆上过圆心 O 作与 OM 垂直的直径 CD ,就 MD MC 错误 . R,当点 N 不在半圆弧 错误 . 上时, MN 错误 . R,故所 求的概率 PA 错误 . 错误 . .s1SovAcVQM 3 2022 值的算法框陕

26、 西 如以下图是用模拟方法估量圆周率 P 表示估量结果,就图中空白图, 框 内应填入 GXRw1kFW5s A P 错误 . B P 错误 . C P 错误 . D P 错误 . 答案 D解读 xi, yi 为 01 之间的随机数,构成以 1 为边长的正方形面, 当 x 错误 . y 错误 . 1 时,xi, yi均落在以原点为圆心,以 1 为半径且在第一象 点 限 的 错误 . 圆 内 , 当 x 错误 . y 错误 . 1 时 对 应 点 落 在 阴 影 部 分 中 如 图 所 示 UTREx49Xj9 有 错误 . 错误 . ,N 4M M , 8PQN3NDYyPM N 4M, 错误

27、. . 二,填空题 每道题 5 分,共 15 分 10 / 12 第 10 页,共 12 页4在区间 0,1 上任凭选择两个实数 x,y,就使 错误 . 1 成立的概率 mLPVzx7ZNw 错误 . 1,即 x 2 ,故所求概率为 为 答案 错误 . 解读 D 为直线 x 0, x 1, y 0, y 1 围成的正方形区域,而由 y 2 1x0 , y0 知 d 为单位圆在第一象限内部分 四分之一个圆 错误 . 错误 . .AHP35hB02d 5 2022 江 西 小波通过做玩耍的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,如此点到 圆心的距离大于 错误 . ,就周末去看电影；如此点到圆心的距离小于 错误 . ,就去