特殊与一般思想

1、特殊到一般的思想运用人类的认识活动，人们对于某类事物的认知，总是先对具体的个别事物，通过观察、实验、分析、综合，归纳出其甄选，再通过理性分析、逻辑推理加以证明，从特殊推及一般。 德国数学家希尔伯特说：在讨论数学问题时，特殊化比一般化起着更为重要的作用。例1已知点是椭圆上任一点，为椭圆的焦点，求证：以为直径的圆总与某一定圆相切。分析：设为椭圆的右顶点，当分别为椭圆的左、右顶点、和上、下顶点、时，分别以、为直径的同时内切于以原点为圆心半径为a的圆，由此可猜想以为直径的圆总与圆x2+y2a2相切。验证：设的中点为，椭圆的另一焦点为1，易由三角形中位线定理和椭圆的定义可得，所以圆恒与圆内切。故以为直径

2、的圆总与圆x2+y2a2相切。注：由特殊情形归纳猜想结论，再验证一般情形下结论的正确性。 例2若数列的各项均为正数，（为常数），且 .(1)求的值; (2)求证：数列为等差数列.分析（1）令，则有 令，则有 可得： （2）所给的递推公式中含有，而且原递推公式也很难变形，所以考虑再写一个式子两式相减，构造新的递推公式，仿照（1）进行变形. 解： 可得：，从而 ， 数列为等差数列注：特殊情形的研究不只是为了归纳猜想得结论，更是能帮助发现研究问题的方法。例3 设函数f(x)=ax3-3x+1(xR)，是否存在实数a，使得对于任意的x-1,1,都有f(x) 0成立？若存在，试求出满足条件的实数a取值集

3、，若不存在，说明理由.（2008年江苏高考题）分析：想法一、假设存在a，使得f(x) 0成立。当x0，则不论a取何值，f(x)0显然成立；当x0 即x（0,1时，f(x)=ax3-3x+10可化为，设，则， 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而4；当x0 即x时，f(x)=ax3-3x+10可化为，此时有，所以 在区间上单调递增，因此g(x)min=g(-1)=4，从而4，综上所述，有4，即a取值集合为4.想法二、特殊到一般：若存在满足条件的实数a，则由于对任意的x-1,1,都有f(x) 0成立，故当x取-1、0、1、时f(x) 0成立，而由f(-1)=-a+3+1 0，可得a

4、4,由 ，可得a4，由此可得a可能的取值仅有。而当a=4时，f(x)=x3-3x+1,此时，由可得 ，易有，而，所以a=4时，f(x) 0恒成立。综上a取值集合为4。注：由特殊到一般和由一般到特殊的相互转化是相辅相成的。练习、方程 (1+m)x+(1-2m)y+1+4m=0(m为任意实数)表示的直线有什么特点？（必修2 P95（苏教版）分析：想法一、方程即为(x-2y+4)m+(x+y+1)=0，由该方程对任意实数m均成立，故有x-2y+4=0且x+y+1=0，由此有x=-2,y=1，即(-2,1)总是方程的解，故直线恒过定点(-2,1).想法二、由方程表示直线，当m=0时表示直线l1: x+

5、y+1=0，当m=1时表示直线l2: 2x-y+5=0，易求直线l1与直线l2交于点P(-2,1). 而当x=-2,y=1时，(1+m)(-2)+(1-2m)1+1+4m=0，即对任意的实数m，直线l: (1+m)x+(1-2m)y+1+4m=0恒过定点(-2,1).BMPOA.如图， OM/AB，点P在由射线OM,线段OB、以及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且,则x _；当x=时，y的取值范围_BMPOA分析 想法一、直接法：可用平行四边形法则进行判断，但过程相当繁琐.MBAOP想法二、特值法：由题意可以判断无论A、B的位置如何，结论都应该是确定的.从而可以取直角坐标系中的单位向量(1,0)(0,1)为向量，这样(x,y)恰为如图所示的区域中的点P的坐标，由此容易得到出结论. （-,0MBAOP 点评：判定结论是确定的，故可以选取特殊位置，由此获得结论. 在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，则=.分析想法一、直接法：利用三角形中正、余弦定理进行变形化简，由正弦定理，得：上式=过程较为复杂！想法二、特值法：由题意该三角形不确定，但结论应为定值！故可选取特殊模型等腰三角形。取，由条件可得，由此可得从而，由此可求tan