2023届高考数学一轮知识点训练：数列模型的实际应用问题含解析

1、第 页）2023届高考数学一轮知识点训练：数列模型的实际应用问题 一、选择题（共18小题）1. 我国古代数学名著算法统宗中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠次第每人多十七，要将第八数来言务要分明依次第，孝和休惹外人传”意为：“996 斤棉花，分别赠送给 8 个子女做旅费，从第 1 个孩子开始，以后每人依次多 17 斤，直到第 8 个孩子为止分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话”在这个问题中，第 8 个孩子分到的棉花为 A. 184 斤B. 176 斤C. 65 斤D. 60 斤 2. 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三

2、百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是：“一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯多少?”现有类似问题：一座 5 层塔共挂了 363 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 3 倍，则塔的中间一层共有灯 A. 3 盏B. 9 盏C. 27 盏D. 81 盏 3. 根据 2020 年央行商业贷款基准利率的有关规定：一年以下（含一年）年利率为 4.35%；一至三年（含三年）利率为 4.75%，三至五年（含五年）利率也为 4A. 100+1005C. 100+1005 4. 九章算术中有如下问题：“今有金锤，长五尺斩本一尺，重四斤斩末一尺

3、，重二斤问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金锤，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重 4 斤；在细的一端截下一尺，重 2 斤，问各尺依次重多少?”（“斤”是古代一种质量单位，1 斤 =500 克）按这一问题的题设，假设金锤由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是 A. 73 斤B. 72 斤C. 52 斤 5. 九章算术之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题，如张邱建算经卷上第 22 题为利用等差数列求和公式解决织布问题若有一女善织布，从第 2 天起每天比前一天多织相同量的布，第一天织 5 尺布，一个月（按 30 天计）共织 420 尺布，则第

4、 2 天织布的尺数为 A. 16329B. 16129C. 8115 6. 我国古代名著九章算术中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤”意思是：“现有一金锤，长 5 尺，头部 1 尺，重 4 斤，尾部 1 尺，重 2 斤”若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，则该金锤总重为 A. 6 斤B. 7 斤C. 9 斤D. 15 斤 7. 若数列 an，bn 的通项公式分别为 an=(1)n+A. 1,12B. 1, 8. 若一个直角三角形三边长成等比数列，则 A. 三边长之比 345C. 较大锐角的正弦为 512 9. 一个弹性小球从 10 米高处自由落下，着地

5、后反弹到原来高度的 45 处，再自由落下，又弹回到上一次高度的 45A. 50B. 80C. 90D. 100 10. 已知数列 an 满足 a1=0,A. 20092010B. 20082009C. 11. 九章算术中的“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，现自上而下取第 1，3，9 节，则这 3 节的容积之和为 A. 133 升B. 176 升C. 199 升 12. 我国古代数学名著 算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是：一座 7 层塔共

6、挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯 A. 1 盏B. 3 盏C. 5 盏D. 9 盏 13. 某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示从目前记录的结果看，前 m 年的年平均产量最高，m 值为 A. 5B. 7C. 9D. 11 14. 九章算术中有一“竹九节”问题大意为：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面 3 节的容积之积为 3，下面 3 节的容积之积为 9，则第 5 节的容积为 A. 2B. 6766C. 3D. 15. 神六飞天，举国欢庆，据科学计算，运载“神舟六号”飞船的“长征二号”系列火箭，在

7、点火 1 分钟通过的路程为 2km，以后每分钟通过的路程增加 2A. 10 分钟B. 13 分钟C. 15 分钟D. 20 分钟 16. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天到达目的地，则第 2 天走了 A. 96 里B. 48 里C. 24 里D. 12 里 17. 张丘建算经是我国南北朝时期的一部重要著作，书中系统地介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现书中有这样一个问题

8、，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织得快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布 5 尺，一个月（按 30 天计算）总共织布 390 尺，问每天增加的数量为多少尺?该问题的答案为 A. 829 尺B. 1629 尺C. 3229 尺 18. 算法统宗是中国古代的数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推在这个问题中，记这位公公的第 n 个儿子的年龄为 an，则 a1A. 35B. 3

9、2C. 23D. 38 二、填空题（共6小题）19. 夏季某高山上的温度从山脚起，每升高 100 米降低 0.7C ，已知山顶处的温度是 14 20. 某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前 m 年的年平均产量最高，m 的值为 21. 若一个数列的第 m 项等于这个数列的前 m 项的乘积，则称该数列为“m 积数列”若各项均为正数的等比数列 an 是一个“2016 积数列”，且 a11，则当其前 n 项的乘积取最大值时 22. 某地区 110a 原有森林木材存有量为 a，且每年增长率为 25%，因生产建设的需要，每年年末要砍伐的木材量为 110a，设

10、 an 为第 23. 有一种计算机病毒可以通过电子邮件进行传播，如果第一轮被感染的计算机数是 1 台，并且以后每一台已经被感染的计算机都感染下一轮未被感染的 3 台计算机，则至少经过 轮后，被感染的计算机总数超过 2000 台 24. 如图所示，在一个 2n12n1（n 三、解答题（共6小题）25. 某投资商到一开发区投资 72 万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出 12 万元，以后每年支出增加 4 万元，从第一年起每年蔬菜销售收入 50 万元设 fn 表示前 n（fn= 前 n 年的总收入 前 n 年的总支出 （1）该厂从第几年开始盈利?（2）若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方

11、案：年平均纯利润达到最大时，以 48 万元出售该厂；纯利润总和达到最大时，以 16 万元出售该厂，问哪种方案更合算? 26. 已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 a（单位：m2），其中有部分旧住房需要拆除当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的 10% 建设新住房，同时也拆除面积为 b（单位：（1）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式：（2）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30%，则每年拆除的旧住房面积 b 是多少?（计算时取 1 27. 某职工准备购买一套商品房，要向银行贷款若干，这笔贷款按复利计算（即本年利息计入下一年的本金生息），利率为 q0qS

12、m+1m+1 即可，也就是 Sm014. D【解析】方法一：依题意可设竹子自上而下各节的容积成等比数列 an，设其公比为 qq0，由上面 3 节的容积之积为 3，下面 3 节的容积之积为 解得 a1q=所以第 5 节的容积为 a1方法二：依题意可设竹子自上而下各节的容积成等比数列 an，由上面 3 节的容积之积为 3，下面 3 节的容积之积为 9 可知 a1a2a所以 a515. C16. A17. B【解析】由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，记为 a1，a2，a3，其公差为 d，则 a1=5 S3018. A【解析】由题意可知，九个儿子的年龄成公差 d=3 的等差数列，

13、且 9故 S9=919. 1600 米20. 921. 1007 或 1008【解析】由题可知 a1a2a3a2016=a2016，故 a1a2a3a201522. 323. 7【解析】假设第 n 轮被感染的计算机为 an 台，则第 n+1 轮被感染的计算机数为 an+1=24. 425. （1） 由题意知f由 fn0，即 由 n（2） 方案：年平均纯利润f当且仅当 n=故方案共获利 616+方案：f当 n=10 时，故方案共获利 128+比较两种方案，获利都是 144 万元，但由于第种方案只需 6 年，而第种方案需 10 年，故选择第种方案更合算26. （1） 第 1 年末的住房面积a第 2

14、 年末的住房面积a（2） 第 3 年末的住房面积a第 4 年末的住房面积a第 5 年末的住房面积a依题意可知 1.6a627. （1） 设贷款金额为 x 元，则 1 年后欠款为 a1 2 年后欠款为 a2 3 年后欠款为 a3仿此，30 年后欠款为 a30因为 a30所以 x1所以 x=（2） 设第 8 年开始偿还的这种贷款金额为 y 元，则 8 年后欠款为 b8 9 年后欠款为 b9仿此，30 年后欠款为 b30因为 b30所以 y1所以 y=故 x即贷款金额比原贷款金额少 Aq28. （1） 每一年新增加的公交车数组成等比数列 an首项 a1=128而2014年的公交车数为 a7则 a7（2） 设第 n 年底，新公交车总数为 Sn则 Sn所以 Sn故有 a1即 1283所以 32所以 n故 n 的最小值为 8故到2015年底新公交车开始超过总量的 1329. （1） 由题意，每年的支出费用（单位：万元）组成首项为 11，公差为 2 的等差数列，故前 n 年的总支出费用为 11