湖南省长沙市舞蹈艺术职业中等专业学校2021-2022学年高三数学理期末试题含解析

1、湖南省长沙市舞蹈艺术职业中等专业学校2021-2022学年高三数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知垂直，则的夹角是（ ）（A）600（B）900（C）1350（D）1200参考答案：B略2. 已知，则下面四个数中最小的是 A. B. C. D.参考答案：C略3. 已知函数，则在，的图像大致为（ ）参考答案：C由于函数为偶函数，故其图像关于轴对称，选项AB错误；且：，据此可知：，选项D错误；本题选择C选项.4. 已知实数、满足，则的最大值为A. B. C. D. 参考答案：C5. 设等比数列的公比为

2、，前项和为，且。若，则的取值范围是（ ）A BCD参考答案：B略6. 若关于x的二次方程的一根大于1，另一根小于1，则的取值范围是 （）Aa0或a-4 Ba-4 Ca0 D4a0参考答案：A略7. 已知， 由如右程序框图输出的（ ）A. B. C. D.参考答案：C 8. 在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是 （）高考资源网 A B C D参考答案：C略9. 欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）A第一象限 B

3、第二象限 C第三象限 D第四象限参考答案：B10. 小明在解决三视图还原问题时，错把图一的三视图看成图二的三视图，假设图一所对应几何体中最大的面积为S1，图二所对应几何体中最大面的面积为S2，三视图中所有三角形均为全等的等腰直角三角形，则=（）A1BCD参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据已知中的三视图，分别求出两个几何体中面积最大的面，进而可得答案【解答】解：假设三视图中全等的等腰直角三角形的腰长为a，则图一的三视图对应的几何体中，面积最大的面是直角边长为：a，的直角三角形，故S1=，图二的三视图对应的几何体中，面积最大的面是边长为：的等边三角形，故S2=，故=，故选：D二、

4、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 过抛物线的焦点且倾斜角为的直线被圆截得的弦长是_参考答案：12. 已知中，AB=，BC=1，则的面积为_参考答案：由得，所以。根据正弦定理可得，即，所以，因为，所以，所以，即，所以三角形为直角三角形，所以。13. 直线是函数的切线，则实数 参考答案：略14. （文）已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 参考答案：或当时，此时不等式成立，所以只考虑时，若，则不等式等价为，此时。若，则不等式等价为，即，因为，所以，所以。所以实数的取值范围是或。15. 给出下列命题：(1)定义在上的函数为奇函数，则的图像关于点（1，0）成中心对称；(2)

5、函数定义在上，若为偶函数，则的图像关于直线对称；(3)既是奇函数又是偶函数的函数一定是；(4)函数无奇偶性.其中正确命题的序号为_.参考答案：答案：（1）16. 已知函数f（x）=（aR），给出下列命题：f（x）是R上的单调函数；?aR，使f（x）是奇函数； ?aR，使f（x）是偶函数；a=1时，=f（2016）+f（2015）+f（2016）为定值1008以上命题中，真命题的是（请填出所有真命题序号）参考答案：【考点】函数的值；函数单调性的判断与证明【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】求出函数的导数，通过讨论a的范围判断，根据函数的奇偶性判断，根据f（x）+f（x）=1，求出结

6、论即可【解答】解：f（x）=，f（x）=，a+20即a2时，f（x）0，f（x）递增，a+2=0即a=2时，f（x）=2，是常函数，a+20即a2时，f（x）0，f（x）递减，故错误；f（x）=，故a=2时，f（x）=f（x），是奇函数，故正确，错误，a=1时，f（x）=，f（x）+f（x）=1，=f（2016）+f（2015）+f（2016）=2016，故错误，故答案为：【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查函数的奇偶性问题，是一道中档题17. 如图是甲、乙两名篮球运动员2013年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分 HYPERLINK / 的中位数之和为 .参考答案：54略三、

7、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （13分）已知椭圆中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、三点过椭圆的右焦点F任做一与坐标轴不平行的直线与椭圆交于、两点，与所在的直线交于点Q.（1）求椭圆的方程：（2）是否存在这样直线，使得点Q恒在直线上移动？若存在,求出直线方程,若不存在,请说明理由.参考答案：解析：（1）设椭圆方程为-（1分）将、代入椭圆E的方程，得解得.-（4分）椭圆的方程- （5分） （也可设标准方程，知类似计分）（2） 可知：将直线-（6分）代入椭圆的方程并整理得-（7分）设直线与椭圆的交点，由根系数的关系，得-（8分）直线的方程为：

8、由直线的方程为：，即-（9分）由直线与直线的方程消去，得-（10分）-（12分）直线与直线的交点在直线上 故这样的直线存在-（13分）19. 已知抛物线，直线与抛物线交于两点（）若轴与以为直径的圆相切，求该圆的方程；（）若直线与轴负半轴相交，求面积的最大值参考答案：（）；（） （）联立，消并化简整理得 依题意应有，解得设，则，设圆心，则应有因为以为直径的圆与轴相切，得到圆半径为，又 所以 ，解得 所以，所以圆心为故所求圆的方程为（）因为直线与轴负半轴相交，所以，又与抛物线交于两点，由（）知，所以，直线：整理得，点到直线的距离 ， 所以 令，由上表可得的最大值为 所以当时，的面积取得最大值16.

9、（本小题满分12分）正项数列an满足-（2n-1）an-2n=0.（1）求数列an的通项公式an；（2）令bn=，求数列bn的前n项和Tn。参考答案：由于an是正项数列，则。（2）由（1）知，故21. 如图，在正三棱柱中， 是的沿长线上一点，过三点的平面交于，交于（）求证：平面；（）当平面平面时，求的值.参考答案：）因为，在平面外，所以平面；2分是平面与平面的交线，所以，故；4分而在平面外，所以平面6分注：不写“在平面外”等条件的应酌情扣分；向量方法按建系、标点、求向量、算结果这四个步骤是否正确来评分.（）解法一：取中点、中点则由知在同一平面上，并且由知而与（）同理可证平行于平面与平面的交线，

10、因此，也垂直于该交线，但平面平面，所以平面，10分于是，12分即14分注：几何解法的关键是将面面垂直转化为线线垂直，阅卷时应注意考生是否在运用相关的定理.（）解法二：如图，取中点、中点. 以为原点，为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系.则在平面中,，向量设平面的法向量，则由即得9分在平面中,，向量设平面的法向量，由得12分平面平面，即14分注：使用其它坐标系时请参考以上评分标准给分. I）由题意，Q点轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且,曲线C的轨迹方程是.分（II）先考虑切线的斜率存在的情形. 设切线：，则 由与O相切得即7分由，消去得，,设，则由韦达定理得，9分 10分由于其中一条切线满足，对此结合式可得12分于是，对于任意一条切线，总有，进而故总有. 14分最后考虑两种特殊情况：（1）当满足的那条切线斜率不存在时，切线方程为代入椭圆方程可得交点的纵坐标，因，故，得到，同上可得：任意一条切线均满足；（2）当满足的那条切线斜率存在时，对于斜率不存在的切线也有.综上所述，命题成立. 15分22. 在直角坐标系xOy中，曲线C1: （为参数），在以O为极点，x轴