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1、下列矩阵是否可以对角化10001100001002 5 2312103(2),04 解法一: 计算矩阵的特征值. 由11 3|E|=下列矩阵是否可以对角化10001100001002 5 2312103(2),04 解法一: 计算矩阵的特征值. 由11 3|E|=(+1) + 0+所以矩阵A的特征值为123当1 时, 解齐次线性方程组(EA)x0. 1 2 001120121100010110 EA1得基础解 11所以, 矩阵A 只有一个线性无关的特征向量, 因此, 矩阵A 不可对角化解法二. 计算矩阵的特征值. 由11 3|E|+=(+1) 0+所以矩阵A的特征值为1231. 因11 2 0

2、01120121100010110 EA所以, 于是, 齐次线性方程组(E A)x = 0 解空间(EA)=维数为n(EA321, 所以, 矩阵A只有一个线性无关特征向量, 因此, 矩阵A 不可对角化1解法一: 计算矩阵的特征值. 由+ 2|E|=(+1)(2) 04 所以矩阵A的特征解法一: 计算矩阵的特征值. 由+ 2|E|=(+1)(2) 04 所以矩阵A的特征值为122,3当= 2 时, 解齐次线性方程组(2E A)x= 0. 4 1 4 1 4 002EA= 得基础解141014011= 2= 当1时解齐次线性方程组(EA)x由1 0 4 01 1 0 00100010EA= 0得基

3、础解1013=由此可见, 矩阵A 有三个线性无关的特征向量, 所以, 矩阵A 可对角化解法二. 计算矩阵的特征值. 由+ 2|E|=(+1)(2) 04 所以矩阵A的特征值为122,3当2时4 1 4 1 24 1 2EA= 000可知, 为n(2E A) = 1, 齐次线性方程组(2E A)x = 0 解空间的维(2EA31可知, 为n(2E A) = 1, 齐次线性方程组(2E A)x = 0 解空间的维(2EA312,所以矩阵A有三个线性无关的特征量, 因此, 矩阵A 可对角化解: 计算矩阵的特征值. 由00000002001+ |EA| =(1)2(2+ 所以矩阵A的特征值为121,3

4、,4(1当1时0 0002001300001000100010EA= 00000 可知, 为n (E A) = 3, 齐次线性方程组(E A)x = 0 解空间的维(EA) = 43 = 1, 所以, 矩阵A 只有三个线性无关的特征量, 因此, 矩阵A 不可对角化3定理 定理 n 阶方阵A 可对角化 存在n 个线性无关的向量1 和n个数1 n 使得Ai说明: 定理中的n 个数1 n 就是矩阵A 的特征值, 向量i 就是对应于特征值i 的特征向量.定理 n 阶方阵A 可对角化 A 有n 个线性无关的特征向量.结论1. 对于一般实矩阵 A,属于不同特征值的特征向量是线性无关若n 阶方阵A 有n 个不同特征值, 则A 可对角化.结

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