高等数学总复习题

1、高等数学 A（1）复习题 一、函数与极限1判定以下每个命题是否正确（1）如数列xn满意nlimxna,就数列xn在 a 的任一邻域 之外 （其中0 ）,数列中的点至多只有有限多个；（2）如数列x n满意 :xn,0nN,且nlimx nna,就a0；（3）设nlimxna,且a0,就存在N0,当N时,有x na；4（4）如函数fx的极限lim x x 0fx存在,就fx在x 的任一邻域内肯定有界；（5）如函数fx在x 处没有定义,就极限x lim x 0fx肯定不存在；2设极限lim xx2ax= 5,求 a ；xa3求极限（1）lim x3x3x2cos2xx2；（ 2）x limxx21x

2、21；23sinx1（4）lim x 0 x esinx1；（3）lim x 0 xsin11sinx；xx1122 x；（5）lim x 0exxln1x1；1（6）lim cos x 0sinx；arctanx（8）lim x 0 x 0t 5t 3 dt；（7）lim x 0 x 2 1t1 2 t dt；0 x 0tx 1 cos t dtxln1x2等价的无穷小量4当x0时,以下无穷小量中哪些是与（）1cos2x；（）exex2；（）1xcos t2dt；（）1x1x；cos5设当x0时,exax2bx1是比x2高阶的无穷小,求a,b6求函数的间断点,并说明类型1（1）fx x3x2

3、36x；（2）fxex1arctan1；xe11xx7设函数fxlim nx 1x2n,争论函数fx的间断点；a,b,1x2n8设函数fxxarctan1,x0,争论函数fx在x0处的连续性和可导性；x9设函数0,x0 ,fx10cosax,x0在x0处连续、可导,求a,b；xx010设函数bx21x0 xf x 在a ,b 上连续,faa,fbb,证明：至少存在一点使f；11设函数fx在区间0 ,1上连续,且f x 2,证明：方程xf t dt3 x10在区间 0,1内有且仅有一个根；0二、导数与导数的应用1判定以下每个命题是否正确（1）函数fx在点xx 0处可导,就fx在点x0 x处连续；

4、0；（2）函数yfx在点xx0处导数为零是fx在点xx 0取到极值的必要条件；（3）设函数fx有三阶连续导数,且满意：fx0,0fx00 ,fx 0就fx 0不是f x 的极值；3 h；2,求lim h 0fx02 hfx 02设fx 0ln 12h 3求导数（1）设y3 xex2arcsinx,求y x,yx；（2）设y；3xsec 1x2,求yxx2cosx（3）设y1x 2 sinx,求 dy ；（4）设 f x 为可导函数,y f 2 x arctan x ,求 dy ；dx（5）设方程 x 2 y sin y 1 确定了函数 y y x ,求 y x ,y x ；3 2 2（6）设

5、f x x x2 x x cos3 x x ,求 f x ； e 1 （7）设函数 y y x 由 x arctan2 t2 打算,求 dy, d 22 y；y t ln 1 t dx dx1 n （8）设函数 f x ,求 f x ；5 2 x4已知物体的运动规律 s t 3 sin t e 2 t（米）,求这物体运动的速度和加速度；5求平面曲线 2 x 3 2 y 3 9 xy 0 在点（ 1,2）处的切线方程和法线方程；6设函数 f x 在 , a b 上连续,在 , a b 内二阶可导,且 f a f b 0,又F x x a 2f x ,证明：至少存在一点 , , 使 F 0.x x

6、7当 x 0 时, 证明不等式 : x e 1 xe；28证明：当 x 0 时,sin x cos x 1 x x；x 19争论函数 f x e 1ln t dt 在区间 ,1 的单调性并求极值；3 210争论函数 f x x 6 x 9 x 5 的单调性、极值、函数曲线的凹凸性、拐点,并描画函数的图形；. 2 211在抛物线段 y x , 0 x 8 上求一点 A x 0y 0 ,使抛物线 y x 在该点的切线与直线 y 0 , x 8 所围成的三角形的面积最大；1 212每天生产 x 台收音机的总成本为 C x x 3 x 100,该收音机是独家经营,市场25需求规律是：x p 60 2

7、p, p 是每台收音机的价格（单位：元）,问每天生产多少台时净收入最大？此时,每台收音机的价格应定为多少？三、不定积分与定积分1设fx有连续的导函数,判别以下等式中哪些是正确的；xdxfx；（A）dfxdxfx ；（B）dxfdxdxa（C）dbfxdxfx；（D）bfx dxfx ；dxaa2求以下积分（1）x21x3dx；（2）12 x3 xdx；2dx；22（3）8 0cos xdx：（4）11x4arctanx dx11x2（5）x3 lnxdx；（6）2xe1dx；x1（7）4cosx1 dx；（8）21cosx dx；00（9）132 x1x2dx；（10）13 x2 2ln313

8、设fx 112x0,求3fx1dxx e04xx0,求fx；4争论反常积分2x1x pdx的收敛性；ln5已知fx是1x2的一个原函数,f 1 6已知fx的一个原函数为ln1x2,求xf2xdx7已知连续函数fx满意方程fx112x31fxdx,求fxx08设xf tdtcosxx21x0 ,求lim x 0fx；0四、定积分应用：1设平面图形由曲线y2 x 33与直线yx所围成,2求：（1）此平面图形的面积；（ 2）此平面图形的周长；2设平面图形由星形线x23 cost所围成y2sin3t求：（1）此平面图形的面积；（2）此平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积；3运算由曲线yx2和yx

9、3所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周所成的旋转体的体积；4求对数螺线2e ,0,2的弧长；1t1 秒到时间2t3秒5求对数螺线e ,0,2和极轴0 所围图形的面积6求由曲线1cos与3 所围公共部分的面积；7已知质点以速度tet2（米 /秒）作直线运动, 求质点从时间v t内所经过的路程；8一根直金属棒长5 米,其密度函数x ex2x（千克 /米）（0 x5）,求此金属棒的质量；9高为 10 米,顶园 半径为 5 米的正圆锥形水池装满水,设水密度 1；求将水池内的水全部抽出所作的功10半圆形闸门的半径为2（米）,将其垂直放入水中,且直径与水面齐,设水密度1；求闸门一侧所受的水压力；五、空

10、间解析几何1设a2ijk,bi3jk,求：（1）与 a , b 均垂直的单位向量；（2）3a2 b.ab；（3）向量 a 的方向余弦；2已知三角形的顶点为 A 3 , ,1 2 、 B 4 , 2 , 2 、C 1 , ,0 3 ,求此三角形的面积；3平行四边形 ABCD 的两边为 AB a 2 b,AD a 3 b ,其中 a ,3 b 2,并且a b,求：（1）a b；（2）平行四边形 ABCD 面积；24求由 yOz 平面上曲线 z 3 2 y 绕 Oz 轴旋转一周所得的曲面方程；2 2 2 2 25求曲面 2 x 4 y z 3 与 z x 2y 的交线在 xOy 平面上的投影曲线方程；6求过点 ,1 3 , 2 且平行于平面 2 x 3 y z 1 的平面方程；7求过直线 x 1 y 1 z 1 和点 O ,0 0 , 0 的平面方程；8求点 P 0 ,1 2 , 2 与平面 5 x 3 y 4 z 11 的距离；x 2 y z 1 x y 2 z 29求直线 L 1 : 与 L 2 : 的夹角；1 1 4 1 2 2x 3 y 4 z10判定直线 L 1 :