高数2试题及答案

1、模拟试卷一留意：答案请写在考试专用答题纸上,写在试卷上无效；一、单项挑选题（每题 3 分,共 24 分）（本卷考试时间 100 分）x 1 y 2 z 11、已知平面：x 2 y z 4 0 与直线 L : 的位置关系是（）3 1 1（A）垂直（B）平行但直线不在平面上（C）不平行也不垂直（D）直线在平面上2、lim xy 00 2 xy 3 xy1 1（）（A）不存在（B）3 （C） 6 （D）2 23、函数 z f x , y 的两个二阶混合偏导数 z 及 z 在区域 D内连续是这两个二阶混合x y y x偏导数在 D内相等的（）条件 . （A）必要条件（ B）充分条件（C）充分必要条件（

2、 D）非充分且非必要条件4、设 d 4,这里 a 0,就 a =（）x 2 y 2 a（A） 4 （B）2 （C）1 （D） 0 5、已知 x ay dx2 ydy 为某函数的全微分,就 a（）x y（A） -1 （B）0 （C）2 （D）1 2 2 26、曲线积分L x 2 dsy 2z 2（）,其中 L : xz 1 y z 10 .（A）（B）2（C）3（ D）45 5 5 57、数项级数 a n 发散,就级数 ka n（ k 为常数）（）n 1 n 1（A ）发散（B）可能收敛也可能发散（C）收敛（D）无界8、微分方程 x y y 的通解是（）2（A ）y C 1 x C 2（B）y

3、x C（C）y C 1 x 2C 2（D）y 1x 2C2二、填空题（每空 4 分,共 20 分）1、设zesinxy,就 dz；x2dy= ；2、交换积分次序：2dx2ey dy= 0 x2xydx3、设 L 是任意一条光滑的闭曲线,就L4、设幂级数anxn的收敛半径为3,就幂级数nanx1n1的收敛区域为；n0n15、如Mx,ydxNx ,ydy0是全微分方程,就函数M、N应满意三、运算题（每题8 分,共 40 分）1、求函数zlnxy2的一阶和二阶偏导数；2、运算xyd,其中 D 是由抛物线y2x即直线yx2所围成的闭区域；D3、运算2xy4dx5y3 x6dy,其中 L 为三顶点分别为

4、00,、3,、3,的三角形L正向边界；4、将arctanx绽开成 x 的幂级数；0的通解；的体积；5、求微分方程xy1dxeyxdy四：应用题（16 分）a2所围成的空间区域求由旋转抛物面zx2y2和平面z模拟试卷二留意：答案请写在考试专用答题纸上,写在试卷上无效；一、单项挑选题 （每道题 2 分,共 20 分）1. 点,43 5,到 Ox 轴的距离 d （本卷考试时间 100 分）A 2 42 3 2 5B 3 22 5C 322 4D 2 42 52. 以下方程中所示曲面是单叶旋转双曲面的是（）. （A）x2y2z21（B）x2y24z；10ffx 0,y0（C）x2y2z21（D）x29

5、y2z24163. 二元函数zlnx242 yarcsinx21y2的定义域是 . （A）1x2y24；（B）1x22 y4. y（C）1x2y24；（D）1x22 y44. f xx0y . fx0,y0（B）lim x0fx0 x,（A）lim x 0fx0 x,y0 xx（C）lim x0fx0 x,y0fx ,y（D）lim x0fx 0 x,yx0,yxx5. 已知二重积分dxdy1,就围成区域的是（）DA | x|1,| y|1 3,其中 D 由xB x 轴, y 轴及2xy202C x 轴,x2及yx D xy1,xy16. 设Ix22 ydxdy2y2a2所围成,就 I = .

6、 DA 2daa2rdr2a43B 2dar22rdr1 2a40000C 2dar2dra D 2daaadr2 a4003007. 如 L 是上半椭圆xacos t,取顺时针方向 , 就Lydxxdy的值为 . ybsint,A0 B2ab Cab Dab8. 设 a 为非零常数 , 就当 时, 级数n1a 收敛 . n r1 D| r|1A |r|a| B |r|a|C | r|9. lim nun0是级数n1un收敛的 条件 . D 既非充分又非必要A 充分 B 必要 C充分且必要10. 微分方程yy0的通解为 _. 2sinxAycosxcB yc 1cosxc2Cyc 1c2sin

7、xD yc1cosxc二、填空题 （每道题 3 分,共 15 分）1. 已知平行四边形 ABCD 的两个顶点 A 2 , 3 , 5 , B 1 , 3 , 2 的及它的对角线的交点E 4 , 1 , 7 ,就顶点 D 的坐标 为_. 设 a 3 i j 2 k,b i 2 j k,就 a b = _ 23. 设 z arctan y , 就 z_ x x y4. 如正项级数 u n 的后项与前项之比值的极限等于,就当 _时,级数必收敛n 12 nx x x5. 幂级数 的收敛区间是2 2 4 2 4 2 n 三、运算题 （每道题 10 分,共 50 分）1. 求函数fx,yx3y33x2y2

8、的极值点,并求极值. . 2. 运算x2ey 2dxdy,其中 D 是以（ 0,0）,（1,1）,（0,1）为顶点是三角形区域D. 运算x21z2ds,其中为曲线：xet cos ,ye t sint,zte0t2y24. 利用逐项求导或逐项积分,求以下级数的和函数：xx3x5x2n1. 352 n15. 求微分方程满意已给初始条件的特解：ye2xy,y| x00. 四、应用题与证明题（第 1 小题 13 分,第 2 小题 12 分,共 25 分）1. 求球面x2y2z2a2a0 被平面za与za所夹部分的面积；. 422. 证明曲面xyzmm0上任一点处切平面与三个坐标面所围成四周体的体积为

9、常数模拟试卷三留意：答案请写在考试专用答题纸上,写在试卷上无效；一、单项挑选题 （每道题 2 分,共 20 分）（本卷考试时间 100 分）1. 如 a , b 为共线的单位向量,就它们的数量积 a b（）. （A） 1 （B）-1 （C） 0 （D）cos a , b 2. 设平面方程为 Bx Cz D 0,且 B , C , D 0, 就平面（） . （A）平行于 x 轴（B）垂直于 x 轴（C）平行于 y 轴（D）垂直于 y 轴2 2 1 2 2 x y sin 2 2 , x y 03. 设 f x , y x y , 就在原点 0 , 0 处 f x , y . 2 20 , x y

10、 0A 不连续 B 偏导数不存在 C 连续但不行微 D 可微3 34. 二元函数 z 3 x y x y 的极值点是 . A 1,2 B 1,-2 C 1,-1 D -1,-1 5. 设 D 为x2y21, 就D11y2dxdy=（）. x2 A 0 B C 2 D 46. 1 0 dx1xfx,ydy= 0 B1dy1xfx,ydxA1xdy1fx,ydx00,00C 1dy1yfx,ydx D 1dy1fx,ydx00007. 如 L 是上半椭圆xacos t取顺时针方向 , 就Lydxxdy的值为 . ybsint,A 0 B2ab Cab D ab8. 以下级数中 , 收敛的是 . A

11、 n15n1 B n14n1 C n11 n15n10 D n154n1454459. 如幂级数anxn的收敛半径为R ：0R 1,幂级数b nxn的收敛半径为R ：n0n0R 2,就幂级数anbnxn的收敛半径至少为 minR 1,R 2n0AR 1R 2 BR 1R 2 CmaxR 1,R 2 D10. 方程x yx22 yy是 . D可分别变量方程A 齐次方程 B一阶线性方程 C伯努利方程二、填空题 （每道题 3 分,共 15 分）1. 平行四边形二边为向量a,11,3,b2,3,1 ,就其面积 S = . 2. 通过点3,0,1且与平面3x7y5zt120平行的平面方程为3. 设zln

12、tanx,就z_yy1的点处切线方程为_；t2在对应于4. 曲线x1tt,y1tt,z5. 设闭区域 D 由分段光滑的曲线L 围成 ,函数Px,y 及Qx,y在 D 上具有一阶连续偏导数,就有LPdxQdy_；三、运算题 （每道题 10 分,共 50 分）1. 设zxln xy, 求3zy1所确定的闭区域xy22. 求e xyd, 其中D 是由xD3. 运算Lx2y dxxsin2y dy,其中 L 是在圆周：y2 xx2上由点 0,0到点 1,1的一段弧4. 将函数y 1xln1x绽开成 x 的幂级数 ,并求绽开式成立的区间5. 求以下微分方程的通解：cos2xdyytanx .dx四、应用

13、题 （第 1 小题 13 分,第 2 小题 12 分,共 25 分）1. 在平面 xoy上求一点 ,使它到x0 y0及x2 y160三直线的距离平方之和为最小 . 2. 求由曲面zx22y2及z62x2y2所围成的立体的体积. 、模拟试卷四留意：答案请写在考试专用答题纸上,写在试卷上无效；（本卷考试时间 100 分）一、单项挑选题（每道题2 分, 10 小题,共 20 分）1. 向量a4,12,2在向量b6,2,3上的投影等于（）A 4 7 B 4C 7 D 32 x9y344236绕 y 轴旋转一周所成的旋转曲面的方程是（2. 曲线z0A 4x24y29z236 B 4x29y29z216C

14、 4x29y24z236 D 9x29y24z2163. 已知fx ,y=xy , 就xf1,1 的值为 fx , C 1 D 不存在A B 1 24. 如fx,y在x0y0处可微 , 就y在x0y0处 A 连续且偏导数存在 B 连续且偏导数连续C 连续但偏导数不肯定存在 D 不肯定连续且偏导数不肯定存在5. 设I1ID1ex2y2dxdy,I2ex 2y 2dxdy, 其中区域D 1:1x,12y22,D2D2:0 x,10I12Iy2,就以下四式中正确选项（） A 4I B I14I2 C I14I2 D 126. 设Ix2y2dxdy, 其中 D 由x2y2a2所围成,就 I = D A

15、2da 0 a2d0y3, 就 B 2daa22ad000C2da2d,D 2dad000027. 设 L 为：xL4ds的值为 2 A 4 B 6 C 8 D 12 8. 以下级数中 , 收敛的是 A n11 B n1 31） C n1n1n D n1 nn2 n1C 1,1 D 1,19. 幂级数n1xn的收敛区间为（nA 1 ,1 B 1,110. 以下方程可分别变量的是（A sinxydxeydy0 B x xeydxy2dyy00C 1xydxy2dy0 D xy dxexdy二、填空题（每道题3 分,5 小题,共 15 分）.时,1. 通过曲线2x2zy2y2 z16,且母线平行于

16、 y 轴的柱面方程是x22202.经过点1,0,1且平行于向量v2,1 ,1的直线方程是 . 3. lim x 0y 01xy1= .xy4. 将二次积分2dxxfx ,ydy改换积分次序应为 _ .0 x25. 设u 、v 都是正项级数,且u 收敛,就当n1 ,2,都有n1n1n1v 也肯定收敛 .n1三、 设函数zx2xy2,求2zx y1 2. （10 分）yxy四、 运算二重积分x2y2x d,其中 D 是由直线yx、y2x及x2所D围成的闭区域 . （10 分）五、 运算曲线积分2yx3dx3x2y2dy, 其中 L 是由抛物线yx2和L2y x 所围成的区域的正向边界曲线 . （1

17、0 分）n 1六、 . 求幂级数 n x 的和函数 . （10 分）n 1七、 求以下微分方程的通解 :x22y2dxxydy0. （10 分）八、应用题（15 分）2y2被平面zaa0所截得的有限部分的面积 .求旋转抛物面zx模拟试卷五留意：答案请写在考试专用答题纸上,写在试卷上无效；（本卷考试时间 100 分）一、单项挑选题（每道题2 分, 10 小题,共 20 分）1.abab充分必要条件是（）0Aa b0Bab0 Cab0 Dab2. 两平面x4yz50与2x2yz30的夹角是（）A6B3 C4 D23. 如f ya,b 1,就lim y0fa ,byyfa,by = A 2 B 1

18、C 4 D 0 4. 如f xx0y0和f yx0y0都存在 , 就fx,y在x0y0处 A 连续且可微 B 连续但不肯定可微 C 可微但不肯定连续 D 不肯定连续且不肯定可微5. 以下不等式正确选项（）A x3y3d0B x2y2d0 x2y21x2y21C xyd0 Dxy d0 x2y21x2y216.1dx1xfx,y dy= 00 A1xdy1fx ,y dx B1dy1xfx ,y dx0000 C1dy1yfx,ydx D 1 0 dy1fx ,ydx0007. 设区域 D 由分段光滑曲线L 所围成, L 取正向, A 为区域 D 的面积,就（）AA1LydxxdyB A1Lxd

19、yydx22C A1LxdyydxD ALxdyydx28. 设a 是正项级数,前 n 项和为snnak,就数列ns有界是an收敛的（n1k1n1A 充分条件B 必要条件C 充分必要条件D 既非充分条件,也非必要条件9. 以下级数中,条件收敛的级数是（）_ .的 平 面 方 程A N11 N2 nn10B n11n113nC n11 n11nD n11 n132n10. 以下方程为线性微分方程的是（）A ysinxyexB yxsinyexC ysinxeyD xycos y1二、填空题（每道题3 分,5 小题,共 15 分）1. 曲线x2z212y20在 xoy平面上的投影方程是_ yz02

20、. 经 过 点2,0,1且 垂 直 于 直 线x11y1z431是 .2 2sin x y 3. lim xy 02 2 x 2 = _ .2 2 24. 设区域 D 是由 x 轴及半圆周 x y a y 0 所围成的闭区域,将二重积分2 2f x y d 化为极坐标形式的二次积分应为 _ .D5. 设n1u 、n1v 都是正项级数,且n1u 发散,就当n1 ,2,都有时,v 也肯定发散 .2x2zx y2 1. （10 分）x,y|1x2y24 .n1x三、 设函数zey, 求y四、 运算二重积分ex 2yd,其中 D 是圆环形闭区域D（10 分）五、 运算x2xy3dxy22xydy,其中

21、 L 是三个顶点分别为00,、20,L和 2 , 2 的三角形区域的正向边界 . （10 分）2 n六、 求幂级数 x 的和函数 . （10 分）n 1 2 n七、 求以下微分方程的通解 :xcosyysinydxxsinydy0. （10 分）xxx八、应用题（15 分）运算半球面z2 ax22 y被围在柱面x2y2ax内的部分曲面的面积 .参考答案（模拟试卷一）一： 单项挑选题（每道题 3 分,共 24 分） 1、D；2、B；3、B；4、A；5、 C； 6 、 C；7、B；8、C. N. 二、填空题（每空4 分,共 20 分） 1、esinxy cosxyydxxdy；2、2ey2dyyd

22、x； 3、0；4、2,4；5、M00yx三、运算题（每题8 分,共 40 分） 1、解：zxx1y2;zyx2y2; 2 分yzxxx12;z yy2xyy2;zxyzyxx2y2; 6 分y2x222 y 2、解：画出积分区域 1 分Dxyd2dyy2xydx 4 分1y2 =12yy22y5dy55 3 分218 3 、解：如图,由于Px,y2xy4,Qx ,y5y3x6 1 分P1 ,Q3,就QP4 2 分yxxy由格林公式得：2xy4dx5y3x6dyL =arctanDQdxPdxdyD4dxdy12 5 分xy 4 、解：xx2 2 分01x =xn01nx2xdxn0 x1nx2

23、ndx 3 分的体积与以00 =n01nx2n1x1,1 3 分2n1 5 、解：原方程即为ydxxdyx1dxeydy0 2 分即dxyd1x12dey0 2 分2dxy1x12ey0 2 分2原方程的通解为xy1x12eyC 2 分2四、应用题（ 16 分）解一：用二重积分运算；所求体积可视为圆柱体：x2y2a2,0za2曲面zx2y2为顶、以Dxy为底的曲顶柱体体积之差,其体积为 8 分Va2a2x2y2dxdyDxy 8 分a42dar3dr2a400解二：用三重积分运算；利用柱面坐标,有 4 分VdV2dardra2dz00r2 12 分2aa2rr3dr2a40答案（模拟试卷二）一

24、、单项挑选题 （每道题 2 分,共 20 分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案B C A D B B C D B D 二、填空题 （每道题 3 分,共 15 分）1. 9,-5,12 2. 5ij7k3. y2x224.15. ,x2y2三、运算题 （每道题 10 分,共 50 分）1. 求函数fx,yx3y33x2y2的极值点,并求极值. 4 分6 分7 分8 分9 分10 分解：fxx,y3 x26x ,fyx,y3y26y令fxx ,y0 x 10,x22fyx ,y0y 10,y22驻点为：00,0 ,2,20,2,2 又fxx6x6,fxy0,fyy6y6 （1）对

25、于驻点0 ,0 有A6 ,B0,C6,ACB2360且A0f0,00为极大值 （2）对于驻点0 ,2有A6,B0,C6,ACB2360f02, 不是极值 （3）对于驻点2 ,0有A6,B,0C6,ACB2360f2 ,0不是极值 （4）对于驻点2 ,2有A6,B,0C6,ACB2360且A0f2 ,28为微小值 2. 运算x2ey 2dxdy,其中 D 是以（ 0,0）,（1,1）,（0,1）为顶点是三角形区域. D解：Dx2ey2dxdy=1yx2ey2dx dy 5 分00=11y3ey2dyt cos , 7 分30=11y3dey206=1y3ey211ey2dy2600 10 分=1

26、1ey 2106e=1126e. 运算x21z2ds,其中为曲线：xeye t sint,zte0t2y2解：原式2etcost21sint2et2etcostetsintetdt 3 分0et32etdt 8 分02=3 1e2 10 分24. 利用逐项求导或逐项积分,求以下级数的和函数: xx3x5x2n1. 352n1x1 3 分解：1x2x4x2n112,xxx3x5x2n1=x112dx 6 分352n10 x=1x11xdx1x11xdx 10 分002=1ln1 1xx1 2x5. 求微分方程满意已给初始条件的特解：y2 exy,y| x00. 3 分 7 分9 分 10 分2

27、分 4 分解：dye2xeydxeydye2xdx 两边积分得：ey1e2xC 2又y|x00C1 2特解为：ey12 x e1 2四、应用题与证明题（第 1 小题 13 分,第 2 小题 12 分,共 25 分）1. 求球面x2y2z2a2a0 被平面za与za所夹部分的面积；42解：za2x2y2且Dx ,y3a2x2y215a2 416所求的面积为：S1zx2zy2dxdy D = a 1 dxdy 8 分2 2 2D a x y = a 2 2 d d 9 分D a152 a = a 0 2 3 4a a 2 2 d d = 1 a 2 13 分22. 证明曲面 xyz m m 0 上

28、任一点处切平面与三个坐标面所围成四周体的体积为常数 . 解：曲面 xyz m 上任一点 P x 0y 0 处的法向量为：n y 0 z 0 , x 0 z 0 , x 0 y 0 3 分P x 0y 0 处的切平面方程为：y 0 z 0 x x 0 x 0 z 0 y y 0 x 0 y 0 z z 0 0即：x y z 1 且有 x 0 y 0 z 0 m 9 分3 x 0 3 y 0 3 z 0所围立体的体积为：V 9 x 0 y 0 z 0 = 9 m 12 分2 2答案（模拟试卷三）一、单项挑选题 （每道题 2 分,共 20 分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCD

29、DCCCBDA二、填空题 （每道题 3 分,共 15 分）1. 310y2z2. 3x7y5z40Pdxdy3. 2x2 xc s cyy24.11xQ5. D248xy1三、运算题 （每道题 10 分,共 50 分）1. 设zxln xy, 求3zy1所确定的闭区域 3 分xy2解：zln xy1x2z1D 是由x 6 分xyyx2z1 10 分y2y22. 求x eyd, 其中D解：Dx eyd=D 1exydxdyexydxdyxeydydx 1 分D2=0 x1exeydy dx1 0 1x 1 e 7 分1x1x=0e2x1e1dx1ee2x1dx 9 分10=ee1 10 分3.

30、运算Lx2y dxxsin2y dy,其中 L 是在圆周：y2 xx2上由点 0,0到点 1,1的一段弧解：设 L 的参数方程为：xcos t1 ,t从到2 2 分ysintLx2y dxxsin2y dyt 1cos tsin2sintcos tdt 6 分=2 1cos t2sintsin=sintsin2 tsintcos2tcos2 t_costcostsin2sintdt27 1= sin 2 10 分6 44. 将函数 y 1 x ln 1 x 绽开成 x 的幂级数 ,并求绽开式成立的区间2 3 n 1解：y ln 1 x 1 1 x x x 1 n x , 1 x 1 4 分2

31、3 n 1y 1 x ln 1 x 2 3 4 n 2= x x x x 1 n x2 6 12 n 1 n 2 n 1 = x 1 x n 1, 1 x 1 10 分n 1 n n 1 2 dy5. 求以下微分方程的通解：cos x y tan x .dx解：y sec 2 x y tan x sec 2 xP x sec 2 x , Q x tan x sec 2 x 2 分P x dx P x dxy e Q x e dx C 3 分sec2xdx 2 sec 2 xdx= e tan x sec x e dx C tan xtan x 2= e tan x sec x e dx C 6

32、 分tan x tan x= e tan x e d tan x C tan xtan x= e tan xde C 8 分=ytan extanxetanx1etanxdtanxC 10 分=xtan cextan四、应用题 （第 1 小题 13 分,第 2 小题 12 分,共 25 分）1. 在平面 xoy上求一点 ,使它到x0 y0及x2 y160三直线的距离平方之和为最小 . 解：设所求的点为Px,y,就依据题意有：xR ,yR 5 分Sd2x2x2y162,y25S x2x2x2y160 9 分54xS y2y2y160 11 分5驻点为8,16 55由此题的实际意义可知,唯独的驻点

33、肯定是微小值点,也肯定是最小值点；所求的点为P8,16zx6,2x2y2 13 分55所围成的立体的体积. 2. 求由曲面zx22y2及2 2 分解：zx222y2y2Dxyx2y22z6x22y2 dxdy 6 分V62x2y2D = 63 x23y2dxdyD =32x2y2 dxdyD =322dd 9 分D =320222dd 12 分0 =32d = 60模拟试卷四留意：答案请写在考试专用答题纸上,写在试卷上无效；一、单项挑选题（每道题 2 分, 10 小题,共 20 分）（本卷考试时间 100 分）1. 向量a,12,2在向量b6,2,3上的投影等于（）A 4 B 4C 7 D 3

34、73442. 曲线42 x09y236绕 y 轴旋转一周所成的旋转曲面的方程是（zA 4x24y29z236 B 4x29y29z216C 4x29y24z236 D 9x29y24z2163. 已知fx ,y=xy , 就xf1,1 的值为 A B 1 C 1 D 不存在24. 如fx,y在x0y0处可微 , 就fx ,y在x0y0处 A 连续且偏导数存在 B 连续且偏导数连续C 连续但偏导数不肯定存在 D 不肯定连续且偏导数不肯定存在5. 设I1ID1ex2y2dxdy,I2ex 2y 2dxdy, 其中区域D 1:1x,12y22,D2D2:0 x,10y2,就以下四式中正确选项（）I1

35、2I A 4I B I14I2 C I14I2 D 126. 设Ix2y2dxdy, 其中 D 由x2y2a2所围成,就 I = D A2da 0 a2d0y3, 就 B 2daa22ad000C2da2d,D 2dad000027. 设 L 为：xL4ds的值为 2 A 4 B 6 C 8 D 12 8. 以下级数中 , 收敛的是 A n11 B n131 C n1n1n D n11 nn2 n9. 幂级数n1xn的收敛区间为（）C 1,1 D 1,1nA 1 ,1 B 1,110. 以下方程可分别变量的是（A sinxydxeydy0 B x xeydxy2dyy00C 1xydxy2dy0 D xy dxexdy二、填空题（每道题3 分,5 小题,共 15 分）1. 通过曲线2x2zy2y2 z16,且母线平行于 y 轴的柱面方程是.时,x22202.经过点1,0,1且平行于向量v2,1 ,1的直线方程是 . 3. limx 0y 01xy1= .xy4. 将二次积分2dxxfx ,ydy改换积分次序应为 _ .0 x25. 设u 、v 都是正项级数,且u 收敛,就当n1 ,2,都有n1n1n1v 也肯定收敛 .n1三、 设