导数10 大题（单调性）中下-全国一卷新高考数学题型细分汇编

1、第 第 页导数大题单调性4：（2022年山东临沂J15）已知函数为常数，是自然对数的底数），曲线在点,处的切线与轴平行（1）求的值；（2）求的单调区间；（ 【答案】（1）； （2）在递增，在递减； （3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题设求导函数，再由求参数k值.（2）由（ 【答案】（1）； （2）在递增，在递减； （3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题设求导函数，再由求参数k值.（2）由（1）得且，构造函数，结合导数研究的符号，进而求的单调区间.（3）由题设只需证在上恒成立，由（2）易得，再构造并应用导数判断的大小关系，即可证结论.【小问1详解】由题设，又在,处的切线与轴平行，即

2、，.【小问2详解】由（1）得：，令，当时，当时，又，时，时，在递增，在递减；【小问3详解】由，即，由（2），对于，时，递增，,时，递减，即，设，则，时，递增，即，则，综上，故，得证【点睛】关键点点睛：第三问，应用分析法转化为证明在上恒成立，结合（2）中的单调性得到，再判断的大小关系.（2022年山东威海三模J27）已知函数（1）当时，求的单调区间；（ 【答案】（1）的单增区间为；单减区间为， （2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，根据导数与函数单调性的关系，即可求解；（2）若选，不等式转化为证明，变形为证明，通过构造函数，即可证明；若选，首先根据函数有两个极值点，证得，再变换

3、为 【答案】（1）的单增区间为；单减区间为， （2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，根据导数与函数单调性的关系，即可求解；（2）若选，不等式转化为证明，变形为证明，通过构造函数，即可证明；若选，首先根据函数有两个极值点，证得，再变换为，通过构造函数，利用导数，即可证明.【小问1详解】，当时，令，解得；令，解得或，所以的单增区间为；单减区间为，【小问2详解】证明：由题意知，是的两根，则，将代入得，要证明，只需证明，即，因为，所以，只需证明，令，则，只需证明，即，令，所以在上单调递减，可得，所以，综上可知，证明：设，因为有两个极值点，所以，解得，因为，所以，由题意可知，可得代入得

4、，令，当，所以在上单调递减，当，所以在上单调速增，因为，所以，由，可得，所以，所以，所以，即（2022年山东济宁三模J42）已知函数，.（1）当时，证明：；（ 【答案】（1）证明见解析； （2）【解析】【分析】（1）构造函数，证得即可；（2）根据零点存在性定理结合导函数与单调性、最值等关系进行判定.小问1详解】证明：当 【答案】（1）证明见解析； （2）【解析】【分析】（1）构造函数，证得即可；（2）根据零点存在性定理结合导函数与单调性、最值等关系进行判定.小问1详解】证明：当时，设，由，可得在单调递减，在单调递增，所以，则，即；【小问2详解】函数，若函数在内有零点，则函数在内至少有两个极值点

5、，即在内至少有两个变号零点.，等价于在内至少有两个变号零点，当或时，或恒成立，则在上单调，不合题意；当时，由，可得在单调递减，在上单调递增，所以当时，在内有两个变号零点且最多两个，即，令，设，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，即在上恒成立，所以.此时即有两个零点，设为，当和时，单调递增，当时，单调递减，所以，则在上有零点，综上可得：.【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少

6、个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点（2022年山东实验中学J46）已知函数.(1)求函数的单调区间；（ 【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）对函数求导，求增区间需要导函数大于等于0，求减区间需要导函数小于等于0，分别解不等式即可；（2）令，要使恒成立，只需当时，对该函数求导，分类讨论研究函数单调性，进而得到结果；（3）求出函数过点的切线方程，各切点的横坐标满足，为函数和的交点的横坐标，这两个函数图像均关于点对称，则它们交点的横坐标也关于对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列的项也关于成对出现

7、，从而根据对称性得出结果.(1)，增区间应满足：， 减区间应该满足： 【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）对函数求导，求增区间需要导函数大于等于0，求减区间需要导函数小于等于0，分别解不等式即可；（2）令，要使恒成立，只需当时，对该函数求导，分类讨论研究函数单调性，进而得到结果；（3）求出函数过点的切线方程，各切点的横坐标满足，为函数和的交点的横坐标，这两个函数图像均关于点对称，则它们交点的横坐标也关于对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列的项也关于成对出现，从而根据对称性得出结果.(1)，增区间应满足：， 减区间应该满足：，的增区间为；减区间为.(2)令要使恒成立，只需当时，令，则对恒成立，在上是增函数，则，当时，恒成立，在上为增函数，满足题意；当时，在上有实根，在上是增函数，则当时，不符合题意；当时，恒成立，在上为减函数，不符合题意，即.(3)，设切点坐标为，则切线斜率为，从而切线方程为，令，这两个函数的图象均关于点对称，则它们交点的横