2020年全国统一高考数学试卷(新课标Ⅰ)

1、2020 年普高等学校招全国统一考试数学+答案一、选题（题共 10 题，每小题 6 分共 60 分）若 i则22z|=（ ） C. 【答案】D【解析】【分析】 由题意首先求得 z z 的，然后计算模即.【详解】由题意可得： z 2 ，则 z i 故z 故选：【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础.设集合 =x40，=x|2x+a，且 AB=2 x， = ） 4 2 C. 4【答案】B【解析】【分析】由题意首先求得集合 B，然后结合交集的结果得关于 a 的程，求解方程即可确定实数 a 的.【详解】求解二次不等式 2 可得： 求解一次不等式2 x 可得：B 由于 B a

2、2，解得：a 故选：【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求能.埃及胡金字塔是古代世界建筑奇迹之一的形状可视为一个正四棱锥以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长比值为（ ）5 4 C.5 4 【答案】C【解析】【分析】设 PE ，利用 PO2 得关于 , b 方程，解方程即可得到答.【详解】如图，设 CD ， OE b a4，由题意PO 2 ， a2 ab4 ，化简得 4( ) ，解得b 1 5 （负值舍去）. a 故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的

3、数学计算能力，是一道容易已知 为抛物线 C=2px（0上一点，点 到 C 的点的距离为 ，到 轴距离为 9，则 （ ） A. B. C. D. 9【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答【详解】设抛物线的焦点为 F由抛物线的定义知| AF x A ， 2 ，解得 6.故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易某校一课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和度 （位C的系，在 20 个同温条件下进行种子发芽实验，由实验数据 ( x , )(i ,20)i i得到下面的散点图：由此散点图 C 40C 间下面四个回归方程类型中最

4、宜作为发芽率 y 和度 的归方程类型 的是（ ） bxy a C. y y ln x【答案】D【解析】【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模.【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是y ln 故选：【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础.cos 9 结 函数 f x) x x 的图像在点cos 9 结 ， 处的切线方程为（ ）C.y y 2 x y 2 【答案】B【解析】【分析】求得函数 f x，计算出f 的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即【详解】f x， f x， f ，因此，所求切线的

5、方程为 故选：【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题设函数f ( ) cos( )在 的图像大致如下图，则 f(x的最小正周期为（ ）A.C. B.D. 2【答案】C【解析】【分析】由图可得函图象过点 9,0 得 4 ,06 9是函数f 图象与 轴半轴的第一个交点即可得到 9 即可求得再利用三角函数周期公式即可 9 r 得解. 9 r 4 【详解】由图可得：函数图象过点 ，将它代入函数f 9 又 49,0是函数f 图象与 轴半轴的第一个交点，所以4 9 6 ，解得：所以函数f T 的最小正周期为 3 32故选：【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考

6、查了三角函数周期公式，属于中档 ( x )( 5的展开式中 x3y3 的数为（ ）A. C. 15【答案】C【解析】【分析】B. D. 求得 展开式的通项公式为Tr r x55 yr（r N且r y 可得 与 ( y )展开式的乘积为C r 6 yr或C r5x4 yr 形式，对 r 分别赋值为 ， 可求得x3y3的系数，问题得解.【详解】 ( x )展开式的通项公式为Tr r5x yr（r N且r ） y 所以 的各项与 ( x y )展开式的通项的乘积可表示为：r xC r 55yr r 56 yr和 2 y 2 r x yr r r 在r r 56 yr中，令r ，可得： 3 y 4 ，

7、该项中x3y3的系数为，r r 在 2 y 2 r x r 中令 r ，得： T 1 3 y ，该项中 x 3y3的系数为所以x3y3的系数为 10 故选：【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分能力，属 于中档题已知 (0, )，且3cos2，则 sin（ ）A.C.B.D.59【答案】A【解析】【分析】用二倍角 余公式，将已知方转化为关于 cos 的一元二次方程，求解得出cos 再用同角间的三角 函数关系，即可得出结论.【详解】的 ，得 6cos ，即 3cos ，得cos 或cos （舍去又 (0, sin 53.故选：A.【点睛】本题考查三角恒

8、等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查算求解能 力，属于基础题10.已A , 为球O的球面上的三个点， O 为ABC的外接圆，若 O 的积为 ，AB OO1，则球O的表面积为（ ）A.64B.48C. D.32【答案】A【解析】【分析】由已知可得等边 ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得 的，根据球的截面性质，求出球的半1径，即可得出结.【详解】设圆 O 半径为 r，球的半径为 ，依题意，得 2 r ABC为等边三角形，由正弦定理可得 AB r sin ， 3 ，根据球的截面性质O 1平面ABC， OA OO OO 2 2 ， 1 1 球 的表面积 S 2 故选：A【

9、点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础 二、填题：本题共 题，每题 5 分，共 分。11.若 x， 满约束条件 x y 0, x 0, y 0,则 z= 的大值为_【答案】1【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示， 2 2 2 2目标函数 x y 即 y z ，其中 z 取得最大值时，几何意义表示直线系在 y 轴的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 处得最大值，联立直线方程： y x ，可得点 A 的标为： A ，据此可知目标函数的最大值为：z 故答案为：

10、1【点睛】求线性目标函数 z(ab值，当 时直线过可行域且在 y 轴截最大时 值最大，在 y 轴距最小时，z 值最小；当 b ，直线过可行域且在 y 轴截最大时z 值最小，在 y 轴 上截距最小时， 值大12.设 为位向量，且 ， a |【答案】 3【解析】【分析】整理已知可得： a ，利用 a 为位向量即可得 2 a 变形可得：a a a ，题得解【详解】因为 a 为单位向量，所以a b 所以 a a 解得： 2a c 2 2 ， 即 c 2 2 ， 即 所以 a a 3故答案为： 3【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档.13.已 F 为曲线 C :x y 2 b 0)

11、 的右焦点，A 为 的右顶点 为 C 的点，且 垂于 x a 2 b轴.若 的率为 3则 C 的心率为_【答案】2【解析】【分析】根据双曲线的几何性质可知， BF ba， ，即可根据斜率列出等式求解即可 【详解】联立 x x 2 y 2 2 2 2 2 b2 ，解得 2 ，以 .y 依题可得，BFAF， b 2 c c ，变形得c ，c a因此，双曲线C的离心率为 故答案为： 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题14.如，在三棱锥 P 平面展开图中， 则 FCB=_3 ，ACAB，CAE，【答案】【解析】【分析】在 ACE中，利用余弦定理可求得CE，

12、可得出CF，利用勾股定理计算出、 ，可得 BF ，然后在BCF中利用余弦定理可求得 FCB的值【详解】AB AC， AB ，AC ，由勾股定理得 AB22，同理得 ， BF ，在 ACE中，AC ， AD 3 ， CAE 30 ，由余弦定理得 2223 AC cos30 ，2 ，在BCF中，BC ， ，CF ，CF 2 2 BF 1 由余弦定理得 FCB 2 2 故答案为：【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等.三、解题：共 70 .解应写出字说明、证过程或算步骤 第 为必考，每 个试题生都必须作 .第 、 为选考题考生根要求作答 .q n （一）考题：共 60 分.q

13、n 15.设 n是公比不为 1 的比数列， 为 ， 的等差中项（1）求 n的公比；（2）若a ，数列 na 前 项 1 n【答案） ） S 1 9【解析】分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立比 的方程，求解即可得出结论；（2）由（）结合条件得出 n的通项，根据 n的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结.【详解） n的公比为 q ， 为 a 2 3的等差中项， a q 1 1 ；2 ，（2）设na n前 n 项为 S ， a a 1 nn ， 的2 ( n ， n2 3( n ( n， ，3 n nn n 1 n)( ( 3n， 1 9【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项

14、的性质，以及错位相减法求和，查计算求 解能力，属于基础题.16.如， D 为圆锥的顶，O是圆锥底面的圆心， 为面径， AE AD 是底面的内接正三角形， P 为 DO 上点， 66DO （1）证明： PA 面 ；（2）求二面角B 的余弦值【答案）明见解析） 【解析】【分析】2 5（1）要证明 PA 面PBC，只需证明 PA ，PA PC即可；（2）以 O 为标原点OA x 轴 为 y 轴立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面PCB的法向量为 n ，平面PCE的法向量为 ，利用公式 m, n | | 计算即可得到答.【详解）题设，知 等边三角形，设 AE 则 DO ， BO AE 26 ，所以

15、 PO DO ，6 4PC 2OC26 PB 2 2 4 又 为边三角形，则BA 603，所以 BA ， 2PA PB AB2，则 APB 90 ，以 PA ，同理 ， PC PB ，所以 面 ；（2）过 O 作 ON BC 于 N，为PO 平面ABC，以 O 为坐标原点OA 为 轴， 为 y 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 得 ， 得 2 2 ， 得 ， 得 2 2 则 ( 1 2 3 ,0,0), (0,0, ), B( , ,0), ( ,0) ，2 4 4 4 1 3 2 1 3 PC , , ) ， , ) ， PE ) 4 4 4 设平面 PCB 的个法向量为n x , y ,

16、z ) 1 1，由 n n 3 y 1 ，令 ，得 1 1，所以 2,0, ，设平面 的个向量为m , , z ) 2 2由 m z 22 2 z2 ，令x 3，得 z 2, ，3所以 (1,33 故 n | |2 2 2 510 ，3 3设二面角B PC 的小为 ，则 【点晴】本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量求二面角的大小，考查学生空间想象能力数学运算 能力，是一道容易题.17.甲乙、丙三位同学行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛4 4 1 4 的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者4 4 1 4 当一人被淘汰后，剩余的两人继续

17、比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 （1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概. 3 【答案） ） 4 12，【解析】【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可得事件“甲连胜四场”的概率；（2）计算出四局以内结束比赛的概率然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（3）列举出甲赢的基本事件，结合独事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率 和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概【详解）事件 : 甲连胜四场，则 M ； 16（2）记事件 为甲输，事

18、件 B 为输，事件 C 为输，则四局内结束比赛的概率为 ， 所以，需要进行第五场比赛的概率为 34；（3）记事件 为甲输，事件 B 为输，事件为丙输，记事件 :甲赢，记事件 :丙赢，则甲赢的基本事件包括： 、 、 、 BCACB BCABC 、 BCBAC 9所以，甲赢 概为 M 32由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，. 2 y . 2 y 所以丙赢的概率为 9 32 16【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计能力，属 于中等题.18.已 A、B 分为椭圆 ：xa22y2（a1的左、右顶点G E 上顶点， ， 为直线x=6 的动点PA 与 E

19、 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 （1）求 E 的程（2）证明：直线 定【答案）x 292）明详见解.【解析】【分析】（1已知可得A 可得 AG 合知即可求得 2 ，问题得解（2 可得直线 的程为： 9联立直线 的程与椭圆方程即可求得点C 2 27 y 的坐标为 理可得 D 的坐标为 2 y 0 2 ，即可表示出直线 的程，整理直线CD的方程可得： 3 ，命题得证【详解）依据题意作出如下象：y 2 y 2 2 x 0 0 2 0 2 2 2 y 2 y 2 2 x 0 0 2 0 2 2 2 2 a222 可得：A AG AG ， a 椭圆方程为：x 292（2证明：设，则直线

20、的方程为：y y x ，即： 0 9联立直线 AP 2 9的方程与椭圆方程可得： ，整理得：02 x y 20 0 ，解得： x 或x 20y 2027 2 27将 代入直线 y 2 0 9可得：y 6 0y 0 2 27 6 所以点 C 的坐标为 .同理可得：点 D 的标为y y 0 y 0 0 y 3 y 2 直线 的程为： 0 ，y y 27 3 y 2 0 0y y 0 y y 8 y 2 整理可得： y 0 0 y 9 y 4 y0 3 0 y 整理得： 0 3 4 3 3 y 故直线 过点 , 3 【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论能

21、力，属 于难题, 3 19.已函数f ( x) xax2（1）当 a=1 时，讨论 f（x）的单调性（2）当 x0 ，f（）12x+1，求 取值范.【答案x 单调递减当x 单调递增. （2） 【解析】【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原数的单调性即(2)首先讨论 =0 情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定 实数 取值范.【详解】(1)当 时 fx，f，由于f ， 单调递增，注意到，故：当当x x 单调递减，单调递(2)由f 1x 得， e x ，其中x ，.当 x=0 时不等式为：1 ，然成立，符合题意；.当x 时，分

22、离参数 ， e x x 2，记g 1 x2x ， 1 x 2 x ，令 x2 ，则h，故h 单调递增，1 1 1 故函数1 1 1 h 单调递增，h ，由h x 2 恒成立，故当 x0 ， 单调递增；当 0 ， g 单调递减；因此， 7 42综上可得，实数 a 的值范围是7 4, 【点睛】导数是研究函数的单调性、极(最值最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 利用导数求函数的最极值)，解决 生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用（二）考题：共 10 分。请考生第 、21 题任选一作答。如果做，则所做第 一题计。选修 44：标系与数方程 20.在角坐标系 xOy 中曲线 的参数方程为 x cos y k t( t为参数 ) 坐标原点为极点， x 轴半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的坐标方程为2Ck 时，是什么曲线？（1）当14 （2）当k 时，求 与