对数的换底公式-精讲版课件

1、2.2.3对数的换底公式学习目标: 1、能较熟练地运用对数运算法则解决问题; 2、加强数学应用意识的训练， 提高解决应用问题的能力。1.如果ax=N(a0,且a1)，那么数x叫 ,记作 ，其中a叫做 ，N叫做 .2.对数的性质:(1)1的对数等于 ;(2)底数的对数等于 ;(3)零和负数没有 . N03.以10为底的对数叫做 ,log10N记作 .4.以无理数e=2.718 28为底的对数称 ，logeN记作 .以a为底N的对数x=logaN对数的底数真数 01对数常用对数lgN自然对数lnN课前复习5. alogaN= .6.如果a0，且a1，M0;N0，那么：（1）loga(MN)= ；l

2、oga(N1N2Nk)= ;（2）loga = ;（3）logaMn= .NlogaM+logaNlogaN1+logaN2+logaNklogaM-logaNnlogaM两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差语言表达:一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍利用对数运算法则时,要注意各个字母的取值范围:M0,N0,a0,a1,要注意,只有所得结果中对数和所给出的数的对数都存在时,等式才能成立.计算lg22lg4lg50lg250.解析原式lg222lg2(1lg5)(1lg5)2(lg21lg5)2224.7、指数式和对数式的联系：底数 底数 指

3、数 对数幂 真数对数运算是指数运算的逆运算 与 是a,x,N同一关系的两种不同的表示形式，应熟练掌握其转化关系若ln3k，ln5s，则ek2s_.(1)已知loga2m，loga3n，求a2mn的值；(2)已知 ，求1002ab的值解析(1)因为loga2m，loga3n，所以am2，an3，则a2mn(am)2an4312.(2)lg2a，lg3b.lg2a，lg3b.分析解题的关键是将指数式与对数式互化，然后再进行计算换底公式及应用 一、对数的换底公式: 如何证明呢?一个对数可以用同底数的两个对数的商来表示证明：设 由对数的定义可以得： 即证得 换底公式在对数运算中有什么意义和作用？ 通过

4、换底公式，人们可以把其他底的对数转换为以10或e为底的对数，经过查表就能求出任意不为1的正数为底的对数可变形为什么？注意公式的正用和逆用二、几个重要的推论: 如何证明呢? 与 互为倒数推论:证明：利用换底公式得：即证得 证明:由换底公式 即 例1:计算:解:解:例1:计算:解:例1:计算: 练习 (1) 计算： 【评析】对数的换底公式在对数式的化简、求值、证明中有广泛的应用.当对数式的底数不同时，可利用换底公式化为同底的对数式，再进行有关的运算.(2)(log32+log92)(log43+log83)= .(2)原式=(log32+ )（ ) = log32 log23= . 练习3：计算

5、的值解：原式=解：原式=解:条件求值另：将已知式两边取以10为底的对数更简单 练习、设 （1） 求证： 证： （2）比较 的大小。 解:已知求的值（用a，b表示）分析：已知对数和幂的底数都是18，所以先将需求值的对数化为与已知对数同底后再求解；解： 关键是要求(1)已知6a=27,求log1618;(2)已知log310=a,log625=b,求log445.(1) 6a=27, a=log627= ,log23= . log1618= .(2)a=log310=log32+log35 b=log325 / log36= 由可知log32= , log35= . 于是 log445 = 练习、

6、若log 8 3 = p , log 3 5 = q , 求 lg 5 解： log 8 3 = p 又 练习.若 求 m 解：由题意： 利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起了重要作用，在解题过程中应注意：（1）针对具体问题，选择好底数；（2）注意换底公式与对数运算法则结合使用；（3）换底公式的正用与逆用；学点四 对数方程已知log3(x-1)=log9(x+5)，求x.【分析】对简单的对数方程，同底法是最基本的求解方法，利用换底公式可得logaN=loganNn(N0,n0).【解析】原方程可化为log9(x-1)2=log9(x+5), (x-1

7、)2=x+5,x2-3x-4=0, 解得x=-1或x=4.将x=-1，x=4分别代入方程,检验知x=-1不合题意，舍去.原方程的根为x=4.【评析】注意解题的等价变形，如本题中将log3(x-1)化为log9(x-1)2，实质上是非等价变形，扩大了定义域，因此，在解对数方程后要验根.已知lgx2.2219，lg20.3010，lg30.4771，则x_.答案0.006解析lgx2.221930.778130.30100.4771lg103lg2lg3lg0.006，x0.006.(1)方程log2(x-1)=2-log2(x+1)的解为 .(2)方程lgx2-lg(x+3)=lga(a(0,+)在区间(3,4)内有解，则a的取值范围为 .(1) (2)32a0 f(3)0, 32a0，y0，x2y0，这些条件在式中是体现不出来的故应添上